河南省信阳市固始县2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题（含解析）

固始县2023-2024学年高二上学期第三次月考
数学试题卷
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．向量，，，则（ ）
A．9 B．3 C．1 D．
2．已知数列是等差数列，是其前项和.若，，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．
3．已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知圆，点，为圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列通项公式为，若对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，是双曲线：的左、右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第一象限的交点为P，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
7．已知是椭圆上的动点，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面，底面是正方形，与交于点分别为的中点，点满足，若平面，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每小题5分，共20分，选不全且无错2分）
9．已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线C是椭圆
B．当或时，曲线C是双曲线
C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则
D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则
10．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．若空间向量，，则在上的投影向量为
B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
C．若空间向量，满足，则与夹角为锐角
D．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则
11．已知圆和圆，下列说法正确的是（ ）
A．两圆有两条公切线
B．两圆的公共弦所在的直线方程为
C．点在圆上，点在圆上，的最大值为
D．圆上有2个点到直线的距离为
12．抛物线C：，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），，则（ ）
A．最小值为4
B．可能为钝角三角形
C．当直线l的倾斜角为60°时，与面积之比为3
D．当直线AM与抛物线C只有一个公共点时，
第II卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知等差数列的前项和分别为，且，则 ．
14．已知点，直线l过点，且l的一个方向向量为则点P到直线l的距离为 .
15．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且它们的离心率互为倒数，是与的一个公共点，则的面积为 .
16．已知、为椭圆的左、右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为 .
四、解答题（17题10分，其余各题12分，总分70分，解答过程包含必要的步骤和文字说明）
17．已知圆C的圆心在直线上且与y轴相切于点.
(1)求圆C的方程；
(2)若直线l过点且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程.
18．已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
19．如图，在四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，，，.
(1)求二面角的余弦值；
(2)设是棱上一点，是的中点，若与平面所成角的正弦值为，求线段的长.
20．已知抛物线上的点到其焦点的距离为2．
(1)求的方程及焦点的坐标．
(2)过点的直线交抛物线于两点，且的面积为8，求直线的方程．
21．已知双曲线：的一个焦点为，一条渐近线方程为，为坐标原点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求弦长.
22．椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，为椭圆上任意一点，不在轴上，的面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆相交于M，N两点，设点，求证：直线，的斜率之和为定值，并求出定值.
参考答案：
1．A
【分析】根据先求解出的值，然后表示出的坐标，结合坐标下的模长计算公式求解出结果.
【详解】因为，所以，解得，
则，所以.
故选：A.
2．C
【分析】求得等差数列的首项和公差，由此求得.
【详解】设等差数列的公差为，
则，
解得，所以.
故选：C
3．D
【分析】先求得和焦点，然后求得.
【详解】将代入得，则，
抛物线，即，，
所以焦点，所以.
故选：D
4．C
【分析】作出圆心C关于x轴的对称点，先求得的最小值，结合图象进而求得的最小值.
【详解】圆，圆心，半径为，
则圆心关于x轴的对称点为，
则，
当且仅当三点共线时取得最小值，
结合图像可知.
故选：C
5．C
【分析】根据数列的单调性，即可根据对恒成立，以及求解.
【详解】当时，恒成立，
所以对恒成立，故，
又当时，为单调递增的数列，
故要使对任意，都有，则，即，
解得，
综上可得，
故选:C
6．C
【分析】利用椭圆和双曲线的定义表示出，利用中位线定理找到,的关系，再结合，借助勾股定理进行运算即可.
【详解】根据题意:设，设椭圆长半轴长为，短半轴长为，双曲线实半轴长为，虚半轴长为，则由椭圆及双曲线定义可得：，
又因为，且分别为，的中点，所以,
所以到渐近线的距离为，
所以，，结合，可得：①
因为，所以即，
整理得：，将①代入，，所以.
故选：C.
7．A
【分析】找到与平行、椭圆相切的最远的一条直线，利用平行的距离公式求距离最大值.
【详解】要使点到直线的距离最大，只需找到与平行、椭圆相切的最远的一条直线，
令与平行、椭圆相切的直线为，联立椭圆，消去x，
则，，可得，
对于直线，与直线距离为；
对于直线，与直线距离为；
所以点到直线的距离的最大值为.
故选：A
8．B
【分析】利用空间向量的坐标运算求解.
【详解】因为平面平面，所以，
又底面是正方形，所以，则两两垂直，
以点为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，
所以.
设平面的法向量为，
则，
令，得.
设，因为
平面，所以，
即，解得，
故，所以.
故选:B.
9．BCD
【分析】利用椭圆以及双曲线的标准方程的特征可逐一判断各选项.
【详解】A选项，曲线是椭圆等价于，解得且，故A错误；
B选项，曲线是双曲线等价于，解得或，故B正确；
C选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C正确；
D选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，故D正确.
故选：BCD.
10．ABD
【分析】A投影向量定义求在上的投影向量；B由空间向量共面的推论判断；C由，同向共线即可判断；D由即可判断.
【详解】A：在上的投影向量为，对；
B：在中，故P，A，B，C四点共面，对；
C：当，同向共线时也成立，但与夹角不为锐角，错；
D：由，即，故，对.
故选：ABD
11．ACD
【分析】由两圆的位置关系可判断A，将两圆的方程作差可判断B，转化为圆心间的距离可判断C，根据点到直线的距离判断D.
【详解】对于A，由圆得..，
圆心，半径为1，则，
故两圆相交，故两圆有两条公切线，故A正确；
对于B，因为圆，圆，
将两圆的方程作差得即，
所以直线的方程为，故B不正确；
对于C，由圆得圆心，半径为1，
由圆得圆心为，半径为2，
所以，故C正确；
对于D，圆心到直线的距离，
而圆的半径为，显然，
故只有一条与平行且距离为的直线与圆相交，
故圆上有2个点到直线的距离为，故D正确.
故选：ACD.
12．ABCD
【分析】A：分斜率存在与否设出直线方程，由弦长公式求出直线方程；B：先用向量的数量积求出不是钝角，再结合图像求出结果；C：当直线l的倾斜角为60°时，带入直线方程求出坐标，再表示出三角形面积即可；D：由直线与抛物线只有一个公共点，得出判别式为零，再求出长度即可.
【详解】因为抛物线C：，焦点，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），
对于A，当直线的斜率不存在时，；
当斜率为零时，只有一个交点，不符合题意；
当直线的斜率存在且不为零时，设直线方程，，
联立，可得，，
所以，
即弦长的最小值为，故A正确；
对于B，当时，联立解得，
所以，，
，所以，
所以为钝角三角形，故B正确；
对于C，当直线l的倾斜角为60°时，直线方程为，
由选项A的分析可知可知，解得，
带入直线方程可得
所以与面积之比为，故C正确；
对于D，因为点A在第一象限，直线的斜率不可能为零，设直线的方程为，
联立可得，所以，
又因为点A在第一象限，所以，此时，所以，
直线的斜率不存在时，，故D正确；
故选：ABCD
【点睛】关键点睛：选项A可分斜率是否存在设出直线方程，求出最小值比较；选项B最佳的方法是举反例论证；选项C将直线方程直接联立解出面积比，选项D设出直线方程为，由判别式为零求出两点坐标，再求出弦长.
13．
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前项和公式计算即得.
【详解】等差数列的前项和分别为，且，
所以.
故答案为：
14．
【分析】利用空间中点到直线的距离公式计算
【详解】易知，所以点P到直线l的距离为.
故答案为：
15．6
【分析】根据题意和双曲线标准方程可推出椭圆的值，根据椭圆与双曲线定义可求出的值，根据三边关系即可求出面积.
【详解】由题可知，的离心率为2，则的离心率为，则.
根据对称性，不妨设在第一象限，则，解得，
则，所以为直角三角形，
则的面积为.
故答案为：6.
16．/
【分析】根据椭圆定义并利用余弦定理可得，再根据正弦定理可知外接圆半径，由等面积法可知内切圆半径，再根据面积比即可计算出离心率.
【详解】根据题意画出图象如下图所示：

利用椭圆定义可知，且；
又，利用余弦定理可知：
，
化简可得；
所以的面积为；
设的外接圆半径为，内切圆半径为；
由正弦定理可得，可得；
易知的周长为，
利用等面积法可知，解得；
又的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，即，
所以，即可得，所以；
离心率.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求解椭圆焦点三角形外接圆与内切圆半径问题，通常利用正弦定理计算外接圆半径，由等面积法公式可计算出内切圆半径，即可实现问题求解.
17．(1)
(2)或
【分析】（1）利用已知圆心特征和半径列方程组，即可求得圆的方程；
（2）分斜率存在与不存在两种情况讨论，结合弦心距的求解过程即可得出结果.
【详解】（1）圆的圆心在直线上且与轴切于点，
设圆心坐标为，则，解得，，
圆心，半径，
故圆的方程为.
（2）点，直线过点，
当的斜率存在时，设直线的斜率为（存在），
则方程为，又圆的圆心为，半径，弦长为，
故弦心距，故，解得，
所以直线方程为，即，
当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件，
故的方程为或.
18．(1)
(2)
【分析】（1）由方程组法得，然后再根据求通项公式即可；
（2）先根据（1）求出，然后利用等差数列求和公式求解即可.
【详解】（1）当时，.
当时，由，
得，
则，
因为满足，所以.
当时，.
因为满足，所以.
（2）由（1）可知，，
则是以7为首项，2为公差的等差数列，所以.
19．(1)
(2)
【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值；
（2）设，其中，利用空间向量法可得出关于实数的等式，结合的取值范围可求得的值，即可求得的长.
【详解】（1）解：因为平面，四边形是直角梯形，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
易知平面的一个法向量为，，
由图可知，二面角的平面角为锐角，
因此，二面角的余弦值为.
（2）解：设，其中，，
，易知平面的一个法向量为，
由题意可得.
整理可得，，解得，所以，.
20．(1)，.
(2)
【分析】（1）根据题意结合抛物线的定义可求出，则可得抛物线方程，然后代入点P横坐标即可求得；
（2）由题意可知直线斜率存在，设出直线方程以及交点坐标，将直线方程带入抛物线方程化简利用根与系数的关系，代入面积公式即可求得.
【详解】（1）由抛物线的定义可得：， 解得，
所以抛物线的方程为，其焦点坐标为.
（2）由题意可设直线方程为，，，
由，得，
所以，，，
因为．
所以，得，故直线的方程为：.
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据双曲线的几何性质即可求解，
（2）根据点差法，结合中点弦可得直线方程，即可根据弦长公式求解.
【详解】（1）由焦点可知，
又一条渐近线方程为，所以，
由可得，解得，
故双曲线的标准方程为.
（2）设中点的坐标为，
则
两式子相减得：，
化简得，
即，又，所以，
所以中点的坐标为，
所以直线的方程为，即.
将代入得，，
则，
,
22．(1)
(2)定值，
【分析】（1）根据题意列出方程即可；
（2）设出直线方程，联立椭圆方程，列出表达式利用韦达定理计算即可.
【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以，
设到的距离为，因为，
所以，易得当时面积取得最大值，
所以，因为，
所以，，所以椭圆的方程为；
（2）证明：如图，易知点在椭圆外，
设直线的方程为，，，
由得，
所以，，，
因为，所以，
所以，
所以，
所以.
【点睛】关键点点睛：本题的第（2）问的化简，这里化简主要是利用了韦达定理和直线的方程，在化简过程中同时涉及到通分，计算比较复杂，要认真计算.