5.1.1 任意角-2023-2024学年高二数学 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
5.1 任意角与弧度制
5.1.1 任意角
1. 通过观察圆的周期性变化，理解任意角的概念；
2. 理解象限角的概念及终边相同的角的含义；
3. 通过对任意角的建构过程，掌握用集合表示终边相同的角.
知识点1：任意角的概念
回顾：
角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；
角的表示：如图，OA是角 α 的始边，OB是角 α 的终边，O是角的顶点；角 α 可记为“角 α”或“∠α”或简记为“α”．
O
A
B
α
主动轮
被动轮
问题 1 ：如图，若主动轮旋转两周，你能准确描述出被动轮旋转的现象吗？
A
B
通过观察，可知：
主动轮和被动轮的旋转方向是相反的，但题中未给明主动轮旋转方向，故同样不能判断被动轮旋转方向，无法准确描述被动轮旋转现象.
思考：如图，如何区分主动轮、被动轮旋转形成的不同方向的角？
概念讲解
角的分类：按一条射线绕其端点的旋转方向，角可以分为三类：
正角：按逆时针方向旋转形成的角，如图∠α；
负角：按顺时针方向旋转形成的角，如图∠β ；
零角：没有做任何旋转形成的角；
O
A
B
α
正角
O1
A1
B1
β
负角
注意：如果角α与角β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α=β；
用图像表示角时，箭头的方向体现角的正负，因此箭头不能少.
知识点2：任意角的运算
问题 2 ：如图，类比实数的加减运算，说说将 α 的终边再次逆时针旋转 β 后该如何表示？
α
β
把角 α 的终边旋转角 β，这时终边所对应的角是 α + β ；
思考：若将 α 的终边顺时针旋转 β 后又该如何表示？
顺时针旋转的角 β 为负角，这时终边所对应的角是 α – | β |；
注：字母 α、β 表示任意角，本身即是带有符号的.
任意角的运算
当 α，β 的符号为正时，射线的旋转方向为逆时针；符号为负时，射线的旋转方向为顺时针；为了方便，可用 |α| 、|β| 表示相应的旋转量；
按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角；
即：角 α 的相反角记为 – α.
总结归纳
O
A
B1
α
B2
- α
O
A
B1
- α
B2
α
知识点 3：终边相同的角
O
x
y
B
– 30°
330°
– 390°
例 1 ：结合上述发现，完成下列填空：
– 390°= – 30°+（ ）； 330°= 30°+（ ）.
– 360°
360°
思考：分别将 30°、 – 390°及 330°的角，画在坐标系中，结合图象说说你有什么发现？
由图可知，角的终边 OB 除了可以表示 -30°的角之外，还可以表示 -390°，330°等角；
即： 30°、 – 390°及 330°是终边相同的角.
思考：结合上述例题，你发现了终边相同的角的变化规律吗？
规律：由图可知，与 – 30°终边相同的这些角都可以表示成-30°角与k个周角的和，其中k∈Z；
O
x
y
B
– 30°
330°
– 390°
– 390°= – 30°– 360°（k = – 1）；
330°= 30°+ 360° （ k = 1 ）.
概念讲解
一般地，所有与α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合：
S={ β | β = α + k·360°，k∈Z }
即：任一与 α 终边相同的角，都可以表示成角 α 与整数个周角的和.
注意：
（1）α是任意角；
（2）集合中 α 与 k·360°间用“+”连接；
如： k·360°-30°应看成 k·360°+ (-30°)，表示与 -30°角终边相同的角.
例 2 ：写出与α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°＜β＜360°的元素β写出来．
解：与α＝－910°终边相同的角的集合为{ β | β＝－910°+ k·360°，k∈Z}，
∵－720°＜β＜360°，即－720°＜－910°+ k·360°＜360°，k∈Z，
∴ k可取1，2，3；
当k＝1时，β＝－910°+ 360°＝－550°；
当k＝2时，β＝－910°+ 2×360°＝－190°；
当k＝3时，β＝－910°+ 3×360°＝170°.
1. 下面与 －850°12′ 终边相同的角是(　　)
A．230°12′　　 B．229°48′
C．129°48′ D．130°12′
练一练
B
O
α = 25°
β = – 120°
x
y
知识点3：象限角与轴线角
问题 3 ：如图，计算 α + β 的值，并说说结果所得的角位于第几象限？
α + β = 25°+ (-120°) = -95°；
-95°的角位于第三象限.
总结：如图，角 α 是第一象限角，角 β 、角 α + β 是第三象限角；
象限角：角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角.
思考：若角 α 的终边在坐标轴上，那么角 α 还是象限角吗？
若角的终边在坐标轴（x/y）上，那么这个角不属于任何一个象限，我们把这样的叫轴线角，如右图的角γ.
O
x
y
γ
思考：你能说说在坐标系中讨论角的好处吗？
例 3 ：已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合；
请作出下列各角，并判断它们分别是第几象限角．
① 65°； ② 155°； ③ -135°； ④ 288°.
解：如图所示，作出各角的终边；由图可知：
o
x
y
65°
o
x
y
155°
o
x
y
-135°
o
x
y
288°
注意：作图时，可根据角的正负判断角的旋转方向！！！
1.下列说法中正确说法的序号为________．
① 锐角都是第一象限角；
② 第一象限角一定不是负角；
③ 小于180°的角是钝角、直角或锐角；
④ 始边和终边重合的角是零角．
练一练
①
注意：负角中的“负”表示的是角的方向，而不是角的大小，因此不能单纯的认为-360°的角小于180°的角.
1.象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小；
2.负角中的“负”表示的是角的方向，而不是角的大小；
因此不能片面的用象限、正负判断角的大小.
总结归纳
例 4：若 α 是第二象限角，请确定 的终边所在的位置.
解：因为 α 是第二象限角，所以 90°+ k·360°< α < 180°+ k·360°，k∈Z；
所以 45°+ k·180°< < 90°+ k·180°，k∈Z；
k = 2n (n∈Z) 时，45°+ n·360°< < 90°+ n·360°，n∈Z；
k=2n+1(n∈Z)时，225°+ n·360°< < 270°+ n·360°，n∈Z；
所以 的终边位于第一或者第三象限.
思考：你还能写出其他不同象限角的集合表示吗？
象限角的集合表示
象限角 象限角 α 的集合表示
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
{ α | k·360°＜α＜ 90°+ k·360°，k∈Z }
{ α | 90°+ k·360°＜α＜180°+ k·360°，k∈Z }
{ α | 180°+ k·360°＜α＜270°+ k·360°，k∈Z}
{ α | 270°+ k·360°＜α＜360°+ k·360°，k∈Z}
思考：若角不在象限内，你能写出它们的集合表示吗？
轴线角的集合表示：
角 α 终边的位置 象限角 α 的集合表示
在 x 轴的非负半轴上
在 x 轴的非正半轴上
在 y 轴的非负半轴上
在 y 轴的非正半轴上
在 x 轴上
在 y 轴上
在坐标轴上
{ α | α = k·360°，k∈Z }
{ α | α = 180°+ k·360°，k∈Z}
{ α | α = 90°+ k·360°，k∈Z}
{ α | α = 270°+ k·360°，k∈Z}
{ α | α = k·180°，k∈Z}
{ α | α = 90°+ k·180°，k∈Z}
{ α | α = k·90°，k∈Z}
3.若 α 是第二象限角，请确定 的终边所在的位置.
练一练
①
②
③
④
②
①
③
④
④
①
②
③
解：运用图示法判断象限；
从x轴正半轴沿逆时针把每个象限平分成 3 部分，并且依次标上①②③④，则标②的就是 所在的区域.（注：原角 α 是第几象限，就找对应标号）
根据今天所学，回答下列问题：
（1）按照旋转方向不同，可以将角分为几类？相等的角有什么特征？
（2）象限角是如何定义的？
（3）如何表示终边相同的角？
任意角
象限角
正角、负角、零角
终边相同的角：
β = α + k·360°，k∈Z }
框图结构