5.4.3 正切函数的性质与图象 课件(共13张PPT) 2023-2024学年高一数学人教A版（2019)必修第一册

(共13张PPT)
5.4.3 正切函数的性质与图象
新授课
1. 理解并掌握正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性；
2. 会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象；
3. 能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题.
回顾：想一想，正切函数 y = tan x 的定义域是什么？
由正切函数的定义可知， y = tan x 定义域为：{ x | x ≠ + kπ，k∈Z }
知识点 1 ：正切函数的周期性、奇偶性
思考：回顾探究正弦函数和余弦函数的过程，想一想应该如何研究正切函数的图象和性质？能用不同的方法研究正切函数吗？
正弦、余弦函数研究过程：
先作出函数图象，再观察图象获得对函数性质的直观认识，再从代数的角度对性质作出严格表述；
正切函数：逆向思考，可从定义出发研究性质，再利用性质研究图象.
例 1：结合正切函数的诱导公式，求函数的周期性并判断函数的奇偶性.
周期性：由诱导公式 tan ( π + x ) = tan x，x∈R且 x ≠ + kπ，k∈Z 可知：
正切函数是周期函数，且最小正周期是 π；
思考：正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？
奇偶性：由诱导公式 tan ( – x ) = – tan x，x∈R 且 x ≠ + kπ，k∈Z 可知，
正切函数有奇偶性，是奇函数.
练一练
1. 求正切函数 y = tan 2x，x ≠ + ，k∈Z 的最小正周期.
解：由诱导公式 tan ( π + 2x ) = tan 2x 可知：tan [2( x + )] = tan 2x，
∴正切函数 y = tan 2x，x ≠ + ，k∈Z 的周期为 .
知识点 2 ：正切函数的图象
思考：回顾正弦函数图象的画法，想一想应该如何画出函数 y = tan x，x∈[ 0， ) 的图象？
如图，设 x∈[ 0， ) ，画出角 x 的终边与单位圆交于点 B ( x0，y0 )；过点 B 作 x 轴的垂线，垂足为M；
过点 A ( 1，0 ) 作 x 轴的垂线与角 x 的终边交于点T，
则：tan x = = = = AT；
即：当x∈[ 0， )时，线段 AT 的长度就是角 x 的正切值.
B
T
O1
O
y
x
A
利用线段 AT 画出函数 y = tan x，x∈[ 0， ) 的图象如图所示.
观察可知，随着 x 的增大，线段 AT 的长度也在増大，且当 x 趋向于 时，AT 的长度趋向于无穷大；
同样函数 y = tan x，x∈[ 0， ) 的图象从左向右呈不断上升趋势，且向右上方无限逼近直线 x = .
思考：观察右侧图象，结合正切函数的性质，说说如何才能画出正切函数的完整图象？
例 2：请画出正切函数的图象，并观察画出的图象，说说正切函数的图象有怎样的特征？
y = tan x，x∈R且 x ≠ + kπ，k∈Z
图象的特征：
① 关于原点对称；
② 在 x 轴下方部分上凸，在 x 轴上方部分下凹；
③ 被与 y 轴平行的直线 x = + kπ，k∈Z 隔开；
思考：观察右侧图象，想一想正切函数会与直线 x = + kπ 相交吗？
知识点 3 ：正切函数的单调性和值域
例 3 ：观察正切函数的图象，完成下列填空.
函数 y = tan x，x∈R 且 x ≠ + kπ，k∈Z
单调性
值域
(– + kπ， + kπ)，k∈Z上都单调递增
R
结论：① 正切函数在每一个区间 (– + kπ， + kπ)，k∈Z上都单调递增；
② 正切函数的值域是实数集 R.
分析 ： 利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论；
解 ：自变量 x 的取值应满足： ≠ + ，k∈Z，即 x ≠ + 2k；
所以，函数的定义域 { | ≠ + 2k，k∈Z }；
例 4：求函数 的定义域、周期及单调区间．
由诱导公式 tan ( π + x + ) = tan ( x+ ) 可知：
tan [ (x+2) + ] = tan ( ) ，即函数周期为2；
由 – + kπ < < + kπ 解得：– + 2k < x < + 2k，k∈Z ；
因此，函数在区间 ( – + 2k， + 2k )，k∈Z 上单调递增.
练一练
2. 不通过求值，比较下列两个正切值的大小： tan (– 52°) 和 tan (– 47°).
∵ – 90°< – 52°< – 47°< 90°，
又函数 y ＝ tan x 在区间 [– 90°，90°] 上是增函数，
∴ tan (– 52°) < tan (– 47°).
根据今天所学，回答下列问题：
（1）回顾今天学过哪些正切函数的性质？
（2）请说说如何利用单调性，直接判断正切函数值的大小？