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学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 人教版 册、章 九年级下册 第28章
课标要求 1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、cos A、 tanA 表示直角三角形中两边的比；记忆、、的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角； 2.能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角； 3.理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题； 4.通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化 与对应的思想，通过解直角三角的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受。．
内容分析 本章"锐角三角函数"属于三角学，是《数学课程标准》中"空间与图形"领域的重要内容。从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教科书安排了一章的内容，就是本章"锐角三角函数"。在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后 一部分的重要基础，掌握锐角三角函数 的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。 本章内容分为两节，第一节主要学习正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念，第二节主要研究直角三角形中的边角关系和解直角三角形的内容。第一节内容是第二节的基础，第二节是第一节的应用，并对第一节的学习有巩固和提高的作用。．
学情分析 教科书先研究了正弦函数，' 正弦函数的基础上给出余弦函数和正切函数的概念。对于正数，教科书首先设置了一个实际问题，把这个实际问题抽象学问题，就是在直角三角形中，已知一个锐角和这个锐角的对运求斜边的问题，由于这个锐角是一个特殊的角，因此可以利下一篇直角三角形中，角所对的边是斜边的一半"这个结论来解决这个问题，接下去教科书又提出问题，如果角所对的边的长度发生改变，那么斜边的长变为多少？解决这个的问题仍然需要利用上述结论，这样就能够使学生体会到"无论直角三角形的大小如何，角所对的边与斜边的比总是一个常数"，这里体现了函数的对应的思想，即的角对应数值。．
单元目标 （一）教学目标 1、正确理解锐角三角函数的定义； 2、熟练应用特殊角的三角函数值解决相关问题； 3、能根据所给条件解直角三角形； 4、能应用锐角三角函数和勾股定理的知识解决生活中的实际问题，达到学以致用。. （二）教学重点、难点 教学重点:锐角三角函数的概念和直角三角形的解法；特殊 角的三角函数值. 教学难点:经历探索30度、45度、60度角的三角函数值的过程，学会三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 1.教材特点分析： 1.本章安排了两个数学活动.这两个活动都是测量实物的高度.从数学角度看，都用到锐角三角函数或解直角三角形的知识. 2.“活动1”是制作测角仪，并用它测量树的高度.这个活动可以分解为两个小活动，一是制作测角仪，二是利用测角仪测量树的高度.利用半圆形量角器制作测角仪比较简单，关键是让学生明白测角仪的工作原理. 按照教科书中给出的测量步骤，利用测角仪测量树高时，可以从测角仪上读出∠ABC的度数，进而可以计算出角a的数，再测量出测量者距离树根的距离，I 及测量者的眼睛距离地面的高度，就可以求出树的高度． 3.“活动2"是利用“活动1"中制作的测角仪测量塔高。从本质上讲，“活动2"与“活动1”是同一类活动，都是利用测角仪测量一 个实物的高度，只是活动中采用的测量方法有所不同."活动2"提供了一种利用测角仪测量“底部不可及”物体高度的方法. 2.本章教学建议： (-)注意加强知识间的纵向联系 第27章"相似"为本章研究锐角三角函数打下基础，因为利用"相似三角形的对应边成比例"可以解释锐角三角函数定义的合理性。例如，教科书在研究正弦函数的概念时，利用了"在直角三角形中，所对的边等于斜边的一半"，得出了"在一个直角三角形中，如果一个锐角等于，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于"。事实上，在直角三角形中，如果一个角等于，那么这样的直角三角形都相似，因此，不管这样的三角形的大小如何，它们的对应边成比例，这也就是说，对于，虽然教科书是从两个特殊的直角三角形(的对边分别是70和50)归纳得到的，但这个结论是可以从三角形相似的角度来解释的。同样，对于有类似的情况。当然，教科书利用相似三角形的有关结论解释了在一般情形中正弦定义的合理性。因此，锐角三角函数的内容与相似三角形是密切联系的，教学中要注意加强两者之间的联系。． (二)注意数形结合，自然体现数与形之间的联系 数形结合是重要的数学思想和数学方法，本章内容又是数形结合的很理想的材料。例如，对于锐角三角函数的概念，教科书是利用学生对直角三角形的认识(在直角三角形中，所对的边等于斜边的一半，的直角三角形是等腰直角三角形)以及相似三角形的有关知识引入的，结合几何图形来定义锐角三角函数的概念，将数形结合起来，有利于学生理解锐角三角函数的本质。再比如，解直角三角形在实际中有着广泛的作用，在将这些实际问题抽象成数学问题，并利用锐角三角函数解直角三角形时，离不开几何图形，这时往往需要根据题意画出几何图形，通过分析几何图形得到边、角等的关系，再通过计算、推理等使实际问题得到解决。 3.单元知识结构框架： （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数28.1锐角三角函数(1) 128.1锐角三角函数(2)128.1锐角三角函数(3) 128.1锐角三角函数(4) 128.2解直角三角形（1）128.2解直角三角形（2）128.2解直角三角形（3）1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务28.1锐角三角函数(1) 1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA表示直角三角形中两边的比． 2.通过锐角三角函数的学习进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，体会数学在解决实际问题中的应用． 1.锐角三角函数的概念． 2.通过学习培养学生的合作意识，提高学生学习数学的兴趣．活动一：学生自主探索出锐角三角函数的概念． 活动二：能够正确应用sinA表示直角三角形中两边的比.28.1锐角三角函数(2)1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用cos，tan表示直角三角形中两边的比． 2.通过锐角三角函数的学习进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，体会数学在解决实际问题中的应用． 1.掌握锐角三角函数的概念． 2.熟练锐角三角函数概念的理解. 活动一：学生可相互交流，教师巡视，听取学生的看法、见解，随时参与讨论． 活动二：探究巩固例题． 28.1锐角三角函数(3) 1.运用三角函数的知识，自主探索，推导出30°、45°、60°角的三角函数值. 2.熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用． 1.熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用． 2．掌握与特殊角的三角函数值有关的计算．活动一：经历观察、操作、归纳等学习数学的过程，感受数学思考过程的合理性． 活动二：探究巩固例题．28.1锐角三角函数(4) 1.会使用科学计算器求锐角的三角函数值. 2.会根据锐角的三角函数值，借助科学计算器求锐角的大小. 3.熟练运用计算器解决锐角三角函数中的问题． 1.利用计算器求锐角三角函数的值． 2.计算器的按键顺序． 活动一：会使用计算器根据锐角三角函数的值求对应的锐角. 活动二：完成例题学习巩固知识点．28.2解直角三角形（1）1.理解直角三角形中三条边及两个锐角之间的关系，能运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. 2.通过综合运用勾股定理及锐角三角函数等知识解直角三角形的过程，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力. 1.运用直角三角形的边角关系解直角三角形. 2.灵活运用锐角三角函数解直角三角形.活动一：灵活运用锐角三角函数解直角三角形. 活动二：共同探究综合运用勾股定理及锐角三角函数等知识解直角三角形. 活动三：完成例题学习巩固知识点．28.2解直角三角形（2）1.使学生掌握仰角、俯角的概念，并会正确运用这些概念和解直角三角形的知识解决一些实际问题． 让学生体验方程思想和数形结合思想在解直角三角形中的用途．1.将实际问题转化为解直角三角形问题. 2.将实际问题中的数量关系如何转化为直角三角形中元素间的关系求解.活动一：学生可相互交流，认真思考问题. 活动二：完成例题学习巩固知识点．28.2解直角三角形（3）1.巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角、坡度问题。 2.掌握方位角、坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与方位角、坡度有关的实际问题。 3.培养学生用数学的意识，渗透数形结合的思想和方法．1.理解方位角、坡度和坡角的概念． 2.利用方位角、坡度和坡角解决有关实际问题．活动一：先让学生独立思考，教师再根据学生的完全情况确定评讲方法。 活动二：让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺．活动三：完成例题学习巩固知识点．
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分课时教学设计
第1课时《28.1锐角三角函数(1) 》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 通过对30°和45°与其所对的直角边与斜边的比值之间关系的探讨，可以获得“直角三角形中，当锐角一定时，这个锐角的对边与斜边的比是固定值”这一重要结论，发展学生的演绎推理能力.在探索正弦函数概念的过程中，可进一步培养学生的创新意识，发展学生的形象思维，增强由特殊到一般逻辑推理能力．
学习者分析 理解当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是一个定值的事实；掌握正弦函数意义，能依据正弦函数定义进行有关计算.
教学目标 1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA表示直角三角形中两边的比． 2.通过锐角三角函数的学习进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，体会数学在解决实际问题中的应用． 3.通过学习培养学生的合作意识，提高学生学习数学的兴趣．
教学重点 锐角三角函数的概念．
教学难点 锐角三角函数概念的理解．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：情境引入教师活动1： 新知引入 问题：操场上有一个旗杆，老师让小美去测量旗杆高度．(演示学校操场上的国旗图片)小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34°，并已知目高为1米，然后他很快就算出旗杆的高度了． 通过前面的学习，我们知道利用相似三角形的方法可以测算出旗杆的大致高度，实际上我们还可以像小明那样通过测量一些角的度数和一些线段的长度，来测算出旗杆的高度．这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法．下面我们一起来学习锐角三角函数．学生活动1： 通过探究活动理解． 从问题导入知识，引起学生的关注，提高学习的热情. 学生思考、交流，将实际问题转化成三角形中的问题. 活动意图说明： 从实际出发，从学生已有的生活经验出发，通过测量一些角的度数和一些线段的长度，来测算出旗杆的高度．体会数学在解决实际问题中的应用． 进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展.环节二：新课讲解教师活动2： 问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35 m，那么需要准备多长的水管？ 分析：问题转化为在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35 m，求AB. 根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，即 ＝＝， 可得AB＝2BC＝70 m，即需要准备70 m长的水管． 思考1：在上面的问题中，如果使出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？ 学生按与上面相似的过程，自主解决． ●结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于. 思考2：如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比，能得到什么结论？ 分析：在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2＝2BC 2， AB＝BC， ＝＝＝. ●结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于. 从上面这两个问题的结论中可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值．当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 探究：任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′＝α，那么与有什么关系？你能解释一下吗？ 分析：由于∠C＝∠C＝90°，∠A＝∠A′＝α， 所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，则 ＝. ●结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何改变，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值． ●正弦的概念： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即 sinA＝＝. 例如，当∠A＝30°时，sinA＝sin30°＝；当∠A＝45°时，sinA＝sin45°＝. 当∠A＝60°时，sinA＝sin60°＝ ※注意： 1．sinA不是sin与A的乘积，而是一个整体． 2．正弦的三种表示方式：sinA，sin56°，sin∠DEF. 3．sinA是线段之间的一个比值，sinA没有单位． 提问：∠B的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？ sinB＝＝. 学生活动2： 学生相互交流． 学生交流，讨论，将实际问题转化出数学模型，并得出正确结论. 活动意图说明： 引导学生建立模型，培养学生学以致用的能力，通过对30°和45°与其所对的直角边与斜边的比值之间关系的探讨，可以获得“直角三角形中，当锐角一定时，这个锐角的对边与斜边的比是固定值”这一重要结论，发展学生的演绎推理能力.提高灵活地运用所学知识解决问题的能力.环节三：例题讲解例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值． 解：如图(1)，在Rt△ABC中，由勾股定理得 AB＝＝＝5. ∴sinA＝＝，sinB＝＝. 如图(2)，在Rt△ABC中，由勾股定理得 AC＝＝＝12. ∴sinA＝＝，sinB＝＝. 学生活动3： 学生观察并回答教师规范解答，教师出示练习题组，学生尝试练习师巡视，个别指导. 巩固例题． 活动意图说明： 让学生在一定的数学活动中去体验、感受数学，体会函数的变化与对应的思想，体会数学在解决实际问题中的应用．培养学生动手操作的良好习惯，以积极进取的思想探究数学学科知识，体会本节知识的实际应用价值和文化价值．从而更好地理解知识，让学生的认知结构得到不断的完善．
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.在△ABC中，∠C=90°，下列等式成立的是（ ） B 在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,sinA=则边AC的长是( ) A. B.3 C. D. A 选做题： 3. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB. (1) sinB 可以由哪两条线段之比表示 (2) 若 AC = 5，CD = 3，求 sinB 的值. 解： ：∵ CD⊥AB，∴∠ADC =∠ACB = 90°， ∴∠ACD = ∠B=90°－∠A， 【综合拓展类作业】 4.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°， ，BC = 3， 求 sinB 及 Rt△ABC 的面积.
作业布置 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，∠α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（b,4），若sinα= ，则b=_______. ，3 选做题： 2. 如图，在 △ABC 中， AB = BC = 5，sinA =，求△ABC 的面积. 【综合拓展类作业】 3.如图，在△ABC中，AB=5，BC=13，AD是BC边上的高，AD=4，求CD的长和sinC的值.
教学反思
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共28张PPT)
28.1锐角三角函数(1)
人教版 九年级 下册
教材分析
通过对30°和45°与其所对的直角边与斜边的比值之间关系的探讨，可以获得“直角三角形中，当锐角一定时，这个锐角的对边与斜边的比是固定值”这一重要结论，发展学生的演绎推理能力.在探索正弦函数概念的过程中，可进一步培养学生的创新意识，发展学生的形象思维，增强由特殊到一般逻辑推理能力．
教学目标
教学目标：1.理解锐角正弦的定义，掌握当直角三角形的锐角固定时，它的
对边与斜边的比值都固定(即正弦值不变).
2.能利用正弦概念解决相关问题..
教学重点:锐角三角函数的概念．
教学难点:锐角三角函数概念的理解．
新知导入
情境引入
A
B
C
α
比萨斜塔位于意大利中部比萨古城内的教堂广场上，该塔于1350年成时就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂线中心线2.1米，1972年比萨地区发生地震，这座高AB=54.5米的斜塔大幅度摇摆后仍巍然屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线增至5.2米.仔细看下图，你能用塔身中心线与垂直中心线所成的角度来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？
从数学角度看，上述问题就是：已知直角三角形的某些边长，求其锐角的度数。对于直角三角形，我们已经知道三边之间、两个锐角之间的关系，它的边角之间有什么关系呢？下面我们一起来探究一下！
新知讲解
合作学习
问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌.先测得斜坡的坡角 (∠A )为 30°，为使出水口的高度为 35 m，需要准备多长的水管？
30°
探究一：正弦函数的定义
思考1：从上述情境中，你可以找到一个什么数学问题呢？能否结合数学图形把它描述出来？
这个问题可以归结为：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC = 35 m，求AB.
A
B
C
30°
35m
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC = 35 m，求AB.
根据“在直角三角形中，30°角所对的
边等于斜边的一半”, 即
可得 AB = 2BC =2×35=70 (m).
也就是说，需要准备 70 m 长的水管.
思考2：如果出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？60米呢？
100米
120米
归纳总结：
在上面求AB (所需水管的长度）的过程中，我们用到了结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于
思考3:如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A =45°，计算∠A的对边与斜边的比 由此你能得出什么结论？
解：因为∠A=45°，∠C=90°，
所以AC=BC，由勾股定理得:
AB2=AC2+BC2=2BC2，
所以
因此
A
B
C
在直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 .
归纳总结：
当∠A 是任意一个确定的锐角时，
它的对边与斜边的比是否也是一
个固定值呢？
思考4：任意画 Rt△ABC 和 Rt△A‘B’C‘，使得∠C＝∠C’＝90°，∠A＝∠A’，那么 与 有什么关系？你能解释一下吗？
A
B
C
A'
B'
C'
因为
所以Rt△ABC∽Rt△
因此
即
这就是说，在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值.
注意：
1．sinA不是sin与A的乘积，而是一个整体．
2．正弦的三种表示方式：sinA，sin 56°，sin∠DEF.
3．sinA是线段之间的一个比值，sinA没有单位．
正弦的表示
sin∠DEF、 sin∠1 （不能省去角的符号）
sinA 、 sin39 °、 sinβ （省去角的符号）
1
2
提炼概念
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sin A，即
例如，当∠A=30°时，我们有
sin A=sin 30°=
当∠A=45°时，我们有
sin A=sin 45°=
∠A的正弦sin A随着∠A的变化而变化.
A
B
C
c
a
b
对边
斜边
典例精讲
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．
A
B
C
3
4
(1)
A
B
C
13
5
(2)
解：如图（1），在Rt△ABC中，由勾股定理得
如图（2），在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
因此 sin A=
sin B=
A
B
C
13
5
(2)
归纳概念
计算一个锐角的正弦值要注意哪些问题？
要注意两个方面的问题：
一是确定这个锐角所在的直角三角形；
二是要注意正弦等于这个锐角的对边与斜边的比．
课堂练习
必做题
1.在△ABC中，∠C=90°，下列等式成立的是（ ）
A.sinA=
B.sinA=
C.sinA=
D.sinA=
B
解析:如图,
而BC=2,
A
2. 在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,sinA= 则边AC的长是( )
A. B.3 C. D.
选做题
3. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB.
(1) sinB 可以由哪两条线段之比表示
解：∵ CD⊥AB，∴∠ADC =∠ACB = 90°，
∴∠ACD = ∠B=90°－∠A，
∴
(2) 若 AC = 5，CD = 3，求 sinB 的值.
解：
由 (1)知，
A
C
B
D
综合拓展题
4.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°， ，BC = 3，求 sinB 及 Rt△ABC 的面积.
A
B
C
作业布置
必做题
3
1.如图，∠α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（b,4），若sinα= ______，则b=_______.
选做题
2. 如图，在 △ABC 中， AB = BC = 5，sinA = ，求△ABC 的面积.
解：作BD⊥AC于点D，
∵ sinA = ，
∴
又∵ AB=AC ，BD⊥AC，∴ AC=2AD=6，
∴S△ABC=AC×BD÷2=12.
D
5
5
C
B
A
综合拓展题
3.如图，在△ABC中，AB=5，BC=13，AD是BC边上的高，AD=4，求CD的长和sinC的值.
解：∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵AB=5，AD=4，∠ADB=90°，
∵BC=13，
∴CD=BC-BD=10.
∵AD=4，∠ADC=90°，
∴BD= =3.
∴AC= = .
课堂总结
正 弦
定 义
B
A
C
c
a
b
斜边
对边
正弦的应用
已知直角三角形的边长，求锐角的正弦值
已知锐角的正弦值，求直角三角形的边长
∠A的对边
斜边
sin A = =
c
a
作业布置
教材课后配套作业题。
谢谢
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