3.1.1 函数的概念 第2课时-2023-2024学年高二数学（沪教版2020选择性必修第一册） 课件（共18张PPT）

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3.1.1 函数的概念
第2课时
1.知道区间的概念，并能正确使用区间表示数集
2.会求函数的定义域与函数值
3.能判断两个函数是否为同一个函数
知识点1：理解区间的概念
⒈满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]；
设a，b是两个实数，而且a⒉满足不等式a⒊满足不等式a≤x这里的实数a，b叫做相应区间的端点.
定义 名称 符号 数轴表示
闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间
这些区间的几何表示如表所示．在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点．
定义 区间 数轴表示
如表，我们可以把满足x≥a，x＞a，x≤b，x＜b的实数x的集合，用区间分别表示为[a,+∞)，(a,+∞)，(-∞,b]，(-∞,b)．
实数集R可以用区间表示为（－∞，＋∞），“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作 “负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”．
(1)区间是数集；
(2)区间的左端点必小于右端点；
(3)区间中的元素都是数字，并且必有无限多个；
(4)区间不能表示不连续的数集；
(5)任何区间均可在数轴上表示出来，一个区间对应数轴上的一条线段，区间中的每个元素均对应数轴上的一个点；
(6)以“-∞”或“+∞”为区间的一端时，这一端必须是圆括号.
要点辨析
(1){x|x≥-1}； (2){x|x＜0}；
(3){x|-1＜x＜1}; (4){x|-1≤x≤4};
(5){x|-1≤x＜0}; (6){x|0＜x＜1或2＜x≤4}.
用区间表示下列数集：
练一练
(-1,1)
[-1,+∞)
(-∞,0)
[-1,4]
[-1,0)
(0,1)∪(2,4]
分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前面所述的三个实例.如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合.
知识点2：求函数的定义域和值
例1 已知函数
(1)求函数的定义域.
所以，这个函数的定义域是
解：(1)使根式 有意义的实数x的集合是{x|x≥-3}.
使分式 有意义的实数x的集合是{x|x≠-2}，
且
既
例1 已知函数
(2)求f(-3), 的值.
(3)当a＞0时，求f(a),f(a-1)的值.
(2)将-3代入解析式，得
同理
（3）因为a＞0，则a-1＞0，所以f(a),f(a-1)有意义.
已知函数f(x)＝ ，
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(2)的值；
(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值．
练一练
解：(1)要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，∴f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)．
(2)f(-1)= =-2，f(2)= .
(3)当a≠-1时，a+1≠0，∴f(a＋1)=
即u=3+2x∈[0,3]，
例2 已知函数y=f(x)的定义域[0,3]，求函数y=f(3+2x)的定义域.
解：令u=3+2x，那么y=f(3+2x)可以表示为y=f(u)，
∵y=f(x)的定义域[0,3]，∴y=f(u)的定义域也为[0,3]
即y=f(3+2x)的定义域为
∴0≤3+2x≤3
拓展：
用g(x)表示u=3+2x，即u=3+2x=g(x)，所以y=f(3+2x)=f(u)=f(g(x))，一般称y=f(g(x))为复合函数.
分析：1.定义域指的是前面函数中自变量x的取值范围；
2.f的作用范围即括号内整体范围一致.
1.已知函数y＝f(x)的定义域是[1,2]，求函数y＝f(x＋1)的定义域．
练一练
解：∵y=f(x)的定义域是[1,2]，
∴在y=f(x＋1)中，x＋1∈[1,2],
即1≤x＋1≤2，解得0≤x≤1,
∴函数y=f(x＋1)的定义域是[0,1]．
2.若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1,2]，求函数y＝f(x)的定义域.
解：∵y=f(x＋1)的定义域是[1,2]，即1≤x≤2，
括号内整体是x+1,而2≤x+1≤3.
∴函数y=f(x)的定义域是[2,3]．
思考：一个函数由哪几个部分组成？如果给定函数的定义域和对应关系，那么函数的值域确定吗？两个函数相等的条件是什么？
定义域、对应关系、值域；　　　
定义域相同，对应关系完全一致.
函数的值域由函数的定义域和对应关系所确定；
知识点3：判断两个函数是否为同一函数
此外，函数u=t2, t∈(-∞,+∞),x=y2, y∈(-∞,+∞),于函数y=x2, x∈(-∞,+∞),虽然表示它们的字母不同，但因为它们的对应关系和定义域相同，所以它们是同一个函数．
例3 下列函数中，哪个与函数y=x是同一个函数？
（1） （2）
（3） （4）
解：函数y=x的定义域为x∈R
（1）函数 的定义域为x∈{x|x≥0}.
它们对应关系相同，但是定义域不同，所以不是同一个函数.
（2）函数 的定义域为v∈R
它们对应关系相同，而且定义域相同，所以是同一个函数.
（3）函数 的定义域为x∈R.
它们定义域相同，但是对应关系不同，所以不是同一个函数.
（4）函数 的定义域为n∈{n|n≠0}.
它们对应关系相同，但是定义域不同，所以不是同一个函数.
例3 下列函数中，哪个与函数y=x是同一个函数？
（1） （2）
（3） （4）
解：函数y=x的定义域为x∈R
练一练
⑤
下列各组函数中，表示同一函数的是__________.
①f(x)=1, ；
②求 ， ；
③f(x)=x， ;
④
⑤
(x≥0)
(x＜0)
根据今天所学，回答下列问题：
1.区间表示数集时有哪些需要注意？
2.怎么求函数的定义域和值？
3.怎么判断两个函数是否为同一函数？