4.4.3 不同函数增长的差异-2023-2024学年高二数学（沪教版2020选择性必修第一册） 课件（共15张PPT）

(共15张PPT)
4.4.3 不同函数增长的差异
1.了解指数函数、对数函数、一次函数的增长差异
知识点1：指数函数与一次函数的增长差异
思考:以函数y=2x与y=2x为例,研究指数函数和一次函数，探索它们在区间[0,+∞）上的增长差异，描述指数函数增长的特点.
x y=2x y=2x
0 1 0
0.5 1.414 1
1 2 2
1.5 2.828 3
2 4 4
2.5 5.657 5
3 8 6
··· ··· ···
x
1
3
2
y
8
O
5
1
2
3
7
6
4
(1)函数y=2x与y=2x有两个交点(1,2)和(2,4)
(2)在区间(0,1)上，函数y=2x的图象位于y=2x之上
(3)在区间(1,2)上，函数y=2x的图象位于y=2x之下
(4)在区间(2,3)上，函数y=2x的图象位于y=2x之上
x
1
3
2
y
8
O
5
1
2
3
7
6
4
综上：虽然函数y=2x与y=2x都是增函数，但是它们的增长速度不同，
函数y=2x的增长速度不变，但是y=2x的增长速度改变，先慢后快.
思考:取更大的x值，在更大的范围内两个函数图象的关系？
x y=2x y=2x
0 1 0
2 4 4
4 16 8
6 64 12
8 256 16
10 1024 20
12 4096 24
··· ··· ···
x
5
15
10
y
O
1000
200
400
600
800
随着自变量取值越来越大，函数y=2x的图象几乎与x轴垂直，函数值快速增长，函数y=2x的增长速度保持不变，和y=2x的增长相比几乎微不足道.
函数y=2x与y=2x在[0,+∞)上增长快慢的不同如下：
虽然函数y=2x与y=2x在[0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同.
随着x的增大，y=2x的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=2x的增长速度.
尽管在x的一定范围内，2x<2x，但由于y=2x的增长最终会快于y=2x的增长，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，恒有2x>2x.
总结归纳
一般地,指数函数y=ax(a>1)与一次函数y=kx(k>0)的增长都与上述类似.
即使k值远远大于a值，指数函数y=ax(a>1) 有一段区间会小于y=kx(k>0)，但总会存在一个x0，当x>x0时， y=ax(a>1)的增长速度会大大超过y=kx(k>0)的增长速度.
指数函数不像一次函数那样按同一速度增长，而是越来越快，呈爆炸性增长(指数爆炸).
练一练
四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 37 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
关于x呈指数函数变化的变量是________.
y2
知识点2：对数函数与一次函数的增长差异
思考:以函数y=lgx与 为例,研究对数函数和一次函数，探索它们在区间[0,+∞）上的增长差异，试描述对数函数增长的特点.
x y=lgx
0 不存在 0
10 1 1
20 1.301 2
30 1.477 3
40 1.602 4
50 1.699 5
60 1.778 6
··· ··· ···
x
20
40
30
y
O
6
1
2
3
4
5
10
60
50
x
20
40
30
y
O
6
1
2
3
4
5
10
60
50
在(0,+∞)上增长速度不变，y=lgx在(0,+∞)上的增长速度在变化.
随着x的增大， 的图象离x轴越来越远，而函数y=lgx的图象越来越平缓，就像与x轴平行一样.
思考：将y=lgx放大1000倍，将函数y=1000lgx与 比较，仍有上面规律吗？
对数函数 与一次函数y=kx(k>0)在(0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同.
随着x的增大，一次函数y=kx(k>0)保持固定的增长速度，而对数函数
的增长速度越来越慢.
不论a值比k值大多少，在一定范围内， 可能会大于kx，但由于 的增长会慢于kx的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，恒有 .
总结归纳
对数函数比较适合于描述增长速度平缓的变化规律(对数增长).
函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较).
练一练
解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lgx.
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较).
(2)当xf(x)；当x1g(x)；
当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．
根据今天所学，回答下列问题：
1.指数函数、对数函数、一次函数的增长有何差异？
2.对数函数和指数函数分别适合描述怎样的增长规律？