5.2.2 同角三角函数的基本关系-2023-2024学年高二数学（沪教版2020选择性必修第一册） 课件（共15张PPT）

(共15张PPT)
5.2 三角函数的概念
5.2.2 同角三角函数的基本关系
1. 理解同角三角函数的基本关系式；
2. 会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值，化简和证明.
知识点1：同角三角函数的基本关系式
思考：公式一表明终边相同的角的同一三角函数值相等，那么，终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢？
O
x
y
B
回顾：公式一：终边相同的角的同一三角函数值相等；
sin (α+k 2π) = sin α，cos (α+k 2π) = cos α，tan (α+k 2π) = tan α，( k∈Z )；
例 1 ：如图，设点P(x，y)是角 α 的终边与单位圆的交点. 过 P 作 x 轴的垂线，交 x 轴于M，则 △OMP 是直角三角形，而且 OP = 1. 则角 α 的三个三角函数值之间有什么关系？
已知：sin α = ，cos α = ，△OMP 是直角三角形；
根据勾股定理：OM2 + MP2 = 1，即 x12 + y12 = 1；
∴ sin2α + cos2α = 1；
又 tan α = ，∴ tan α = ；
x
y
O
A(1，0)
α
P
1
M
思考：当 OP 不等于 1 时，上述三个三角函数值之间的关系依然成立吗？
概念生成
同角三角函数的基本关系
平方关系:
sin2α + cos2α = 1
（当 α 的终边与坐标轴重合时，同样成立）
商数关系:
tan α =
（根据定义，当 ≠ kπ + ( k∈Z ) 才成立）
总结：同一个角 α 的正弦、余弦的平方和等于 1，商等于角 α 的正切.
解：∵ cos (α+k 2π) = cos α，
∴ cos (-330°) = cos (-330°+ 360°) = cos 30°；
∴ sin230°+ cos2 (-330°) = sin230°+ cos2 30°= 1；
例 2 ：求 sin230°+ cos2 (-330°) 的值.
注意：
（1）“同角”广义上的，不仅表示同一个角，终边相同的角也叫“同角”；
如： 30°和 30°是同角，30°和 -330°也是同角；
（2） sin2α 是 (sin α)2 的缩写，读作“ sin α 的平方”，不能写成 sinα2 .
解：∵ > 0 且 sin α ≠ 1，∴ α 第一或第二象限角；
由 sin2α + cos2α = 1 得， cos2α = 1 – sin2α = ；
若 α 为第一象限角，则 cos α > 0， ∴ cos α = ，则 tan α = ；
若 α 为第二象限角，则 cos α < 0， ∴ cos α = – ，则 tan α = – .
例 3 ：已知 ，求 cos α 和 tan α 的值.
知识点2：同角三角函数的基本关系式应用
练一练
1.已知 cos α = – ，且 α 为第三象限角，求 sin α，tan α 的值.
解：∵ cos α = – ，由 sin2α + cos2α = 1 得：sin2α = 1 – cos2α = ；
∵ α 为第三象限角，则 sin α < 0，tan α > 0，
∴ sin α = – ，则 tan α = ；
思考：上述同角三角函数的基本关系还有其他变形吗？
总结归纳
同角三角函数的基本关系的等价变形
“知一求二”
（1）已知 sin α（或cos α）求其它：
sin2α + cos2α = 1
sin2α = 1 - cos2α
cos2α = 1 - sin2α
sin α = ±
cos α = ±
（2）已知 tan α，求 sin α，cos α：
tan α =
sin α = cos α · tan α ， cos α =
例 4：化简： .
解：原式 = =
= = = .
练一练
2. 化简：（1）cos θ·tan θ； （2）(1 + tan2α)·cos2α .
解：（1）cos θ·tan θ = cos θ · = sin θ；
（2） (1 + tan2α)·cos2α = (1 + )·cos2α = ()·cos2α = 1.
证法一：由cos x ≠ 0，知sin x ≠ -1，所以 1 + sinx ≠ 0，于是
左边 = = = = = 右边；
所以，原式成立.
例 5 ：求证： .
证法二：因为 = = cos x · cos x，
且 1 – sin x ≠ 0，cos x ≠ 0，所以： .
注意：除特殊注明外，假定三角恒等式均是在使两边都有意义的情况下的等式.
练一练
3. 证明：sin4α + sin2α · cos2α + cos2α = 1 .
证明：左边 = sin2α · sin2α + sin2α · cos2α + cos2α
= sin2α · (sin2α + cos2α) + cos2α
= sin2α + cos2α
= 1 = 右边；
所以，原式成立.
根据今天所学，回答下列问题：
（1）说一说同角三角函数的基本关系
（2）上述同角三角函数的基本关系有哪些基本变形？
sin2α + cos2α = 1
sin2α = 1 - cos2α
cos2α = 1 - sin2α
sin α = ±
cos α = ±
tan α =
sin α = cos α · tan α ， cos α =
同角三角函数的基本关系的等价变形