4.5.1 函数的零点与方程的解 课件(共12张PPT) 2023-2024学年高一数学人教A版（2019)必修第一册

(共12张PPT)
4.5.1 函数的零点与方程的解
1.了解函数的零点与方程根的联系
2.理解零点存在定理，能用函数零点存在定理求简单函数的零点个数及零点所在的大致区间
推广到更一般的情况，得：
方程 的实数根
一元二次方程的根就是相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标.若一元二次方程无实数根，则相应的二次函数图象与x轴无交点.
函数 的图象与x轴有公共点
知识点1：函数的零点与方程根的联系
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
问题1:函数的零点是一个点吗？
零点不是一个点，零点指的是一个实数.
问题2:指出下列三者之间的关系？
方程f(x)=0有实数解
函数y=f (x)有零点
函数y=f(x)的图象与x轴有公共点
观察函数的图象并填空:
在图1区间(a,b)上 _____0(“＜”或“＞”).在区间(a,b)上______(有/无)零点；
在图2区间(a,b)上 _____ 0(“＜”或“＞”).在区间(b,c)上______(有/无)零点.
知识点2：函数零点存在定理
思考:在怎样的条件下，函数y=f(x)在区间[a,b]上存在零点？
x
y
O
a
b
c
d
O
y
x
b
a
有
＜
无
＜
图1
图2
总结归纳
零点存在性定理:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有至少有一个零点.
即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c就是方程f(x)=0的解.
若f(x)在[a,b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)·f(b)<0,则f(x)在[a,b]上有唯一的零点.
思考:为什么强调“函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象一条不间断的曲线”？如果函数图象不连续，或者f(a)·f(b)＞0，那么零点存在性定理还一定成立吗？
x
y
O
a
b
O
y
x
b
a
O
y
x
b
a
O
y
x
b
a
例1 求方程lnx+2x-6=0的实数解的个数.
解：设函数f(x)=lnx+2x-6，列出函数y=f(x)的对应值表，并画出图象.
x y
1 -4
2 -1.306 9
3 1.098 6
4 3.386 3
5 5.609 4
6 7.791 8
7 9.945 9
8 12.079 4
9 14.197 2
f(2)<0,f(3)>0,则f(2)f(3)<0.由函数零点存在定理可知，函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内至少有一个零点，
容易证明，函数f(x)=lnx+2x-6,x∈(0,+∞)是增函数，所以它只有一个零点，即相应方lnx+2x-6=0只有一个实数解.
1.已知函数y＝f(x)的图象是连续的曲线，且有如下的对应值
则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
练一练
D
x 1 2 3 4 5 6
y -120.1 0 112 -40 56.7 -76.2
2．函数f(x)＝2x－3的零点所在的区间是(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
B
解析：∵f(1)＝2－3＝－1<0，f(2)＝4－3＝1>0，
∴f(1)·f(2)<0，即f(x)的零点所在的区间为(1,2)．
根据今天所学，回答下列问题：
1.零点与方程根之间有着怎样的联系？
2.用函数零点存在定理确定函数的实数解时，需要注意什么条件？