绝对值同步辅导
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绝对值同步辅导
一、情境联想导入
某人从A点出发，先向东走了40m，记为+40m，然后折回向西走了70m，记为-70m；又折回向东走了35m，记为+35m；再折回向西走5m，记为-5m．
问题 此时此人离A地多远？此人共走了多少路程？
二、思维起点落实
1．正数的绝对值是_________；
2．负数的绝对值是_________；
3．零的绝对值是________．
三、 重点难点突破
重点
1、绝对值的意义
对于绝对值的意义可从以下两方面理解：①几何意义为：把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作│a│；
②代数意义用式子表示为│a│＝
点拨：由绝对值的代数意义知，任何一个有理数a的绝对值是一个非负数，即│a│≥0．
2、绝对值的求法及计算
要求一个数的绝对值，应先判断这个数是正数、负数，还是0，再由绝对值的意义去掉绝对值符号．即去掉绝对值符号要看绝对值符号里面的数是什么数，若绝对值符号里面的数是非负数，直接去掉绝对值符号即可；若绝对值符号里面的数是负数，那么这个负数的绝对值就是这负数的相反数，这时去掉绝对值符号，就要把绝对值里面的数添上括号，并在括号前面加上“－”号．
含有绝对值的运算应先计算绝对值，若绝对值符号里面又有其他运算，则应先算绝对值里面的，然后再求其绝对值．
注意：绝对值“││”符号相当于小括号“（ ）”的作用．
难点 求一个负有理数的绝对值
在求一个负数的绝对值，去掉绝对值，应在这个数前加上“－”，再化简．
注意：若a>b>0，则a+b是正数，有│a+b│=a+b；又因为a>b，所以a-b>0，b-a<0，即a-b是正数，b-a是负数，所以│a-b│=a-b，│b-a│=-（b-a）．
四、 思维能力拓展
能力点
1、利用数形结合解题
例1 （1）有理数a在数轴上的位置如图所示，化简│a+1│的结果是（ ）
A．a+1 B．-a+1 C.a-1 D.-a-1
（2）有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简a+│a+b│-│c│-│b-c│．
分析：本题考查绝对值的化简和数形结合的能力，可先由a、b、c在数轴上的位置确定它各自的符号，再确定a+1，a+b，b-c的符号．由数轴可知a+1<0，c<0，a+b<0，b-c<0，从而去掉绝对值符号．
答案：（1）D
（2）原式=a-（a+b）-（-c）+（b-c）=a-a-b+c+b-c=0．
拓展延伸：在数轴上两点A，B所对应的数为a，b，若A在B的左边，则│a-b│=-（a-b），│b-a│=b-a．
2、绝对值的非负性．
例2 若│a│+│b│=0，求a、b的值．
分析：由绝对值的非负性可知：│a│≥0，│b│≥0，所以有当│a│和│b│都等于0时，它们的和等于零，否则，它们的和就大于0．
答案：因为│a│≥0，│b│≥0．又因为│a│+│b│=0，所以│a│=0且│b│=0，所以a=0，b=0．
方法提炼：几个非负数的和为零，那么这几个非负数都为零．
五、综合探究创新
综合点 绝对值的应用
例3 某工厂生产一批螺帽，根据产品质量要求，螺帽的内径可以有0.02毫米的误差，抽查5只螺帽，超过规定内径的毫米数记正数，不足的记为负数，检查结果如下表：
1 2 3 4 5
+0.031 -0.017 +0.023 -0.021 +0.013
（1）指出哪些产品是合乎要求的？
（2）指出合乎要求的产品中哪个质量好一些？
分析：0.02毫米的误差是指超过或不足规定内径的毫米数在0.02毫米内；合乎要求的产品质量好坏取决于离规定内径大小的多少，即数据的绝对值的大小．
答案：（1）2.5，合乎要求；（2）5，它与标准相差最小，最接近于规定内径．
拓展延伸：利用绝对值的意义，可以解决一些实际问题，但在应用时并不是绝对值越小越好．
六、针对训练
1．求下列各数的绝对值．
（1）； （2）-； （3）-5； （4）1； （5）0．
2．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．|-|与- B．|-|与- C．|-|与 D．|-|与
3．计算：
（1）│-5│+│-2│； （2）||÷|-|；
（3）（||+|-|+|-1|）×│-24│； （4）．
4．（1）如果m=-1，那么-（-│m│）=________．
（2）若│a-b│=b-a，则a，b的大小关系是________．
5．若│a│=5，│b│=4，且a>0，b<0，则a=______，b=_______．
6．已知a、b、c三数在数轴的位置如图2-4-3所示，化简．
7．数a、b、c在数轴上对应的位置如图所示，化简：│a+c│-│a│+│b│．
8．已知│a-3│+│2b+4│+│c-2│=0，求a+b+c的值．
9．某粮店出售三种品牌的面粉，袋上分别标有质量为（25±0.1）kg、（25±0.2） kg、（25±0.3）kg的字样，从中任意拿出2袋，它们的质量最多相差（ ）
A．0.8kg B．0.6kg C．0.5kg D．0.4kg
10．正式比赛时，乒乓球的尺寸要有严格的规定，已知四个乒乓球，超过规定的尺寸为正数，不足的尺寸记为负数，为选一个乒乓球用于比赛，裁判对这四个乒乓球进行了测量，得到结果：A球+0.2mm，B球-0.1mm，C球+0.3mm，D球-0.2mm，你认为应选哪一个乒乓球用于比赛？为什么？
答案：
【情境联想导入】
此人在A点处，0m．
【思维起点落实】
1．本身； 2．它的相反数； 3．0．
【针对训练】
1．（1）││=；（2）│-│=；（3）│-5│=5；（4）│1│=1；
（5）│0│=0．
提示：根据绝对值的代数意义，判断其是正数、负数，还是零，然后再求出绝对值．
2．A
3．（1）│-5│+│-2│=5+2=7；
（2）||÷|-|=÷=×=；
（3）（||+|-|+|-1|）×│-24│=（++）×24=4+54+32=90；
（4）=．
提示：利用绝对值的意义，先去掉绝对值，再计算．
4．（1）1 （2）a≤b
提示：（1）将m=-1代入-（-│m│）得-（-│-1│）=-（-1）=1；
（2）由│a-b│=b-a知，a-b与b-a互为相反数，那么a-b是负数或零，a-b≤0，
即a≤b，对于绝对值里含有字母的，要先考虑绝对值里代数式的正负，再去求绝对值．
5．5，-4
6．1 提示：│a│=a，│b│=b，│c│=-c．
7．c-b 提示：a+c>0，a>0，b>0．
8．5 提示：a-3=0，2b+4=0，c-2=0．
9．B 10．B球
一、情境联想导入
某人从A点出发，先向东走了40m，记为+40m，然后折回向西走了70m，记为-70m；又折回向东走了35m，记为+35m；再折回向西走5m，记为-5m．
问题 此时此人离A地多远？此人共走了多少路程？
二、思维起点落实
1．正数的绝对值是_________；
2．负数的绝对值是_________；
3．零的绝对值是________．
三、 重点难点突破
重点
1、绝对值的意义
对于绝对值的意义可从以下两方面理解：①几何意义为：把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作│a│；
②代数意义用式子表示为│a│＝
点拨：由绝对值的代数意义知，任何一个有理数a的绝对值是一个非负数，即│a│≥0．
2、绝对值的求法及计算
要求一个数的绝对值，应先判断这个数是正数、负数，还是0，再由绝对值的意义去掉绝对值符号．即去掉绝对值符号要看绝对值符号里面的数是什么数，若绝对值符号里面的数是非负数，直接去掉绝对值符号即可；若绝对值符号里面的数是负数，那么这个负数的绝对值就是这负数的相反数，这时去掉绝对值符号，就要把绝对值里面的数添上括号，并在括号前面加上“－”号．
含有绝对值的运算应先计算绝对值，若绝对值符号里面又有其他运算，则应先算绝对值里面的，然后再求其绝对值．
注意：绝对值“││”符号相当于小括号“（ ）”的作用．
难点 求一个负有理数的绝对值
在求一个负数的绝对值，去掉绝对值，应在这个数前加上“－”，再化简．
注意：若a>b>0，则a+b是正数，有│a+b│=a+b；又因为a>b，所以a-b>0，b-a<0，即a-b是正数，b-a是负数，所以│a-b│=a-b，│b-a│=-（b-a）．
四、 思维能力拓展
能力点
1、利用数形结合解题
例1 （1）有理数a在数轴上的位置如图所示，化简│a+1│的结果是（ ）
A．a+1 B．-a+1 C.a-1 D.-a-1
（2）有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简a+│a+b│-│c│-│b-c│．
分析：本题考查绝对值的化简和数形结合的能力，可先由a、b、c在数轴上的位置确定它各自的符号，再确定a+1，a+b，b-c的符号．由数轴可知a+1<0，c<0，a+b<0，b-c<0，从而去掉绝对值符号．
答案：（1）D
（2）原式=a-（a+b）-（-c）+（b-c）=a-a-b+c+b-c=0．
拓展延伸：在数轴上两点A，B所对应的数为a，b，若A在B的左边，则│a-b│=-（a-b），│b-a│=b-a．
2、绝对值的非负性．
例2 若│a│+│b│=0，求a、b的值．
分析：由绝对值的非负性可知：│a│≥0，│b│≥0，所以有当│a│和│b│都等于0时，它们的和等于零，否则，它们的和就大于0．
答案：因为│a│≥0，│b│≥0．又因为│a│+│b│=0，所以│a│=0且│b│=0，所以a=0，b=0．
方法提炼：几个非负数的和为零，那么这几个非负数都为零．
五、综合探究创新
综合点 绝对值的应用
例3 某工厂生产一批螺帽，根据产品质量要求，螺帽的内径可以有0.02毫米的误差，抽查5只螺帽，超过规定内径的毫米数记正数，不足的记为负数，检查结果如下表：
1 2 3 4 5
+0.031 -0.017 +0.023 -0.021 +0.013
（1）指出哪些产品是合乎要求的？
（2）指出合乎要求的产品中哪个质量好一些？
分析：0.02毫米的误差是指超过或不足规定内径的毫米数在0.02毫米内；合乎要求的产品质量好坏取决于离规定内径大小的多少，即数据的绝对值的大小．
答案：（1）2.5，合乎要求；（2）5，它与标准相差最小，最接近于规定内径．
拓展延伸：利用绝对值的意义，可以解决一些实际问题，但在应用时并不是绝对值越小越好．
六、针对训练
1．求下列各数的绝对值．
（1）； （2）-； （3）-5； （4）1； （5）0．
2．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．|-|与- B．|-|与- C．|-|与 D．|-|与
3．计算：
（1）│-5│+│-2│； （2）||÷|-|；
（3）（||+|-|+|-1|）×│-24│； （4）．
4．（1）如果m=-1，那么-（-│m│）=________．
（2）若│a-b│=b-a，则a，b的大小关系是________．
5．若│a│=5，│b│=4，且a>0，b<0，则a=______，b=_______．
6．已知a、b、c三数在数轴的位置如图2-4-3所示，化简．
7．数a、b、c在数轴上对应的位置如图所示，化简：│a+c│-│a│+│b│．
8．已知│a-3│+│2b+4│+│c-2│=0，求a+b+c的值．
9．某粮店出售三种品牌的面粉，袋上分别标有质量为（25±0.1）kg、（25±0.2） kg、（25±0.3）kg的字样，从中任意拿出2袋，它们的质量最多相差（ ）
A．0.8kg B．0.6kg C．0.5kg D．0.4kg
10．正式比赛时，乒乓球的尺寸要有严格的规定，已知四个乒乓球，超过规定的尺寸为正数，不足的尺寸记为负数，为选一个乒乓球用于比赛，裁判对这四个乒乓球进行了测量，得到结果：A球+0.2mm，B球-0.1mm，C球+0.3mm，D球-0.2mm，你认为应选哪一个乒乓球用于比赛？为什么？
答案：
【情境联想导入】
此人在A点处，0m．
【思维起点落实】
1．本身； 2．它的相反数； 3．0．
【针对训练】
1．（1）││=；（2）│-│=；（3）│-5│=5；（4）│1│=1；
（5）│0│=0．
提示：根据绝对值的代数意义，判断其是正数、负数，还是零，然后再求出绝对值．
2．A
3．（1）│-5│+│-2│=5+2=7；
（2）||÷|-|=÷=×=；
（3）（||+|-|+|-1|）×│-24│=（++）×24=4+54+32=90；
（4）=．
提示：利用绝对值的意义，先去掉绝对值，再计算．
4．（1）1 （2）a≤b
提示：（1）将m=-1代入-（-│m│）得-（-│-1│）=-（-1）=1；
（2）由│a-b│=b-a知，a-b与b-a互为相反数，那么a-b是负数或零，a-b≤0，
即a≤b，对于绝对值里含有字母的，要先考虑绝对值里代数式的正负，再去求绝对值．
5．5，-4
6．1 提示：│a│=a，│b│=b，│c│=-c．
7．c-b 提示：a+c>0，a>0，b>0．
8．5 提示：a-3=0，2b+4=0，c-2=0．
9．B 10．B球