4.4.2 对数函数的图象和性质 -2023-2024学年高二数学（沪教版2020选择性必修第一册） 课件（共15张PPT）

(共15张PPT)
4.4.2 对数函数的图象和性质
1.掌握对数函数的图象和性质
2.知道同底的对数函数与指数函数互为反函数
完成x,y的对应值表，用描点法画出函数 和 的图象,观察它们之间有什么关系？
知识点1：对数函数的图象和性质
x y=log2x
0.5
1
2
4
6
8
12
16
y
x
O
5
2
15
10
-6
-4
-2
8
6
4
-log212
-log26
-2
-3
-4
-1
底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称．
代数角度：
由换底公式，可得 因为点(x,y)与点(x,-y)关于x轴对称.所以函数 图象上任意一点P(x,y)关于x轴的对称点P1(x,-y)都在 的图象上,反之亦然.
根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画另一个函数的图象.
y
x
O
-2
-1
2
1
1
5
2
3
4
思考：取底数a为 ，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数图象,观察图象并概括出对数函数 (a>0,且a≠1)的性质.
①图象都在y轴右侧
⑤0＜a＜1时，图象下降
④a＞1时，图象上升
③无限靠近y轴但不相交
②都经过点（1，0）
定义 y＝logax(a>0，且a≠1)
底数 a>1 0图象
定义域
值域
单调性
共点性
对称性
(0，＋∞)
R
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
图象过点(1,0)，即loga1＝0
函数y＝logax与y= 的图象关于x轴对称
例1 比较下列各题中两个值的大小：
（1）
（2）
（3）
（2） 可看作函数 的两个函数值，
解：（1） 可看作函数 的两个函数值，
因为底数 对数函数 是增函数，
由 所以
由 所以
因为 对数函数 是减函数，
例1 比较下列各题中两个值的大小：
（1）
（2）
（3）
（3） 可看作函数 的两个函数值,
而对数函数的单调性取决于底数是大于1还是小于1.因此，需要讨论.
当 时， 单调递增，5.1<5.9,则
当 时， 单调递减，5.1<5.9,则
当底数相同,真数不同时,利用对数函数的增减性比较大小.
注意:当底数不确定时,要对底数与1的大小进行分类讨论.
总结归纳
练一练
比较下列各组数中两个值的大小:
解:(1)∵log67＞log66＝1
　log76＜log77＝1
　 ∴log67＞log76
(2)∵log3π＞log31＝0
log20.8＜log21＝0
∴log3π＞log20.8
当底数不同，真数不同时，可考虑这些数与1或0的大小.
例2 溶液酸碱度的测量.
溶液酸碱度是通过pH计算的.pH的计算公式为pH=-lg[H+],其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.
(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；
解：（1）根据对数的运算性质得
在(0，+∞)上,随着[H+]的増大， 减小，相应地， 也减小，即pH减小.
所以，随着[H+]的增大，pH减小，即溶液中氢离子的浓度越大，其酸性就越强.
例2 溶液酸碱度的测量.
溶液酸碱度是通过pH计算的.pH的计算公式为pH=-lg[H+],其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.
(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10-7摩尔/升，计算纯净水的pH值.
（2）当[H+]=10-7时，
即纯净水的pH是7.
思考:画出指数函数 的图象，并与函数 的图象进行比较，它们有什么关系？
知识点2：反函数
（1）其图象关于y＝x对称.
（2）它们的定义域和值域正好互换.
y
x
O
2
-2
8
6
4
2
8
4
6
已知函数y=2x(x∈R,y∈(0,+∞))可得到x=log2y ，对于任意一个y∈(0,+∞)，通过式子x=log2y，x在R中都有唯一确定的值和它对应.也就是说，可以把y作为自变量，x作为y的函数，这是我们就说x=log2y(y∈(0,+∞))是函数y=2x(x∈R)的反函数.
通常，我们用x表示自变量，y表示函数.为此，把函数x=log2y写成y=log2x,这样，对数函数y=log2x(x∈(0,+∞))是指数函数y=2x(x∈R)的反函数.
因此，函数y=logax(a＞0,且a≠1)与指数函数y=ax互为反函数.
根据今天所学，回答下列问题：
1.对数函数图象和性质是什么样的？
2.对数函数和指数函数有什么区别和联系？