5.1.2 弧度制-2023-2024学年高二数学 课件（共18张PPT）

(共18张PPT)
5.1 任意角与弧度制
5.1.2 弧度制
1. 通过类比不同度量制，了解弧度制的概念；
2. 掌握弧度与角度的互化；
3. 掌握并能运用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式；
问题 1：结合生活中常见的汽车仪表盘，说一说，图中两圈不同数字的含义？
拓展：外圈数字单位是“千米/小时” ；
内圈数字是英制，单位为“英里/小时”.
思考：参照上述事例，说一说，角的度量是否也能用不同的单位制呢？
知识点1：弧度制的概念
回顾：用度作单位来度量角的单位制叫做角度制；
如图，设a=n°，OP=r，点P所形成的圆弧 的长为l ；则：
PP1

O
A
B
α
P
P1
l =
思考：说一说，弧长与半径之间存在怎样的关系？
问题 2 ：如图，在射线OA上任取一点Q（不同于点O），OQ=r1，在旋转过程中，点Q所形成的圆弧QQ1的长为l1. l1与r1的比值是多少？你能得出什么结论？

O
A
B
α
P
P1
Q1
Q
= n
由：l1 = ，得：
结论：圆心角α所对的弧长与半径的比值，只与α的大小有关；
即：这个比值随α的确定而唯一确定.
概念讲解
前提：圆心角α一定时，其所对的弧长与半径的比值一定，故可以用圆的弧长与半径的关系度量圆心角；
规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角；
弧度单位用符号rad表示，读作弧度；
用弧度作单位来度量角的单位制叫做弧度制；
例：如图，在单位圆（半径为1的圆）O中，AB的长
等于1，∠AOB就是1弧度的角.
x
y
O
A
B
1 rad
1
根据上述规定，在半径为 r 的圆中，弧长为 l 的弧所对的圆心角为 α rad，那么：
|α| = = n .
注意：
（1）类似角的正负，角的终边逆时针旋转 α 为正，顺时针旋转 α 为负；
（2）角的终边旋转超过一周后，可得弧度数大于2π或小于-2π的角；
即可用弧度表示任意大小的角；
（3）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.
例 2 ：通过对比角度制与弧度制的区别与联系，完成下列表格.
弧度制 角度制
区别
联系
无论弧度制还是角度制，
角的大小都是一个与半径大小无关的定值
弧度制以线段长度来度量角
角度制是“以角量角”
弧度制是十进制
角度制是六十进制
1弧度是等于半径长的弧
所对的圆心角的大小
1°的角是周角的
思考：结合前面的汽车仪表盘事例，我们可以知道千米和英里之间存在一定的换算关系，那么角度制、弧度制之间也存在这样的换算关系吗？如果存在，又该如何换算呢？
知识点2：角度与弧度的换算
x
y
O
由 |α| = 可知，周角的弧度数为：α = = 2π rad；
故 360° = 2π rad， 180° = π rad.
注意：上述 180° 是对应 π rad，而不是对应 实数 π.
角度与弧度的换算公式：
180°= π rad
1°= rad ≈ 0.017 45 rad
1 rad = ()°≈ 57.30°
角度数 = 弧度数× ()°
弧度数 = 角度数×
例 3 ：运用角度与弧度的换算公式，把下列角度化成弧度.
（1）22°30 ； （2）-210°（精确到0.001）.
解：（1）∵ 22°30 = 22.5°，∴ 22.5°= 22.5× = 0.125 π；
（2） -210° = -210× = -1.167 π rad.
注意：
（1）角度中含有 分( )、秒( ) 时，化成弧度制之前，要先化成 度(°)；
（2）负角换算成弧度后仍旧是一个负数.
例 4 ：把下列弧度化成角度.
（1）； （2）-.
解：（1） × ()°= 15°；
（2）- × ()°= -240°.
练一练
度 0° 30° 45° 120° 135° 150° 360°
弧度 π
1.运用换算公式，填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表：
90°
60°
180°
270°
0
2π
总结归纳
弧度制下角的集合与实数集的一一对应：
正角
零角
负角
任意角的集合
正实数
0
负实数
实数集R
知识点3：弧度制下的弧长公式和扇形面积公式
角度制 弧度制
弧长公式
扇形面积公式
l =
S = lR =
l = |α|·R
S = lR = ·|α|·R2
例 5 ：若用R表示圆的半径，n（ 0＜n＜360° ），α（0＜α＜2π）为圆心角，l是扇形弧长，S是扇形面积；结合前面所学，完成下面的表格：
注意：弧度制下的扇形面积公式中的角都要用弧度数，不能用度数.
1.用角度制、弧度制下的弧长公式，计算半径为1 m的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度（可用计算工具）
练一练
解：角度制：l = = = m；
弧度制：60°= ；l = |α|·R = ×1= m；
发现：弧度制下的弧长公式形式变简单了，当熟练掌握角度、弧度互化后，还将进一步看到弧度制带来的便利.
2.如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求扇形AOB的面积.
练一练
解：扇形面积：S = lR = ·|α|·R2 = ××62 = 12π .
根据今天所学，回答下列问题：
（1）什么叫 1 弧度角
（2）说一说，“角度制”与“弧度制”的联系与区别；
（3）弧度制下的弧长公式与扇形面积公式.