3.2.1 单调性与最大（小）值 第2课时-2023-2024学年高二数学（沪教版2020选择性必修第一册） 课件（共15张PPT）

(共15张PPT)
3.2.1 单调性与最大（小）值
第2课时
1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义
2.能利用函数的图象或单调性，求一些简单函数的最值
观察：这两个函数图象，图中有个最高点，那么这个最高点的纵坐标叫什么呢？
O
x0
x
M
y
y
x
O
x0
M
f(x)＜M
知识点1：函数的最大值和最小值
问题：设函数y= f(x)图象上最高点的纵坐标为M，则对函数定义域内任意自变量x， f(x)与M的大小关系如何？
1.对任意的x∈R都有 f(x) ≤ 0.
2.存在0，使得 (0) = 0.
O
1
2
y
x
1
-1
-1
如函数 f(x)=-x2 (x∈R)，
概念生成
一般地，设函数y= f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（2） x0∈I，使得 f(x)=M.
我们称M是函数y= f(x)的最大值.
（1） x∈I，有 f(x)≤M；
思考：仿照函数的最大值的定义，怎么给出函数y= f(x)的最小值的定义？
一般地，设函数y= f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1） x∈I，有 f(x)≥M；
（2） x0∈I，使得 f(x)=M.
我们称M是函数y= f(x)的最小值.
例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度(单位:ｍ)与时间 (单位:ｓ)之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少(精确到1ｍ)？
知识点2：图象法求函数的最值
解：画出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象.
函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.
25
20
15
10
5
1
2
3
4
5
t
O
h
30
当 时，函数有最大值
所以，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度是29m.
由二次函数的知识，对于函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18，我们有：
25
20
15
10
5
1
2
3
4
5
t
O
h
30
图象法求函数最值的一般步骤:
1.作：作出函数图象；
2.找：在图象上找到最高点和最低点的纵坐标；
3.定：确定函数的最大（小）值.
总结归纳
一般地，函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点.
注：函数的最大值和最小值可以有多个.
已知函数 f(x)=x2-2x-3,若x∈[0,2],求函数 f(x)的最值.
解：函数 f(x)=x2-2x-3的对称轴为x=1，且对称轴在区间[0,2]内，
∵f(0)－f(2)=-3－(22－2×2－3)=0，
1
-1
-2
-3
-4
1
2
3
x
O
y
2
由二次函数的知识，可知函数 f(x)=x2-2x-3在[0,1]内单调递减，在[1,2]内单调递增，
∴f(x)min=f(1)=－4，
∴ f(x)max=f(0)=f(2)=－3 .
练一练
区间端点处的最值通过计算判断
例2 已知函数 (x∈[2,6])，求函数的最大值与最小值.
分析：由函数 的图象可知道，函数 在区间[2，6]上单调递减.所以 在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值与最小值.
2.5
2
1.5
1
0.5
1
2
3
4
5
x
O
y
6
解： x1,x2 ∈[2,6],且x1＜x2，则
知识点3：单调性求函数的最值
由2≤x1＜x2≤6，得 x2-x1＞0，(x1-1)(x2-1)＞0,
于是 即
所以，函数 在区间[2,6]上单调递减.
所以，函数 在区间[2,6]的两个端点上分别取最值．在x=2取得最大值，最大值是2；在x=6取得最小值，最小值是0.4．
2.5
2
1.5
1
0.5
1
2
3
4
5
x
O
y
6
二、函数最值与单调性的关系:
1.若函数y= f(x)在区间[a,b]上单调递增，那么函数的最小值 ymin= f(a)，最大值ymax= f(b)；
2.若函数y= f(x)在区间[a,b]上单调递减，那么函数的最小值 ymin= f(b)，最大值ymax= f(a)；
总结归纳
一、利用单调性求函数最值的一般步骤:
1.判断函数的单调性； 2.利用单调性求出最大（小）值.
练一练
已知函数 ,求函数 f(x)在x∈[2,5]上的最大值和最小值.
解：任取x1,x2∈[2,5] ,且x1＜x2，
∵2≤x1＜x2≤5 ,∴x2－x1＞0，x1x2＞0，
即 f(x1) ＞ f(x2) ，f(x)在[2,5]上单调递减.
f(x)max=f(2)=1.
根据今天所学，回答下列问题：
(1)函数的最大值、最小值的定义是什么？
(2)求函数最值时，有哪些需要注意的点？