5.3 诱导公式 第1课时-2023-2024学年高二数学（沪教版2020选择性必修第一册） 课件（共16张PPT）

(共16张PPT)
5.3 诱导公式 第 1 课时
1. 运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简；
2. 理解圆的对称性与三角函数之间的关系.
设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)；
（1）正弦 sin α = y；
（2）余弦 cos α = x；
（3）正切 = (x≠0)；
知识点 1 ：诱导公式二 ~ 四
回顾：结合右图，说说任意角三角函数的定义是什么？
x
y
O
A(1，0)
α
P(x，y)
例 1：如图，在直角坐标系内，设任意角 α 的终边与单位圆交于点 P1.
（1）作 P1关于原点的对称点 P2，以OP2为终边的角 β 与角 α 有什么关系？
（2）求角 β，α 的正弦函数值，并说说它们之间有怎样的关系？
解：（1）由图可知：P1和P2在同一条直线上，
∴以OP2为终边的角 β 是与角 π + α 终边相同的角，
再根据公式一可知： β = 2kπ + (π + α)（k∈Z）；
x
y
O
α
P1
P2
β
（2）设 P1 (x1，y1)，则 P2的坐标为(–x1，–y1)，
根据三角函数的定义可知：sin α = y1，sin β = –y1，即： sin α = – sin β ；
∴ sin α = – sin[2kπ + (π + α)] = – sin (π + α)，即：sin (π + α) = – sin α.
思考：说说角 β，α 的余弦、正切函数值分别有什么关系？
概念生成
诱导 公式二
如图， P1 (x1，y1) 关于原点对称的点 P2 的坐标为 (–x1，–y1)；根据三角函数的定义，得：
sin α = y1，cos α = x1，tan α = ；
sin (α + π) = – y1，cos (α + π) = – x1，tan (α + π) = ，
x
y
O
α
P1 (x1，y1)
P2 (–x1，–y1)
α + π
公式二:
sin ( π + α ) = – sin α
cos ( π + α ) = – cos α
tan ( π + α ) = + tan α
例 2：如图，模仿“公式二”的推导，回答下列问题.
（1）作 P1关于 x 轴 的对称点 P3，又可以得出什么结论？
（2）若作 P1关于 y 轴 的对称点 P4，则又有什么结论？
解 :（1）由图可知：β = – α，
根据三角函数的定义得：sin α = y1，sin β = –y1，
即：sin β = – sin α；∴ sin (– α) = – sin α；
同理：cos β = cos (– α) = cos α，tan β = tan (– α) = – tan α；
x
y
O
α
P1
P3
β
（2）作出右图，可知：β = π – α ，sin α = y1，sin β = y1，
即：sin β = sin (π – α) = sin α；
同理：cos (π – α) = – cos α，tan (π – α) = – tan α；
x
y
O
α
P1
P4
β
概念生成
诱导 公式三、四
公式三 :
sin ( – α ) = – sin α
cos ( – α ) = + cos α
tan ( – α ) = – tan α
公式四 :
sin ( π – α ) = + sin α
cos ( π – α ) = – cos α
tan ( π – α ) = – tan α
如图， P1 关于 x 轴对称的点 P3 及关于 y 轴对称的点 P4 ；
根据三角函数的定义，得： sin α = y1，cos α = x1，tan α = ；
x
y
O
α
P1
P3
β
P4
γ
思考：观察诱导公式一 ~ 四，说说 α+2kπ，–α，(π±α) 的三角函数与原三角函数有什么关系？
α+2kπ，–α，(π±α) 的三角函数值，在绝对值上等于 α 的同名函数值，正负取决于把 α 看成锐角时原函数值的符号；
即“函数名不变，符号看象限”.
“函数名不变”：等式两边的三角函数同名；
“符号看象限”：把原角 α 看成锐角时，新角（α+2kπ，–α，(π±α)）在原函数下的符号，由新角所在象限确定符号；
如 sin(α+π)，若把 α 看成锐角，则 π+α 在第三象限，所以取负值，故 sin(α+π) = – sinα.
知识点 2 ：诱导公式一 ~ 四的应用
问题：仔细通过观察上述过程，说说该如何求解一个三角函数的值？
例 3 ：利用诱导公式求下列三角函数值.
（1）sin 210°； （2）cos .
解：（1）sin 210°= sin (180°+ 30°) = – sin 30°= ；
（2）cos = cos ( 2π + ) = cos ( ) = cos ( π – ) = – cos = ；
明确角所在象限 → 选择恰当的诱导公式 → 求得运算结果
思考：通过上述三角函数求值，说说为什么要使用诱导公式？
练一练
1. 求下列三角函数值： （1）sin ( – )； （2）tan ( 2010°).
思考：结合运算，你能归纳出任意角三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗？
解：（1）sin ( – ) = – sin = – sin ( 3π + ) = – sin ( π + ) = sin = ；
（2）tan 2010°= tan ( 6×360°– 150°) = – tan 150°= – tan (180° – 30°)
= tan 30°=
总结归纳
任意角三角函数求值步骤
任意负角的
三角函数
用公式
三或一
任意正角的
三角函数
用公式一
0 ~ 2π 的角
的三角函数
用公式
二或四
锐角的
三角函数
思考：利用计算工具已经可以方便地求任意角的三角函数值了，那么上面的诱导公式还有什么作用吗？
例 4 ：化简：sin ( – α – 180°)·cos ( – α )·sin ( – α + 180°).
解：sin ( – α – 180°) = sin ( – α – 180°+ 360°)
= sin ( 180°– α )
= sin α；
∴ 原式 = sin α · cos α · sin α
= sin2α · cos α.
练一练
2. 化简： cos3( – α )·sin ( 2π + α )·tan3( – α – π ).
解：原式 = cos3α · sin α · tan3( π – α )
= cos3α · sin α · – tan3α
= cos3α · sin α · ( – )
= – sin4α.
根据今天所学，回答下列问题：
（1）简述任意角三角函数转化为锐角三角函数的步骤；
（2）诱导公式在任意角三角函数求值过程中有什么作用？
公式二
sin ( π + α ) = – sin α
cos ( π + α ) = – cos α
tan ( π + α ) = + tan α
公式四
sin ( π – α ) = + sin α
cos ( π – α ) = – cos α
tan ( π – α ) = – tan α
公式三
sin ( – α ) = – sin α
cos ( – α ) = + cos α
tan ( – α ) = – tan α
sin (α + k·2π) = sin α，
cos (α + k·2π) = cos α，k∈Z；
tan (α + k·2π) = tan α，
公式一
任意角三角函数求值步骤
任意负角的
三角函数
用公式
三或一
任意正角的
三角函数
用公式一
0 ~ 2π 的角
的三角函数
用公式
二或四
锐角的
三角函数