5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象-2023-2024学年高二数学（沪教版2020选择性必修第一册） 课件（共19张PPT）

(共19张PPT)
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
1. 了解正弦曲线与余弦曲线的特征，掌握“五点法” 作正弦、余弦函数的图象；（难点）
2. 理解函数解析式的变换与函数图象变换之间的内在联系.（重点）
知识点 1 ：正弦、余弦函数的图象
回顾：设 α 是任意角，α ∈ R，它的终边OP与单位圆相交于点P (x，y)；请同学们结合右图，说说正弦函数的定义是什么？
x
y
O
A(1，0)
P (x，y)
α
点 P 的纵坐标 y 叫做 α 的正弦函数，记作 sin α，
即 y = sin α.
（1）正弦函数的图象
例 1：结合正弦函数的定义，回答下列问题：
（1）从 [0，2π] 上任取一个值 x0 ，在平面直角坐标系中，画出点 T (x0，sin x0).
① 以原点为圆心，画出单位圆 O，交 x 轴正半轴于点 A (1，0)；
② 将单位圆上点 A 绕圆心 O 旋转 x0 弧度至点 B ；
③ 根据正弦函数的定义，点 B 的纵坐标 y0= sin x0 ；
④ 以 x0 为横坐标，y0 为纵坐标画点，即得到函数图象上的点 T (x0，sin x0).
（2）结合刚才画点 T (x0，sin x0) 的方式，利用正弦函数定义，在平面直角坐标系中，画出 y = sin x，x∈[0，2π] 的图象.
① 把 x 轴上 [0，2π] 这一段分成 12 等份，使 x0 分别为 0，，，，…，2π；
② 将点 A 分别旋转上述 x0 弧度，将单位圆的圆周分成 12 等分；
③ 按画 T (x0，sin x0) 的方式，即可画出 x0 取这些值时对应的函数图象上的点；
④ 若在区间 [ 0，2π ] 上取到足够多的 x0 值，同时画出相应点 T ( x0，sin x0 )，
将这些点用光滑的曲线连接起来，即可得到比较精确的函数 y = sin x，
x∈[ 0，2π ] 的图象.
思考：根据 y = sin x，x∈[ 0，2π ] 的图象，你能想象函数y = sin x，x∈R 的图象吗？
由诱导公式一可知，函数 y = sin x，x∈[ 2kπ，2(k+1)π ]，k∈Z且k≠0 的图象与函数 y = sin x ，x∈[ 0，2π ] 的图象形状完全一致；
因此将 y = sin x ，x∈[ 0，2π ] 的图象不断向左、向右平移（每次移动2π 个单位长度），即可得到正弦函数 y = sin x，x∈R 的图象.
正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．
练一练
1. 以下对于正弦函数 y ＝ sin x 的图象描述不正确的是（ ）
A. 在 x∈[ 2kπ，2kπ＋2π ]，k∈Z 上的图象形状相同，只是位置不同
B. 关于 x 轴对称
C. 介于直线 y ＝ 1和 y ＝ －1 之间
D. 与 y 轴仅有一个交点
B
（2）余弦函数的图象
例 2：仔细观察下列图象，结合诱导公式五、六，说说通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？
正弦函数的图象
① 由诱导公式六可得，函数 y = cos x = sin( x + ) ，x∈R ；
② 函数 y = sin( x + ) 的图象可以通过正弦函数 y = sin x，x∈R的图象向左平移 个单位长度得到；
③ 所以，将正弦函数图象向左平移个单位长度，就得到了余弦函数图象.
余弦函数 y = cos x，x∈R 图象叫做余弦曲线；它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．
练一练
2. 方程 x2 － cos x ＝ 0 的实数解的个数是_________．
2
解：作函数 y ＝ cos x 与 y ＝ x2 的图象；
如图，由图象可知原方程有两个实数解．
思考：仔细观察下列正弦函数 y = sin x，x∈ [ 0，2π ] 的图象，想一想，在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？
如图，在函数 y = sin x，x∈ [ 0，2π ] 的图象上，以下五个点，在确定图象形状时起关键作用；( 0，0 )，( ，1 )，( π，0 )，( ，– 1 )，( 2π，0 )；
描出这五个点，函数 y = sin x，x∈ [ 0，2π ] 的图象形状就基本确定了；
这种描出近似的五个点的画图方法叫做 “五点（画图）法” ．
知识点 2 ：“五点法”作正弦、余弦函数的图象
例 3 ：找出下列函数的五个关键点，并画出它们的简图；
（1）y = 1 + sin x，x∈ [ 0，2π ] ；（2）y = – cos x，x∈ [ 0，2π ] .
解：（1）按五个关键点列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
1＋sin x 1 2 1 0 1
（1）y = 1 + sin x，x∈ [ 0，2π ]； 描出关键点，并用平滑曲线连接：
思考：仔细观察上述正弦函数 y = sin x，x∈ [ 0，2π ] 的图象，想一想，sin x 的图象经过了怎样的变换，才变成了 1 + sin x 的图象？
（2）y = – cos x，x∈ [ 0，2π ] ，找出五个关键点列表：
思考：仔细观察上述两个函数图象的变换，你发现了函数图象平移和变换的规律吗？
函数图像的平移
总结归纳
向上平移
b 个单位
y = f ( x )
f ( x ) – b
f ( x ) + b
向下平移
b 个单位
向左平移
a 个单位
向右平移
a 个单位
f ( x + a )
f ( x – a )
左加右减！
上加下减！
函数图像的对称变换
总结归纳
y = f ( x )
关于 x 轴对称
关于 y 轴对称
– f ( x )
f ( – x )
关于 x 轴对称
关于 y 轴对称
练一练
B
根据今天所学，回答下列问题：
（1）请简述正弦曲线与余弦曲线的特征及“五点作图法”的操作步骤；
（2）说一说，函数解析式的变换与函数图象变换有什么内在联系？