5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第2课时-2023-2024学年高二数学（沪教版2020选择性必修第一册） 课件（共15张PPT）

(共15张PPT)
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第 2 课时
新授课
1. 掌握正弦函数和余弦函数的单调性；
2. 能利用正弦、余弦函数的单调性求解函数的最值（最大、最小值）.
知识点 1 ：正弦、余弦函数的单调性
思考：仔细观察正弦函数的图象，试着判断函数的单调性？
正弦函数是周期函数，与以前所学函数的单调性有较大差异；
故应先在正弦函数的一个周期区间里讨论它的单调性，再利用周期性，将单调性扩展到整个定义域.
例 1：如图，判断正弦函数在区间[ ， ]上的单调性，并完成表格填空.
单调性：当 x 由– 增大到时，曲线逐渐上升，sin x 的值由 – 1增大到1；
当 x 由增大到时，曲线逐渐下降， sin x 的值由1减小到1；
x ↗ 0 ↗ ↗ π ↗
sin x
– 1
↗
0
↗
1
↘
0
↘
– 1
即：正弦函数 y = sin x 在[ ]上单调递增，在[ ]上单调递减.
思考：根据上述结论，说说正弦函数 y = sin x，x∈R 的单调性？
思考：结合上述结论，再次观察正弦函数 y = sin x，x∈R 的图象，判断函数的单调性？
正弦函数 y = sin x，x∈R ：
在每一个闭区间 [– +2kπ，+2kπ] (k∈Z)上都单调递增，其值从 –1 增大到 1 ；
在每一个闭区间 [+2kπ，+2kπ] (k∈Z) 上都单调递减，其值从 1 减小到 –1．
思考：根据正弦函数的单调性，说说如何判断余弦函数的单调性？
例 2：如图，观察余弦函数在一个周期区间[ – π，π ]上函数值的变化规律，完成下列表格.
x – π ↗ ↗ 0 ↗ ↗ π
cos x
– 1
↗
0
↗
1
↘
0
↘
– 1
余弦函数 y = cos x，x∈R ：
在每一个闭区间 [– π + 2kπ，2kπ]（k∈Z）上都单调递增，其值从 –1 增大到 1 ；
在每一个闭区间 [2kπ，π + 2kπ]（k∈Z）上都单调递减，其值从 1 减小到 –1．
余弦函数 y = cos x，x∈[ – π，π ]：在[– π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减.
例 3：运用三角函数的单调性，不通过求值，比较下列各数的大小.
（1） sin ( ) 和 sin ( )； （2）cos ( ) 和 cos ( ).
分析 ： 利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小；
可先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小 ．
解 ：（1）∵ – < – < – < 0，正弦函数 y = sin x 在上是增函数，
∴ sin ( ) < sin ( )；
（2）cos ( ) = cos ()= cos ，cos ( ) = cos () = cos ；
∵ 0 < < < π，且余弦函数 y = cos x 在[ 0，π ]上单调递减，
∴ cos < cos ，即 cos ( ) < cos ( ) .
练一练
1. 比较下列各数的大小： cos 150°和 cos 170 °.
∵ 90°< 150°< 170°< 180°，
又函数 y ＝ cos x 在区间 [ 90°，180°] 上是减函数，
∴ cos 150°> cos 170°；
例 4：求函数 y = sin ( + )，x∈[ – 2π，2π ]的单调递增区间．
解 ：∵ z = + ，x∈[ – 2π，2π ]，则 z∈[ – ， ]，
又∵ y = sin z，z∈[ – ， ]的单调递增区间是 z∈[ – ， ]，
且由– ≤ + ≤ ，得 – ≤ x ≤
∴ 函数 y = sin ( + )，x∈[ – 2π，2π ]，的单调递增区间是[， ].
分析 ：令 z = + ，当自变量 x 的值增大时，z 的值也随之增大，因此若函数 y = sin z 在某个区间上单调递增，则 y = sin ( + ) 在相应的区间上也一定单调递增；
练一练
2. 函数 f ( x ) = sin( x + ) 的一个递减区间是（ ）
A. [– ， ] B. [ –π，0 ] C. [– π，π ] D. [ ，π ]
D
知识点 2 ：正弦、余弦函数的最值
思考：仔细观察下列图象，说说正、余弦函数的最大、最小值是多少？当x 分别取什么值的时候，函数才能取到最值？
正弦函数的图象
余弦函数的图象
正、余弦函数的最大、最小值
总结归纳
正弦函数：当且仅当 x = + 2kπ (k∈Z) 时取得最大值 1；
当且仅当 x = – + 2kπ (k∈Z) 时取得最小值 – 1；
余弦函数：当且仅当 x = 2kπ (k∈Z) 时取得最大值 1；
当且仅当 x = 2kπ + π (k∈Z) 时取得最小值 – 1；
例 5：写出函数 y = cos x + 1，x∈R 取最大值、最小值时自变量 x 的集合，并求出最大值、最小值
解 ：∵ y = cos x + 1，x∈R 中的 1 是常数，故使函数 y = cos x 取得最大、最小值的区间就是使 y = cos x + 1取得最大、最小值的区间；
函数 y = cos x + 1 在集合{ x | x = 2kπ，k∈Z } 取得最大值，
在集合{ x | x = (2k + 1)π，k∈Z } 取得最小值；
故函数 y = cos x + 1，x∈R 的最大值是 1 + 1 = 2， 最小值是 – 1 + 1 = 0 ．
练一练
2. 函数 y = 2sin 6x – 1，x∈R 的最小值是（ ）
A. 0 B. – 1 C. -2 D. -3
D
根据今天所学，回答下列问题：
（1）请说说如何利用单调性，直接判断同名三角函数值的大小？
（2）说一说，判断正、余弦函数的最值，需要注意哪些要素？