4.5.3 函数模型的应用 第2课时-2023-2024学年高二数学（沪教版2020选择性必修第一册） 课件（共18张PPT）

(共18张PPT)
4.5.3 函数模型的应用 第2课时
1.能选择合适的函数类型构建数学模型解决实际问题
例1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.
请问，你会选择哪种投资方案？
分析：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据.
知识点：选择合适的函数类型构建数学模型解决实际问题
解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y=40(x∈N*)进行描述；
三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是增函数.要对三个方案作出选择，就要对它们的増长情况进行分析.
方案三可以用函数y=0.4×2x-1(x∈N*)进行描述.
方案二可以用函数y=10x(x∈N*)进行描述；
三种方案所得回报的增长情况
x 方案一 方案二 方案三
y 增加量/元 y 增加量/元 y 增加量/元
1 40 　 10 　 0.4 　
2 40 0 20 10 0.8 0.4
3 40 0 30 10 1.6 0.8
4 40 0 40 10 3.2 1.6
5 40 0 50 10 6.4 3.2
6 40 0 60 10 12.8 6.4
7 40 0 70 10 25.6 12.8
8 40 0 80 10 51.2 25.6
9 40 0 90 10 102.4 51.2
10 40 0 100 10 204.8 102.4
… … … … … … …
30 40 0 300 10 214748365 107374182.4
画出三个函数的图象
x
y
20
40
60
80
100
120
140
4
2
6
8
10
12
O
累计回报表
方案　 天数
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440
二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660
三 0 1 2.8 6 12 25 50.8 102 204 409 819
投资1~6天，应选择方案一；
投资7天，应选择方案一或方案二；
投资8~10天，应选择方案二；
投资11天（含11天）以上，应选择方案三.
选择函数模型解释实际问题的基本步骤：
归纳总结
例2 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y (单位：万元)随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x, y=log7x+1, y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求？
分析: 由于公司总的利润目标为1000万元 ,所以销售人员的销售利润一般不会超过公司总的利润.
于是,只需在区间[10,1000]上 ,
寻找并验证所选函数是否满足两条要求 ：
第一 ,奖金总数不超过5万元,即最大值不大于5;
第二 ,奖金不超过利润的25％,即y≤0.25x .
不妨先画出函数图象,通过观察函数图象,得到初步的结论,再通过具体计算, 确认结果.
解:借助信息技术画出函数y＝5,y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x的图象.
在区间[10,1000]上,模型y=0.25x,
y=1.002x的图象都有一部分在直线y＝5的上方,只有模型y=log7x+1的图象始终在y＝5的下方,这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求.
对于模型y=0.25x,它在区间[10,1000]上单调递增，而且当x=20时，y=5
因此，当x>20时，y>5,所以该模型不符合要求;
对于模型，y=1.002x,由函数图象,可知在区间(805,806)内有一个点xo满足
,由于它在区间[10,1000]上单调递增因此当x>xo时，y>5,所以该模型也不符合要求；
先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元.
对于模型y=log7x+1，它在区间[10,1000]上单调递增,而且当x＝1000时，y=log71000+1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．
再计算按模型y=log7x+1奖励时,奖金是否不超过利润的25％ ,
令f(x)=log7x+1-0.25x，x∈[10,1000],利用信息技术画出它的图象.
即当x∈[10,1000]时,是否有y≤0.25x，
即log7x+1≤0.25x成立．
由图象可知函数f(x)在区间[10,1000]上单调递减,
因此f(x)≤f(10)≈－0.3167＜0,即y=log7x+1＜0.25x．
所以,当x∈[10,1000]时,y≤0.25x,说明按模型y=log7x+1奖励, 奖金不会超过利润的25％．
综上所述,模型y=log7x+1确实能符合公司要求.
用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程:
归纳总结
选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题
分析和理解实际问题的增长情况(是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”)
用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题
通过运算、推理求解函数模型
实际问题
实际问题的解
函数模型
函数模型的解
解释说明
化归
运算
推理
练一练
某地今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52,61,68.为了预测以后各月的患病人数,甲选择了模型 ,乙选择了模型
其中y为患病人数，x为月份数，a,b,c,p,q,r都是常数.结果4月，5月，6月份的患病人数分別为74,78,83.你认为谁选择的模型更符合实际？
解：由1~3月的患病人数，可得甲选择的模型为y=-x2+12x+41,乙选择的模型为
当x=4,5,6时，由y=-x2+12x+41,可得y=73,76,77;由
可得y≈73,78,81.可见，乙选择的模型更符合实际.
根据今天所学，回答下列问题：
1.说一说选择合适的函数类型构建数学模型解决实际问题的基本过程.