5.5.2 第1课时 简单的三角恒等变换 课件(共13张PPT) 2023-2024学年高一数学人教A版（2019)必修第一册

(共13张PPT)
5.5.2.1 简单的三角恒等变换
1. 能用倍角公式导出半角公式，掌握三角恒等变换的基本方法；
2. 能利用三角恒等变换对三角函数式求值以及三角恒等式的证明.
知识点 1 ：倍角公式的简单变形
回顾：按照相应规律，结合“倍”角的概念，说说 α 与 有什么关系？
α 是 的二倍
例 1 ：试以 cos α 表示 sin2，cos2，tan2 .
解：α 是 的二倍角，在倍角公式 cos 2α = 1 2sin2α 中，
以 α 代替 2α，以 代替 α 得：cos α = 1 2sin2 ，所以 sin2 = ①；
同理：根据倍角公式 cos 2α = 2cos2α 1得：cos2 = ②；
将①②两个等式的左右两边分别相除得：tan2 = .
思考：若 cos α = ，你能求出 sin ，cos ，tan 的值吗？
由例 1 可知：sin2 = ，cos2 = ，tan2 = ；
思考：若 cos α = ，你能求出 sin ，cos ，tan 的值吗？
由上式可得：sin =±，cos =±，tan =± ；
将 cos α = 分别带入即可求出 sin ，cos ，tan 的值.
总结归纳
半角公式
下列公式称为半角公式，符号由 的象限决定.
sin = ±，cos =±，tan =±
思考：若 = β，你能表示出 sin β ，cos β ，tan β 的半角公式吗？
降幂与升幂公式
sin2β = ，cos2β = ，tan2β =
降幂公式
半角公式：
cos 2β = cos2β – sin2β = 2cos2β – 1 = 1 – 2sin2β；
tan 2β = ；
升幂公式
倍角公式：
总结归纳
练一练
C
1. 若 cos α = ，α∈(0，π)，则 cos 的值为（ ）
A. B. C. D.
例 2：先求证，再说说下列两个式子的左右两边在结构形式上有什么不同.
（1）sin α·cos β = [sin (α+β) + sin (α – β)]；
（2）sin θ + sin φ = 2 sin · cos .
知识点 2 ：三角恒等式的证明
证明：（1）因为 sin (α + β) = sin α·cos β + cos α·sin β，
sin (α – β) = sin α·cos β – cos α·sin β，
将以上两式的左右两边分别相加，得 sin (α + β) + sin (α – β) = 2sin α·cos β ①，
即 sin α·cos β = [sin (α+β) + sin (α – β)]，故（1）得证；
求证：（2）sin θ + sin φ = 2 sin · cos .
证明：（2）由（1）可得：sin (α + β) + sin (α – β) = 2sin α·cos β ① ，
设：α = ，β = ，把 α、β 带入 ① 中，
即得：sin θ + sin φ = 2 sin · cos ，故（2）得证；
思考：上面两个式子的左右两边在结构形式上有什么不同？
练一练
2. 参照例题，证明下列式子.
（1）cos α·cos β = [cos(α+β)+cos(α–β)]；（2）cos θ+cos φ = 2coscos .
思考：结合上述证明，你还能发现其他类似的式子吗？
总结归纳
积化和差与和差化积公式
（1）sin α·cos β = [sin(α + β) + sin(α – β)]；
（2）cos α·sin β = [sin(α + β) – sin(α – β)]；
（3）cos α·cos β = [cos(α + β) + cos(α – β)]；
（4）sin α·sin β = – [cos(α + β) – cos(α – β)].
积化和差
（1）sin θ + sin φ = 2sin cos；
（2）sin θ – sin φ = 2cos sin；
（3）cos θ + cos φ = 2cos cos；
（4）cos θ – cos φ = –2sin sin.
和差化积
根据今天所学，回答下列问题：
（1）说说你对倍角公式和半角公式间相互转化关系的理解；
（2）说说你对积化和差与和差化积公式的理解.