5.5.2 第2课时 三角恒等变换的应用 课件(共11张PPT) 2023-2024学年高一数学人教A版（2019)必修第一册

(共11张PPT)
5.5.2.2 三角恒等变换的应用
1. 能利用三角恒等变换对三角函数式进行简单的应用．
知识点 1 ：三角恒等变换的简单应用
回顾：说说三角函数式 y = Asin(ω + φ) （A>0）的周期和最大最小值分别是多少？
周期：T = ；最大值为A，最小值为 – A.
例 1 ：求下列函数的周期，最大值和最小值：
（1） ； （2）．
分析：利用和（差）角公式，可将 = + 转化为 = ( + ) 的形式，进而就可以求得其周期和最值了；
思考：左侧函数为什么要进行变形 ① ？
解：（1） y = = 2() ①
= 2() = 2，
因此，所求周期为2，最大值为2，最小值为 – 2；
思考：上述式子除了变形成正弦的函数，还能变成其他三角函数吗？
（2）求函数 y = 3sinx + 4cosx 的周期，最大值和最小值.
（2）设 y = 3sinx + 4cosx = ( + )，
则3sinx + 4cosx = ·cos + cos ·sin ，所以 cos = 3， sin = 4，
于是 2cos2 + 2sin2 = 25，即 2 = 25，取 A = 5，则cos = ，sin = ，
所以 y = 3sinx + 4cosx = 5 ( + )；
综上可知，所求周期为2，最大值为5，最小值为 – 5.
方法总结：类似两个三角函数相加的函数求周期、最值，先用和（差）角公式将函数变为 = ( + ) 的形式，即可求得上述值.
公式拓展
辅助角公式
= + = ( + ) ，其中 = tan
推导： = sin x + cos x = ( sin x + cos x)
= (cos φ·sin x + sin φ·cos x)，
其中cos φ = ，sin φ = .
故： = + = ( + ) ，其中 = tan .
练一练
1. 运用辅助角公式，求函数 y = 5cos x – 12sin x 的周期，最大值和最小值.
解： = 5 – 12 = ( sin x – cos x)，
= 13 ( cos x – sin x)
= 13(sin θ·cos x – cos θ·sin x)
= 13sin(θ – x)，其中sin θ = ，cos θ = ；
因此，所求周期为2，最大值为13，最小值为 – 13.
例 2：如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠POC = α，求当角α 取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．
分析：要求矩形ABCD的最大面积S，可分二步进行；
① 找出矩形面积 S 与角 α 之间的函数关系；
② 由得出的函数关系，求 S 的最大值；
解：由图可知，S = AB·BC，在Rt△BOC中，BC = sin α，OB = cos α，
又在Rt△AOD中，∠AOD = 60°，所以 OA = AD = BC = sin α，
所以 AB = OB – OA = cos α – sin α，故 S = AB·BC = (cos α – sin α) · sin α；
求矩形 ABCD 的最大面积 S：
已知：S = AB·BC = (cos α – sin α) · sin α = cos α · sin α – sin2α
= sin 2α – (1 – cos 2α) = sin 2α + cos 2α –
= ( sin 2α + cos 2α) – = sin (2α + ) – ；
由 0 < α < ，得 < 2α + < ，所以当 2α + = ，即 α = 时，S最大；
S最大 = – = ；因此，当α = 时，矩形ABCD面积最大，最大面积为 .
方法总结：可通过三角恒等变换将 = asin x + bcos x 变为 = A ( + ) 的形式来解决实际问题.
练一练
2. 在半径为 R 的圆形场地内建一个矩形的花坛，应怎样截取，才能使花坛的面积最大？
θ
C
D
A
B
解：如图，因为矩形是圆内接矩形，所以它的对角线AC
是圆的直径，即AC = 2R；
设∠CAB = θ，且θ为锐角，矩形的面积为S；
又因为AB = 2R cos θ，BC = 2R sin θ，所以S = AB·BC = 2R2 sin 2θ，
因为 sin 2θ ≤ 1，所以 S ≤ 2R2；
综上，当 sin 2θ = 1，即 θ = 时，Smax= 2R2；
因此，当圆周角∠CAB = 时，花坛面积最大.
根据今天所学，回答下列问题：
（1）说说什么是辅助角公式？辅助角公式在实际应用中有什么作用？
（2）说说你对三角恒等变换的理解？