5.7 三角函数的应用-2023-2024学年高二数学（沪教版2020选择性必修第一册） 课件（共19张PPT）

(共19张PPT)
5.7 三角函数的应用
第1课时
1. 掌握简谐运动和交变电流模型应用的基本步骤；
2. 能从实际问题中抽象出三角函数模型，会用三角函数模型解决简单的实际问题.
知识点 1 ：三角函数的实际应用
例 1：某个弹簧振子(简称振子)在完成一次全振动的过程中，
时间 t (单位：s)与位移 y (单位：mm) 之间的对应数据如下表所示.
请根据这些数据确定振子的位移关于时间的函数解析式.
t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60
y -20.0 -17.8 -10.1 0.1 10.3 17.7 20.0 17.7 10.3 0.1 -10.1 -17.8 -20.0
解：根据已知数据，
描出散点图：
由数据表和散点图可知，振子位移与时间的解析式为：
y = 20sin ( – )，t∈[0，+ ∞).
现实生活中有大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动等.
这些振动都是物体在某一中心位置附近循环往复运动，在物理学中，把这样的运动成为“简谐运动”.
归纳总结
在适当的坐标系下，简谐运动可以用函数 y = Asin(ωx + φ) 表示.
A 是这个简谐运动的振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离；
这个简谐运动的周期是 T = ，表示物体往复运动一次需要的时间；
这个简谐运动的频率由公式 f = = 得出，物体单位时间内往返运动的次数；
ωx + φ 称为相位，x = 0 时的相位 φ 称为初相.
简谐运动的基本概念
练一练
1. 弹簧振子以 O 点为平衡位置，在 B，C 两点间做简谐运动，B，C两点相距 20 cm，某时刻振子处在 B 点，经 0.5 s 振子首次到达 C 点；求振动的振幅、周期和频率.
O
B
C
解：设振幅为 A，则 2A = 20 cm，即 A = 10 cm；
设周期为 T，频率为 f，则 = 0.5，即 T = 1.0 s；
所以 f = = 1 Hz；
综上，该振子振动的振幅为 10 cm，周期为1.0 s，频率为 1 Hz.
例 2 ：某次实验测得的交变电流 i (单位：A) 随时间 t (单位：s) 变化的图像放大之后如图，求电流 i 随时间 t 变化的函数关系式.
分析：由交流电的产生原理可知，电流 i 随时间 t 的变化规律可用 i = Asin (ωt + φ) 来刻画，其中 表示频率，A 表示振幅，φ 表示初相.
如图，求交变电流 i 随时间 t 变化的函数关系式.
解：电流 i 随时间 t 变化规律为：i = Asin (ωt + φ) ，
由图可知：电流最大值为 5 A，因此 A = 5；
电流变化的周期为 0.02 s，频率为 f = = 50 Hz，
所以 f = = = 50，解得 ω = 100π；
再由初始状态(t = 0 s)的电流约为4.33 A，即 4.33 = 5sin φ，
解得 sin φ = 0.866，因此 φ 约为 ；
所以电流 i 随时间 t 变化的解析式为：i = 5sin (100πt + ) .
归纳总结
1. 频率指的是单位时间内完成周期性变化的次数，一般是指一秒内周期性变化的次数，频率 = ，单位是赫兹，简称“赫”，记为 Hz；
2. 利用图像确定函数 y = Asin (ωt + φ) 的解析式，就是确定其中的参数 A、ω、φ 的值，其中：① A 由最大 (小) 值决定；② ω 由最小正周期决定；③ φ 由图像上的关键点求得，确定 φ 时，要注意它的不唯一性，一般是求|φ| 最小时的 φ 值.
交变电流模型的辨析
练一练
2. 已知某函数 y = Asin (ωt + φ) 的图像如图所示，求解析式？( 0 < φ < ) .
解：由图可知 A = 10，T = 2×( – ) = ，
所以 ω = = 100π；
当 t = 0 时，y = 5，即 5 = 10sin φ，sin φ = ，
又 0 < φ < ，故 φ = ；
所以函数解析式为： y = 10sin (100πt + ).
根据今天所学，回答下列问题：
（1）请简述，简谐运动和交变电流的图象中 振幅、周期、频率、相位 分别是什么意思？
（2）说说 ω、T、f 之间有着怎样的关系？
5.7 三角函数的应用
第2课时
1. 掌握三角函数模型应用基本步骤；
2. 能从实际问题中抽象出三角函数模型，会用三角函数模型解决简单的实际问题.
知识点 1 ：三角函数的实际应用
例 1：如图，某地一天从 6 ~ 14 时的温度变化曲线近似满足函数：
y = Asin (ωx + φ) + b.
（1）求这一天 6 ~ 14 时的最大温差；
（2）写出这段曲线的函数解析式.
解：（1）由图可知：这段时间最大温差为 20 ℃；
（2）该图象是函数 y = Asin (ωx + φ) + b 的半个周期的函数图象，
所以 A = 10，b = 20， f = = 1 Hz；又 × = 14 – 6，解得 ω = ；
将 A = 10，b = 20，ω = ，x = 6，y = 10 代入，可得 φ = .
综上，所求解析式为 y = 10sin (x + ) + 20，x∈[6，14].
思考：如图，为什么一定要强调时间是 6 ~ 14 时的温度变化曲线？能不能用函数 y = Asin (ωx + φ) + b 表示全天的温度变化？
由于全天的温度波动过大，很难找到准确的函数解析式来表示全天的温度变化，故只能找某段时间内近似的变化曲线来用函数表示.
注意：一般求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，
因此要特别注意自变量的变化范围；如 y = 10sin (x + ) + 20，x∈[6，14].
练一练
1. 商场人流量是指每分钟通过入口的人数. 元旦期间某商场的人流量满足函数 f (t) = 50 + 4sin (t ≥ 0)，则下列时间段内人流量增加的是（ ）
A. [0，5] B. [5，10] C. [10，15] D. [15，20]
C
例 2 ：某城市一年中 12 个月的平均气温 y 与月份 x 的关系可近似的用函数
来表示，已知6月份的平均气温最高为 28℃，12月份的月平均气温最低为18℃，则10月份的月平均气温是多少度？
解：由题意有，解得 ，
所以；
当 x = 10 时，；
所以 10 月份的平均气温是 20.5℃.
练一练
2. 如图所示的是一个单摆，以平衡位置A为始边，OB为终边的角 θ (–π < θ < π) 与时间 t (s) 满足函数解析式 θ = sin (2t + )，则当 t = 0 时，角 θ 的大小及单摆的频率是多少？
解：当 t = 0 时，θ = sin () = ，
由函数的解析式可知，函数的周期为 T = = π，
则函数的频率为 f = = .
三角函数模型应用基本步骤
实际问题
三角函数模型
三角函数模型的解
实际问题的解