5.5.1 第1课时 两角差的余弦公式 课件(共12张PPT) 2023-2024学年高一数学人教A版（2019)必修第一册

(共12张PPT)
5.5.1.1 两角差的余弦公式
1.理解两角差的余弦公式的推导过程；（重点）
2. 会利用两角差的余弦公式化简、求值、证明等.（难点）
回顾：诱导公式都是特殊角与任意角 α 的和（或差）的三角函数与这个任意角 α 的三角函数的恒等关系.
思考：如果把特殊角换为任意角 β，那么任意角 α 与 β 的和（或差）的三角函数与 α，β 的三角函数会有什么关系呢？
知识点 1 ：两角差的余弦公式的推导
问题 1：如图，已知坐标系中两点 P、Q 的坐标，求 P、Q 两点间的距离.
解：设：P、Q两点的坐标为 P (x1，y1)，Q(x2，y2)，
连接PQ，做 PM⊥x，QM⊥y，则点M坐标为(x1，y2)；
根据勾股定理得：MQ2+MP2 = PQ2，
即：(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 = PQ2，
o
x
y
Q
P
故 PQ 的距离为： .
思考：根据上述结论，你能推导出任意两点间的距离公式吗？
M
总结归纳
任意两点间的距离公式
平面上两点 P(x1，y1)，Q(x2，y2) 的距离公式：
PQ = .
注：公式使用过程中，可先建立直角坐标系，将任意两点的坐标标出，再套公式求解！
问题 2：如果已知任意角 α、β 的正弦、余弦，你能由此推出 α – β 的余弦吗？若能，请说明理由.
令 ≠ 2kπ + β，k∈Z，如图，以 x 轴非负半轴为始边作角 α，β，α – β，
则点的坐标为：P1 (cosα，sinα)，A1 (cosβ，sinβ)，
P ( cos(α – β)，sin(α – β) )；
将扇形OAP旋转 β 角，使点A，P分别与点A1，P1重合；
根据圆的旋转对称性可知，与重合，所以AP = A1P1；
再根据两点间距离公式求出对应关系即可；
问题 3：结合上述结论，推导出 α – β 的余弦.
已知：P1(cosα，sinα)，A1(cosβ，sinβ)，P ( cos(α – β)，sin(α – β) )；
因为 PA = P1A1，根据两点间距离公式得：
[cos(α – β) – 1]2 + sin2(α – β) = (cosα – cosβ)2 + (sinα – sinβ)2
化简得：cos (α β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ；
将 α = 2kπ + β（k∈Z）带入上式，易证上式仍然成立；
所以，对于任意 α，β 有：cos (α β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ，
简记作：C( α β ) .
思考：上述差角的余弦公式，在三角函数计算过程中有何作用？
知识点 2 ：两角差的余弦公式初步应用
例 1：利用公式 C (α β) 证明：
（1）cos ( α ) = sin α； （2）cos ( π α ) = cosα．
解：cos (α β) = cos α·cos β + sin α·sin β；
（1）cos ( α ) = cos ·cos α + sin ·sin α = 0 + 1×sin α = sin α；
（2）cos ( π α ) = cos π·cos α + sin π·sin α = 1× cos α + 0 = cos α ；
思考：上述证明，说明了诱导公式和两角差的余弦公式之间有怎样的关系？
你还能利用两角差的余弦公式证明其他诱导公式吗？
练一练
1. 利用公式 C(α β) 证明：cos ( α ) = sin α；
解：cos (α β) = cos α·cos β + sin α·sin β；
cos ( α ) = cos ·cos α + sin ·sin α = 0 + ( 1)×sin α = sin α.
例 2：已知sin α = ，α∈( ，π )，cos β = ，β是第三象限角，求cos (α β) 的值．
解：由 sin α = ，α∈( ，π ) 得：
cos α = = = ；
又由 cos β = ，β是第三象限角，得：
sin β = = = ；
所以 cos (α β) = cos α·cos β + sin α·sin β
= ()×()+ ×() = .
练一练
2. 利用公式 C(α β) 求 cos 15°的值.
解：由 cos 15°= cos (45° 30°) = cos 45°·cos 30°+ sin 45°·sin 30°
= × + × = .
根据今天所学，回答下列问题：
（1）说出两点间的距离公式；
（2）说说什么是圆的旋转对称性？
（3）两差角的余弦公式，在三角函数计算过程中有何作用？