5.5.1 第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件(共13张PPT) 2023-2024学年高一数学人教A版（2019)必修第一册

(共13张PPT)
5.5.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1. 类比两角差的余弦公式的推导过程，能推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式；（重点）
2. 会利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数化简、求值等.（难点）
知识点 1 ：两角和与差的正弦、余弦、正切公式
回顾：两角差的余弦公式的推导过程！
两点的距离公式： PQ =
P1(cosα，sinα)，A1(cosβ，sinβ)，P ( cos(α – β)，sin(α – β) )，A(1，0)；
[cos(α – β) – 1]2 + sin2(α – β) = (cosα – cosβ)2 + (sinα – sinβ)2
两角差的余弦公式：cos (α β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ
例 1 ：由公式 C(α β)出发，能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？
两角差的余弦公式：cos (α β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ
① 公式 C(α β)对于任意 α，β 都成立，那么当角 β 换成 β后也一定成立；
② 将 β 带入公式得：cos [α ( β)] = cosα·cos( β) + sinα·sin( β)
cos (α + β) = cosα·cosβ sinα·sinβ
③ 两角和的余弦公式，简记作 C(α + β)：
cos (α + β) = cosα·cosβ sinα·sinβ
（C(α + β)）
思考：上述推出的都是余弦公式，想一想，正弦公式又该如何推导？
例 2：请根据 C(α β)、C(α + β) 及诱导公式五（或六），用任意角 α、β 的正弦、余弦表示 sin (α + β)、sin (α – β) 的公式.
解：将角 (α + β) 看做是一个整体，运用诱导公式五得：
sin (α – β) = cos [ – (α – β) ]
= cos [( – α) + β] = cos ( – α) · cos β – sin ( – α) · sin β
= sin α · cos β – cos α · sin β；
同理：sin (α + β) = – cos [ + (α + β) ] = – cos ( + α + β)
= – cos ( + α) · cos β + sin ( + α) · sin β
= sin α · cos β + cos α · sin β；
（S(α – β)）
（S(α + β)）
例 3：请根据正切函数与正、余弦函数的关系，从 C(α±β)、S(α±β) 出发，推导出用任意角 α、β 的正切表示 tan (α + β)、tan (α – β) 的公式.
解：tan (α + β) = =
=
= ；
同理：tan (α – β) = .
（T(α + β)）
（T(α – β)）
总结归纳
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
S(α + β)：sin (α + β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ
S(α – β)：sin (α β) = sinα·cosβ cosα·sinβ
C(α + β)：cos (α + β) = cosα·cosβ sinα·sinβ
C(α – β)：cos (α β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ
T(α + β)：tan (α + β) =
T(α – β)：tan (α – β) =
和角公式：
S(α + β)、C(α + β)、T(α + β)；
差角公式：
S(α – β)、C(α – β)、T(α – β)；
思考：仔细观察左侧和(差)角公式，说说它们间有怎样的关系？
总结归纳
和（差）公式之间的关系
【和角公式】S(α + β)、C(α + β)、T(α + β)； 【差角公式】：S(α – β)、C(α – β)、T(α – β) .
例 4：已知sin α = ，α是第四象限角，求sin ( α)，cos ( + α)，tan(α )的值．
解：由 sin α = ，α是第四象限角得：
cos α = = = ，所以 tan α = ；
于是有 sin ( α) = sin · cos α cos · sin α = × ×( ) = ；
cos ( + α) = cos · cos α sin · sin α = × ×( ) = ；
tan(α ) = = = = 7 .
知识点 2 ：和（差）角公式的简单应用
思考：本题条件中sin ( α) = cos ( + α) ，那么对于任意角α ，等式仍成立吗？
练一练
B
例 5：利用和（差）角公式计算下列各式的值 ：
（1）sin72°cos42°– cos72°sin42°；
（2）cos20°cos70°– sin20°sin70°；
（3） ；
解：（1）原式 = sin (72°– 42°) = sin 30°= ；
（2）原式 = cos (20°+ 70°) = cos 90°= 0 ；
（3）原式 = = tan (45°+ 15°) = tan (60°) = .
练一练
2. cos 65°cos 35°+ sin 65°sin 35°等于（ ）
A. cos 100° B. sin 100° C. D.
C
根据今天所学，回答下列问题：
（1）写出所有和（差）角公式；
（2）说说各和（差）角公式间的推导关系.