5.3 诱导公式 第2课时 课件(共12张PPT) 2023-2024学年高一数学人教A版（2019)必修第一册

(共12张PPT)
5.3 诱导公式 第 2 课时
1. 运用诱导公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式的证明；（重点）
2. 理解圆的对称性与三角函数之间的关系.（难点）
知识点 1 ：诱导公式五、六
回顾：如图，角 α 的正弦值为 sin α ，分别说出点 P1 关于原点、 x 轴、y 轴对称的点所在终边的角的正弦值？
x
y
O
α
P1
P2
x
y
O
α
P1
P3
x
y
O
α
P1
P4
例 1：如图，在直角坐标系内，设任意角 α 的终边与单位圆交于点 P1.
（1）作 P1关于直线 y = x 的对称点 P5，以OP5为终边的角 γ 与角 α 有什么关系？
（2）若点 P1的坐标为 ( x1，y1 )，则点 P5的坐标是多少？说说它们的关系；
（3）试着分析角 γ 与角 α 的三角函数值之间有什么关系.
解：（1）由图可知：P1 和 P5 关于直线 y = x 的对称，
则以 OP5 为终边的其中一个角为 – α；
∴以OP5为终边的角 γ 是与角 – α 终边相同的角，
即： γ = 2kπ + ( – α )（k∈Z）；
x
y
O
α
P1
P5
γ
y = x
（2）用已知点 P1 ( x1，y1 ) 的坐标表示点 P5的坐标？并说说它们的关系；
（2）如图，作 P1A、P5B 分别垂直 x、y 轴，
由图可知 ：OP1 = OP5，∠P5BO = ∠P1AO，
又有（1）可知：∠P5OB = ∠P1OA ，
∴ △P5BO ≌ △P1AO，即 OA = OB，P1A = P5B，
∵点 P1 ( x1，y1 ) ，∴ OA = OB = x1， P1A = P5B = y1，
∴点 P5 的坐标为 ( y1，x1 ) ；
x
y
O
P1
P5
y = x
A
B
关于直线 y = x 对称的点 P1 ( x1，y1 ) 与点 P5 ( x5，y5 ) ，有 x5 = y1，y5 = x1；
（3）由（2）可知：P1 (x1，y1)、P5 ( y1，x1 ) ，
∴ sin α = y1，cos α = x1，tan α = ，
sin γ = y5 = x1，cos γ = x5 = y1，tan γ = ，
∴ sin α = y1 = cos γ，cos α = x1 = sin γ
∵ γ = – α，∴ sin ( – α ) = cos α，cos ( – α ) = sin α.
（3）分析角 γ 与角 α 的三角函数值之间有什么关系.
x
y
O
α
P1
P5
γ
y = x
思考：若角 α 位于其它象限，上述三角函数关系也成立吗？
例 2：如图，模仿“公式五”的推导，作 P5关于 y 轴 的对称点 P6，又可以得出什么结论？
解：已知 P5 ( y1，x1 )，且 P5、P6 关于 y 轴对称，
∴ P6 ( –y1，x1 ) ，∴ sin θ = x1，cos θ = – y1，
又∵ sin α = y1，cos α = x1，
∴ sin θ = x1 = cos α ，cos θ = – y1 = – sin α ，
由图可知：θ = 2kπ + ( + α )（k∈Z），
∴ sin θ = sin ( + α ) = cos α， cos θ = cos ( + α ) = – sin α.
x
y
O
α
P1
P5
θ
y = x
P6
公式五：
sin ( – α ) = cos α，cos ( – α ) = sin α；
总结归纳
公式六：
sin ( + α ) = cos α，cos ( + α ) = – sin α .
思考：仔细观察上述公式五、六，你能找出它们的共同特点和规律吗？
（1）利用诱导公式五、六，都可实现正弦函数与余弦函数的相互转化；
（2）±α 的正弦（余弦）函数值，分别等于 α 的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号.
知识点 2 ：诱导公式五、六的应用
例 3 ：证明：（1）sin ( - α ) = – cos α ； （2）cos ( + α )= sin α.
解：（1）原式= sin( - α)
= sin( - α)
= sin[π+( - α)]
= – sin( - α)
= – cos α；
（2）原式 = cos ( + α )
= cos ( + α )
= cos [π+( + α)]
= – cos ( + α)
= sin α .
思考：仔细观察上述计算过程，说说分别使用了哪些诱导公式？
解：∵ = sin α， = tan α，
= cos α， = – sin α，
= – sin α， = cos α，
∴ 原式 = · · = = cos α.
例 4 ：化简： · · .
练一练
1. 化简：cos ( 90°+ α ) + sin ( 180°– α ) – sin ( 180°+ α ) – sin (– α).
解：原式 = – sin α + sin α + sin α + sin α = 2 sin α .
根据今天所学，回答下列问题：
（1）简述任意角三角函数转化为锐角三角函数的步骤；
（2）诱导公式五、六在任意角三角函数求值过程中有什么作用？