4.5.2 用二分法求方程的近似解 课件(共14张PPT) 2023-2024学年高一数学人教A版（2019)必修第一册

(共14张PPT)
4.5.2 用二分法求方程的近似解
1.理解二分法的概念及其使用条件
2.会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解
思考:函数lnx+2x-6=0在区间(2,3)内存在一个零点，如何求出这个零点呢？
知识点：二分法
将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值．为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围．
一般地， 称为区间(a,b)的中点．
取区间(2,3)的中点2.5，得f(2.5)≈－0.084．
∵f(2.5)f(2.75)＜0，
∴零点在区间(2.5,2.75)内．
∵f(2.5)f(3)＜0，
∴零点在区间(2.5,3)内．
再取区间(2.5,3)的中点2.75，得f(2.75)≈0.512．
2
3
x
2.5
2.75
由于(2,3) (2.5,3) (2.5,2.75),所以零点所在的范围变小了.
重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小，这样，我们就可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满足一定精确度的区间，区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值.
零点所在区间 中点的值 中点函数近似值
（2,3） 2.5 -0.084
（2.5,3） 2.75 0.512
（2.5,2.75） 2.625 0.215
（2.5,2.625） 2.562 5 0.066
（2.5,2.562 5） 2.531 25 -0.009
（2.531 25,2.562 5） 2.546 875 0.029
（2.531 25,2.546 875） 2.539 062 5 0.010
（2.531 25,2.539 062 5） 2.535 156 25 0.001
为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值.
当精确度为0.01时，因为|2.5390625-2.53125|
=0.0078125<0.01,
所以区间(2.53125,2.5390625)内任意一点都可以作为零点的近似值.
对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
概念生成
思考：若函数y=f(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？
二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解．
通过下列函数的图象，判断能用“二分法”求其零点的是( )
练一练
C
A
B
C
D
例1 借助信息技术，用二分法求方程2x+3x=7的近似解(精确度为0.1).
解：原方程即2x+3x=7,令f(x)=2x+3x-7,用信息技术画出函数y=f(x)的图象，并列出它的对应值表.
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y -6 -2 3 10 21 40 75 142 273
观察图表可知f(1)f(2)＜0,说明该函数在区间(1,2)内存在零点x0.
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y -6 -2 3 10 21 40 75 142 273
取区间(1,2)的中点x1=1.5，用信息技术算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)f(1.5)＜0，所以x0∈(1,1.5).
再取区间(1,1.5)的中点x2=1.25，用信息技术算得f(1.25)
≈-0.87.因为f(1.25)f(1.5)＜0，所以x0∈(1.25,1.5).
同理可得，x0∈(1.375,1.5)，x0∈(1.375,1.4375).
由于|1.375-1.4375|=0.0625＜0.1,
所以，原方程的近似解可取为1.375.
给定精确度 ，用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：
1.确定零点x0的初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0.
2.求区间(a,b)的中点c.
3.计算f(c)，并进一步确定零点所在区间：
（1）若f(c)=0（此时x0=c），则c就是函数的零点；
（2）若f(a)f(c)<0（此时x0∈(a,c)），则令b=c；
（3）若f(c)f(b)<0（此时x0∈(c,b)），则令a=c；
4.判断是否达到精确度 ：若|a-b|< ，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2~4.
总结归纳
用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经过计算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________.
练一练
(0,0.5)
f(0.25)
根据今天所学，回答下列问题：
1.二分法的使用条件是什么？
2.说一说二分法求解方程近似解的步骤.