5.5.1 第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件(共11张PPT) 2023-2024学年高一数学人教A版（2019)必修第一册

(共11张PPT)
5.5.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
1. 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导过程；（重点）
2. 能灵活运用二倍角公式解决有关的化简、求值等问题．（难点）
知识点 1 ：二倍角的正弦、余弦、正切公式
忆一忆：按照相应规律，说出所有的和（差）角公式!
sin (α + β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ
sin (α β) = sinα·cosβ cosα·sinβ
cos (α + β) = cosα·cosβ sinα·sinβ
cos (α β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ
tan (α + β) =
tan (α – β) =
例 1 ：以六个和（差）公式为基础，请利用 S(α±β)，C(α±β)，T(α±β)，推导出 sin 2α，cos 2α，tan 2α 的公式.
通过观察和（差）公式可知，当 α = β 时，有下列结论：
① sin 2α = sin (α + α) = sin α·cos α + cos α·sin α = 2sin α·cos α；
② cos 2α = cos (α + α) = cos α·cos α sin α·sinα = cos2α sin2α；
③ tan 2α = tan (α + α) = = .
思考：结合 sin2α + cos2α = 1，说说上述公式，还有其他表示方法吗？
cos 2α = cos2α sin2α
cos 2α = 1 2sin2α
= 2cos2α 1.
总结归纳
倍角公式
注意：
（1）上述倍角公式给出了 α 的三角函数与 2α 的三角函数之间的关系；
（2）这里的“倍角”专指“二倍角”，若遇“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去.
S2α ：sin 2α = 2sin α·cos α；
C2α：cos 2α = cos2α sin2α = 1 2sin2α = 2cos2α 1；
T2α：tan 2α = .
思考：从和（差）角公式、倍角公式的推导过程可以发现，这些公式存在着某种紧密的逻辑联系，请你进行归纳总结，说说它们之间的联系.
S(α±β)，C(α±β)，T(α±β)，S2α，C2α，T2α .
S(α + β)
S(α – β)
C(α + β)
C(α – β)
T(α + β)
T(α – β)
S2α
C2α
T2α
圆的旋转对称性
例 2：已知 sin 2α = ， < α < ，求sin 4α，cos 4α，tan 4α 的值．
解：由 4α 是 2α 的二倍角且已知 sin 2α 的值，故直接使用二倍角公式即可；
因为 < α < 得： < 2α < π；又 sin 2α = ，故 cos 2α = ；
所以 sin 4α = sin [2×(2α)] = 2sin 2α·cos 2α = 2××( ) = ；
cos 4α = cos [2×(2α)] = 1 2sin22α = 1 2×()2 = ；
tan 4α = = .
知识点 2 ：倍角公式的简单应用
注意：“倍”是两个数量间一种相对的关系，如 2α 是 α 的二倍，4α 又是 2α 的二倍， 是 的二倍；应准确理解“倍”的含义，灵活运用倍角公式.
练一练
解：由 sin (α – π) = ，得：sin α = – ，
cos 2α = 1 2sin2α = 1 – 2× = .
1. 已知 sin (α – π) = ，求 cos 2α 的值.
例 3：在△ABC中，cos A = ，tan B = 2，求 tan (2A + 2B) 的值.
解：在△ABC中，由 cos A = ，0 < A < π 得：sin A = ，所以 tan A = ，
所以 tan 2A = = ，又 tan B = 2，所以 tan 2B = = ；
综上：tan (2A + 2B) = = .
思考：上述题目还有没有其他的解答方法，若有，请说出其他解法，若没有，请说明理由.
将 tan (2A+2B) 视为 tan 2(A+B)，先求出 tan (A+B)的值，再利用倍角公式即可.
练一练
2. 已知 tan 2α = ，求 tan α 的值.
解：由 tan 2α = 得： tan 2α = = ，
所以 tan2α + 6tan α – 1= 0，
所以 tan α = -3± .
根据今天所学，回答下列问题：
（1）写出所有倍角公式；
（2）说说和（差）角公式、倍角公式间的推导关系.
S(α + β)
S(α – β)
C(α + β)
C(α – β)
T(α + β)
T(α – β)
S2α
C2α
T2α
圆的旋转对称性