3.2.1 单调性与最大（小）值 第1课时-2023-2024学年高二数学（沪教版2020选择性必修第一册） 课件（共16张PPT）

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3.2.1 单调性与最大（小）值
新授课
第1课时
1.会用符号语言表达函数的单调性
2.能证明简单函数的单调性
思考：1.观察这些函数图象，你能说说他们分别反映了相应函数的哪些特征吗？
2.它们分别反映了相应函数有什么变化规律？
问题：如何描述二次函数f(x)=x2的单调性.
知识点1：符号语言表达函数的单调性
在初中我们利用函数图象探究过函数值随自变量的增大而增大(减小)的性质，这性质叫做函数的单调性.
图象在区间(-∞,0]逐渐下降，y随x的增大而减小.
任意取x1,x2 ∈(-∞,0] ，得到 ，
有 .
函数 f(x)=x2 在区间(-∞,0]上是单调递减的.
同理，函数 f(x)=x2在[0,+∞)上是单调递增的.
如何从数学运算的角度说明f(x1)和f(x2)的大小关系？
作差法：
概念生成
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I:
如果 x1,x2 ∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2) ，那么就称函数f(x)在区间A上单调递增.
当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.
如果 x1,x2 ∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2) ，那么就称函数f(x)在区间A上单调递减.
若函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.
如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.
问题：书写函数的单调区间端点有何要求？
函数在区间端点处有定义时，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化，所以不存在单调性问题，因此在书写单调区间时，可以包括，也可以不包括.如函数y=t的单调增区间可以写(0，+∞)，也可以写成[0，+∞).
反之，函数在区间端点处无定义时，书写单调区间时就不能包括端点.
思考：函数y=f(x)在定义域的某区间上存在x1，x2满足x1＜x2,且f(x1)＜f(x2)，那么函数y=f(x)在该区间上一定是单调递增吗？
理解函数的单调性应注意的问题:
(1)函数的单调性是函数的局部性质，体现在函数的定义域或其子区间上，所以函数的单调区间是其定义域的子集．
(2)函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性．
(3)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接．
如函数 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减．
例1 根据定义，研究函数f(x)=kx+b (k≠0)的单调性.
解：函数f(x)=kx+b (k≠0)的定义域是R， x1,x2 ∈R且x1＜x2．则f(x1)-f(x2)=(kx1+b)-(kx2+b)= k(x1-x2).
由x1＜x2得x1-x2＜0.
①当k＞0时， k(x1-x2)＜0，于是f(x1)-f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2).
②当k＜0时， k(x1-x2)＞0，于是f(x1)-f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)
这时，f(x)=kx+b是增函数.
这时，f(x)=kx+b是减函数.
知识点2：证明简单函数的单调性
用定义证明函数的单调性的步骤:
1.取数:在区间D上任取两个自变量的值任取x1,x2 ∈D，且x12.作差:f(x1)-f(x2)；
3.变形:通常是因式分解和配方；
4.定号:判断差f(x1)-f(x2)的正负；
5.结论:指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性.
总结归纳
例2 根据定义证明函数 在区间(1,+∞)上单调递增.
解： x1,x2 ∈(1,+∞),且x1＜x2，有
由x1,x2 ∈(1,+∞),得x1＞1，x2＞1.所以x1x2＞1，x1x2-1＞0.
又由x1＜x2，得x1-x2＜0.所以 .即 y1＜y2.
所以，函数 在区间(1,+∞)上单调递增.
1.下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是(　　)
A．y＝2x＋1 B．y＝x2＋1
C．y＝3－x D．y＝x2＋2x＋1
C
练一练
2.已知函数 ，x ∈(0,+∞)，用函数单调性的定义证明f(x)是增函数.
证明：在区间(0,+∞)任取x1,x2 ,设x1＜x2，
∵0＜x1＜x2 ,∴x1－x2＜1，x1x2＞0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1) ＜ f(x2) .
所以，函数 f(x)在区间(0,+∞)是增函数.
根据今天所学，回答下列问题：
(1)什么叫函数的单调性？能举出一些具体例子吗？
(2)在理解函数的单调性时应把握好哪些关键问题？