5.2.1 第1课时 三角函数的定义 课件(共13张PPT) 2023-2024学年高一数学人教A版（2019)必修第一册

(共13张PPT)
5.2.1 三角函数的概念
第 1 课时
1. 借助单位圆，理解任意角三角函数的定义；
2. 能计算简单的三角函数的值.
回顾：初中我们是如何定义锐角三角函数的？
知识点1：任意角三角函数的定义
思考：结合任意角的推广，想一想，任意角的三角函数应该如何计算？
sin α = ____________；
cos α = ____________；
tan α = ____________；
A
B
C
α
a
b
c
问题：如图，建立直角坐标系，做单位圆O. 点A的坐标为(1，0)，点P的坐标为(x，y). 射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP. 当 α = 时，点P的坐标是什么？当 α = 或 时，点P的坐标又是什么？它们唯一确定吗？
当 α = 时：
x
y
O
A(1，0)
α
P(x，y)
x
y
O
A(1，0)
P1
利用勾股定理可以发现，当 α = 时，点 P1的坐标是（，）；
当 α = 或 时，点P的坐标又是什么？它们唯一确定吗？
当 α = 时：
x
y
O
A(1，0)
P2
P2（0，1）；
P3（，）；
当 α = 时：
x
y
O
A(1，0)
P3
结论：任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，无论是横坐标 x 还是纵坐标 y，都是唯一确定的；
即：点P的横坐标 x 和纵坐标 y 都是角α的函数.
概念讲解
任意角三角函数的定义
设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)；
（1）把点P的纵坐标 y 叫做 α 的正弦函数，记作sinα，即 y=sinα；
（2）把点P的横坐标 x 叫做 α 的余弦函数，记作cosα，即 x =cosα；
（3）把点P的纵坐标和横坐标的比值 叫做α的正切，记作tanα，即 = tanα (x≠0)；
当 α = + kπ（k∈Z）时，α 的终边始终在 y 轴上，这时 x = 0，tanα无意义；
此外，正切 tanα 与实数 α 是一一对应的，即 =tanα (x≠0) 为正切函数.
定义：正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数.
三角函数可以看成是以实数α (α为弧度) 为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.
注意：
（1）在任意角的三角函数定义中，α 是一个使函数有意义的实数；
（2） x 是自变量，离开自变量 x 的 sin、cos、tan 是没有意义的.
角
实数
(角的弧度)
三角
函数值
（1）正弦函数：y = sinx（x∈R）
（2）余弦函数：y = cosx（x∈R）
（3）正切函数：y = tanx，x≠ + kπ（k∈Z）
例 1：结合前面所学，求 300°的正弦、余弦和正切值.
知识点2：三角函数求值
思考：你能快速说出420°的正弦、余弦和正切值吗？
x
y
O
300°
A
B
则：∠AOB的终边与单位圆的交点 B 的坐标为（，）；
解：如图，在坐标系中作出∠AOB=300°，易知∠AOB的弧度为；
∴ sin 300°= sin = = ；
cos 300°= = ；
tan 300°= = ；
练一练
α π
sin α
cos α
tan α
1.运用上面所学，填写下列常见的三角函数值：
1
– 1
0
0
1
0
无
– 1
例 2 ：已知角θ的终边过点P(-12，5)，求角θ的三角函数值.
解：如图，建立坐标系，标出点P位置，连接OP；
根据勾股定理可得：OP = = 13；
x
y
O
4
2
P(-12，5)
∴ sin θ = ，cos θ = ，tan θ = ；
∴ sin θ = ，cos θ = ，tan θ = ；
思考：若角θ的终边过点Q (-6，2.5)，你能求出角θ的三角函数值吗？并说说你有什么发现？
只要知道角 α 终边上任意一点 P 的坐标就可以求得角的各个三角函数值，并且这些函数值不会随P点位置的改变而改变.
总结归纳
练一练
B
2．已知角 α 终边过点 P (1，－1)，则 tan α 的值为（ ）
根据今天所学，回答下列问题：
（1）三角函数的定义是什么
（2）在三角函数中，任意角 α 需要满足怎样的条件？
（3）在三角函数中，角的终边与三角函数值有什么关系？