4.5.3 函数模型的应用 第1课时-2023-2024学年高二数学（沪教版2020选择性必修第一册） 课件（共18张PPT）

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4.5.3 函数模型的应用 第1课时
1.会利用已知函数模型解决实际问题
思考:函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画. 如何选择恰当的函数模型来刻画实际问题？
知识点：利用已知函数模型解决实际问题
例1 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律可以为制定一系列相关政策提供依据.早在1978年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型y=yoert,其中t表示经过的时间，yo表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.下表是1950~1959年我国的人口数据资料.
年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人口数/万 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207
(1)用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型;
分析：用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型就是要确定其中的初始量yo和年平均增长率r.
解:（1）由题意知yo=55196，设1950~1959年期间我国人口的年平均增长率为r，根据马尔萨斯人口增长模型，有
67207=55196e9r，
由计算工具得 r≈0.021876.
因此我国在1950~1959年期间的人口增长模型为
y=55196e0.021876t,t∈[0,9].
(2)检验所得模型与实际人口数据是否相符；
（2）分别取t=1，2，...，8，由y=55196e0.021876t可得我国在1951~1958年期间各年末人口总数，
年份 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958
实际人口总数/万 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994
计算所得人口总数/万 56417 57665 58940 60243 61576 62938 64330 65753
根据1950~1959年我国人口总数的实际数据画出散点图，并画出函数y=55196e0.021876t(t∈[0,9])的图象.
可以看出1950~1959年的实际人口总数据基本吻合.
(3)用所得模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到13亿？
（3）将y=130000代入
y=55196e0.021876t，
由计算工具得
t≈39.15.
所以，如果人口按照（1）中的模型增长，那么大约在1950年后的第40年（即1990年），我国的人就已达到13亿.
思考:事实上，我国1990年的人口数为11.27亿，直到2005年オ突破13亿.对由函数模型所得的结果与实际情况不符，你有何看法？
我国从20世纪70年代逐步实施了计划生育政策.因此这一阶段的人口増长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件，自然就出现了依模型得到的结果与实际不符的情况.
在用已知的函数模型刻画实际问题时，应注意模型的适用条件.
已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值.
归纳总结
解决这类给出指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意确定相关的系数．
常见函数模型
常用函数模型 (1)一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)指数函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
(4)对数函数模型 y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
(5)幂函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(6)分段函数
例2 2010年,考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料(草裹泥)上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测,检测出碳14的残留量约为初始量的55.2％,能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？
分析：因为死亡生物机体内碳14的初始量按确定的衰减率衰减，属于指数衰减，所以应选择函数y=kax(k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1）建立数学模型.
解：设样本中碳14的初始量为k，衰减率为p(0＜p＜1），经过x年后，残余量为y，根据问题的实际意义，可选择如下模型：
y=k(1-p)x(k∈R，且k≠0；0＜p＜1;x≥0）.
由碳14的半衰期为5730年，得
于是
所以
由样本中碳14的残余量约为初始量的55.2%可知，
即
解得
由计算工具得x≈4921，
因为2010年之前的4912年是公元前2902年，所以推断此水坝大概是公元前2902年建成的.
对于增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N(1＋p)x
(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y＝a(1＋x)n(其中
a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，
要注意与已知条件中给定的值对应求解．
归纳总结
练一练
1.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是(　　)
A． B．
C． D．
A
2.某工厂生产过程中产生的废气必须经过过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物含量p(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：小时)之间的关系为p(t)＝p0e－kt(式中的e为自然对数的底数，p0为污染物的初始含量)．过滤1小时后，检测发现污染物的含量减少了 .
(1)求函数关系式p(t)；
解：(1)根据题意，得 ，
所以 ，所以 .
2.某工厂生产过程中产生的废气必须经过过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物含量p(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：小时)之间的关系为p(t)＝p0e－kt(式中的e为自然对数的底数，p0为污染物的初始含量)．过滤1小时后，检测发现污染物的含量减少了 .
(2)要使污染物的含量不超过初始值的，至少还需过滤几个小时？
(2)由 ，得 ，
两边取对数并整理得 ，所以t≥30.
因此，至少还需过滤30个小时．
根据今天所学，回答下列问题：
1.说一说如何利用已知函数模型解决实际问题？