5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第1课时-2023-2024学年高二数学（沪教版2020选择性必修第一册） 课件（共16张PPT）

(共16张PPT)
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第 1 课时
1. 理解周期函数、周期、最小正周期的含义；
2. 掌握 y = sin x (x∈R)，y = cos x (x∈R) 的周期性、奇偶性；
3. 能利用三角函数的周期性、奇偶性解决一些简单问题.
知识点 1 ：正弦、余弦函数的周期性
回顾：在学习幂、指数、对数函数时，研究了函数的哪些性质？类比对这些函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？
图像特点、单调性、奇偶性、最值(极值)等等
思考：仔细观察正弦函数的图象，说说图象有什么特点？
① 在正弦函数图象上，横坐标每隔 2π 个单位长度，就会出现纵坐标相同的点；
② 每 2π 个单位长度的正弦函数图象的形状完全一致；
思考：上述图象的变化规律为什么是 2π 个单位长度就重复出现一次？这个单位长度可以是其他的值吗？
从诱导公式 sin ( +2 π ) = （k∈Z）中可以得出：自变量 的值每增加 2π 整数倍时所对应的函数值，与 所对应的函数值相等；
一般，数学上用【周期性】来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律；
对于函数 ( )，如果存在一个非零常数 T，使得当 取定义域内的每一个值时，都有 ( + ) = ( ) 那么函数 ( )就叫做周期函数，非零常数 T叫做这个函数的周期.
周期函数的周期不止一个；如：2π，4π，…，以及 – 2π，– 6π，…，都是正弦函数的周期；
事实上 ，且 ≠ 0，常数 2kπ 都是它的周期.
思考：结合正弦函数的图象，说说周期函数的周期可以有很多个吗？
如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 的最小正周期.
周期函数
总结归纳
根据上述定义：
正弦函数是周期函数，（k∈Z 且 k ≠ 0）都是它的周期，最小正周期是 2π；
余弦函数是周期函数，（k∈Z 且 k ≠ 0）都是它的周期，最小正周期是 2π.
周期函数
f ( x +T ) = f (x)
周期
所有周期中存在的最小正数，即是 的最小正周期.
例 1：求下列函数的周期：（注：如无特殊说明，均为求最小正周期）.
（1）y = 3sinx，x∈R； （2）y = cos 2x，x∈R； （3）y = 2 sin ( )；
提示：f ( x +T ) = f (x).
解：（1）任意 x∈R，有 3 sin ( + 2π ) = 3 sin ，
由周期函数的定义可知，y = 3sinx，x∈R 的最小正周期为 2π ；
（2）令 z = 2x，由 x∈R，得 z∈R，且 y = cos z 的周期为2π；
∵ cos ( z + 2π ) = cosz，∴ cos ( 2x + 2π ) = cos 2x，
∴ cos 2( x + π ) = cos 2x，x∈R，由周期函数定义知，y = cos 2x的周期为 π ；
（3）求函数y = 2 sin ( ) 的周期； 提示：f ( x +T ) = f (x).
（3）令 z = ，由 x∈R，得 z∈R，且 y = 2sin z 的周期为即周期为2π；
即：2sin ( z + 2π ) = 2sin z，∴ 2sin [ ] = 2sin ( )，
∴ 2sin [ ] = 2sin ( )；
由周期函数的定义知，原函数的周期为 4π .
思考：仔细观察，说说为何 3 sin ( + 2π ) = 3 sin 的最小正周期为 2π，而cos ( 2x + 2π ) = cos 2x 和 2sin [ ] = 2sin () 却不是 2π？
对周期函数中“周期” 理解
总结归纳
① 自变量 x 本身加的常数才是最小正周期；即 f (2x + T ) = f (2x) 中 T 不是最小正周期；如：f (2x + T ) = f [ 2(x + ) ] = f (2x) ，即 才是最小正周期.
② 周期函数的周期不唯一；若 T 是函数 f (x) 的最小正周期，则 kT (k∈Z 且 k ≠ 0) 也是函数 f (x) 的周期；
③ 不是所有的周期函数都有最小正周期；对于函数 (c为常数，x∈R) 所有非零实数 T 都是它的周期，故最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期.
练一练
1. 求下列函数的周期：（1）； （2）.
解：（1）= ；
由周期函数的定义可知，原函数的周期为 ；
（2） ；
由周期函数的定义可知，原函数的周期为 .
知识点 2 ：正弦、余弦函数的奇偶性
思考：仔细观察正弦、余弦函数的图象，说说它们分别关于什么对称？
正弦函数的图象
余弦函数的图象
正弦曲线关于原点 O 对称，所以正弦函数是奇函数；
余弦曲线关于 y 轴对称，所以余弦函数是偶函数
注意：判断函数的奇偶性时，要先判断函数的定义域是否关于原点对称；
若定义域不关于原点对称，那么这个函数肯定不具备奇偶性.
思考：结合诱导公式，说说如何证明正弦、余弦函数的奇偶性？
正弦函数的图象
余弦函数的图象
定义域对称的情况下：令正弦函数 y = f (x) = sin x，余弦函数 h (x) = cos x；
由诱导公式得：sin (– x) = – sin x，即 f (– x) = – f (x)，故正弦函数为奇函数；
同理：cos (– x) = cos x，即 h (– x) = h (x)，故余弦函数为偶函数；
例 2：判断下列函数的奇偶性，并说明理由.
（1）y = 2sin x，x∈[0，2π]； （2）y = 1 – cos x，x∈R ；
（3）y = x + sin x，x∈R； （4）y = – sin x·cos x，x∈R；
解：（1）定义域 x 不对称，所以函数 y = 2sin x，x∈[0，2π] 无奇偶性；
（2）定义域对称，又 y = f (x) 且 f (– x) = 1 – cos x = f (x)；偶函数；
（3）定义域对称，又 f (– x) = – x – sin x = – f (x)；奇函数；
（4）定义域对称，又 f (– x) = sin x · cos x = – f (x)；奇函数；
练一练
2. 函数 f(x) = sin 2x 的奇偶性为（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
A
根据今天所学，回答下列问题：
（1）请简述周期性的含义，并说说什么是最小正周期？
（2）说一说，判断函数的奇偶性，需要注意哪些要素？