5.6.1 匀速圆周运动的数学模型 课件(共11张PPT) 2023-2024学年高一数学人教A版（2019)必修第一册

(共11张PPT)
5.6.1 匀速圆周运动的数学模型
1. 观察生活中的事例，建立匀速圆周运动的数学模型；
2. 通过对实际问题的分析，理解三角函数与圆周运动间的内在联系．
知识点 1 ：匀速圆周运动的数学模型
思考：仔细观察视频中筒车的运动形式，说说你有什么发现？
问题：如图所示，假定筒车做的是匀速圆周运动，请用一个函数模型来刻画盛水筒距离水面的高度和时间的关系.
分析：通过观察，筒车上的盛水筒运动具有周期性，可考虑用三角函数来刻画；
思考：与盛水筒运动相关的量有哪些？
它们之间有怎样的关系？
如图所示，将筒车抽象为一个几何图形，设经过 t s 后，盛水筒 M 从点 P0 运动到点 P；
易知盛水筒距离水面的高度 H，由以下量决定：
筒车转轮中心 O 到水面的距离 h；
筒车的半径 r ；
筒车转动的角速度 ω；
盛水筒的初始位置 P0，以及经过的时间 t；
通过分析这些量之间的关系，即可建立盛水筒 M 运动的数学模型.
如图，以 O 为原点，以与水平面平行的直线为 x 轴建立直角坐标系；设 t = 0 s 时，盛水筒 M 位于点 P0 ，以 Ox 为始边， OP0为终边的角为φ，经过 t s 后运动到点 P (x，y).
故以 Ox 为始边， OP 为终边的角为 ωt + φ，且点 P 的纵坐标 y 有：y = r·sin(ωt + φ)； ①
所以，盛水筒 M 距离水面的高度 H 与时间 t 的关系是：H = r·sin(ωt + φ) + h； ②
函数②即是盛水筒 M 运动的数学模型，由于h 是常量，故只研究函数①的性质即可.
例 1 ：摩天轮是一种大型转轮状的观光设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地向上旋转，可以自由的俯瞰四周景色. 如图是某摩天轮，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，你能用一个函数模型来刻画运动过程中游客距离地面的高度与时间的关系吗？
分析：找出刻画函数的关键量：
摩天轮最低点到地面的距离 h；
摩天轮的半径 r ；
摩天轮旋转一圈所用时间 T min；
距离地面最近的舱位置 A0，及经过的时间 t；
将摩天轮抽象为一个几何图形，再解答问题.
如图，以 O 为原点，以与地面平行的直线为 x 轴建立直角坐标系；设 t = 0 时，座舱 M 位于点 A0 ，以 Ox 为始边， OA0为终边的角为φ，经过 t min 后运动到点 A (x，y).
故以 Ox 为始边， OA 为终边的角为 + φ，且点 A 的纵坐标 y 有：y = r·sin( + φ)； ①
所以，座舱 M 距离地面的高度 H 与时间 t 的关系是：H = r·sin( + φ) + r + h； ②
函数②即是座舱 M 运动的数学模型，由于h 是常量，故之研究函数①的性质即可.
如图是某摩天轮最高点距离地面高度为120 m，转盘直径为110 m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30 min．
（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动 t min 后
距离地面的高度为 H m，求在转动一周的过程中，
H 关于 t 的函数解析式 ；
（2）求游客甲在开始转动 5 min后距离地面的高度 ；
练一练
已知：最高点：120 m，转盘直径 110 m，48个座舱，转一周 30 min．
（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动 t min 后距离地面的高度为 H m，求在转动一周的过程中，H 关于 t 的函数解析式 ；
（2）求游客甲在开始转动 5 min后距离地面的高度 ；
（1）如图建立直角坐标系：设 t = 0 min 时，
点 P (0，– 55)，以OP为终边的角为– ；
由摩天轮转一周需要 30 min，可知座舱转动的角速度约为 π rad/min，
由题意可得 H = 55sin (t – ) + 65，0 ≤ t ≤ 30；
（2）当 t = 5 时 ， H = 55sin(- ) + 65 = 37.5 m；
根据今天所学，回答下列问题：
（1）为什么可以用过三角函数模型刻画筒车等物体的运动？
（2）说说建立数学模型的步骤及数学模型解决实际问题的意义是什么？