3.2.2 奇偶性 课件（共17张PPT）

(共17张PPT)
3.2.2 奇偶性
新授课
1.理解奇函数、偶函数的定义
2.掌握判断函数奇偶性的方法
观察：函数f(x)= x2和g(x)=2-|x|的图象有什么共同特征？
x
y
O
1
2
3
4
5
-1
1
2
3
-1
-2
-3
x
y
O
1
2
3
4
5
-1
1
2
3
-1
-2
-3
g(x)=2-|x|
f(x)= x2
两个函数的图象关于y轴对称
知识点1：函数奇偶性的定义
问题：观察自变量与相应函数值的情况，能用符号语言精确的描述“函数图象关于y轴对称”这一特性吗？
对于f(x)=x2，有 f(-x) =(-x) 2=x2= f(x)；
自变量取互为相反数的两个数时，函数值是相等.
x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
f(x)= x2 ... 9 4 1 0 1 4 9 ...
g(x)=2-|x| ... -1 0 1 2 1 0 -1 ...
对于g(x)=2-|x|，有g(-x) =2-|-x|=2-|x|=g(x)；
即 x∈R，都有 f(-x) = f(x).
概念生成
一般地，设函数 f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有﹣x∈I，且
f(-x)=f(x)，那么就称函数 f(x)为偶函数.
思考:定义中“任意一个x,都有 f(-x) = f(x)成立”说明了什么？
-x、x必须同时属于定义域且 f(x) 与-f(x) 都有意义，其定义域关于原点对称.
常见的偶函数有f(x)= ax2+c (a≠0)、f(x)= a|x|+k 等.
不一定.因为f(-3)= f(3)并不能保证所有的f(-x)= f(x)，所以不一定是偶函数.
思考：对于定义在R上的函数 f(x)，若f(-3)= f(3)，那么这个函数是偶函数吗？
偶函数特点：（1）定义域对称
（2）图象关于y轴对称
（3）
两个函数的图象关于原点成中心对称图形
观察：函数 f(x)= x和g(x)= 的图象有什么共同特征？
x
y
O
1
2
3
-3
-2
-1
1
2
3
-1
-2
-3
f(x)= x
x
y
O
1
2
3
-3
-2
-1
1
2
3
-1
-2
-3
问题：观察自变量与相应函数值的情况，能用符号语言精确的描述这一特性吗？
对于f(x)=x，有 f(-x) = -x= -f(x)；
自变量x取一对相反数时，相应的函数值f(x)是一对相反数.
x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
f(x)= x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
... 1 1 ...
对于 ，有 ；
即 x∈R，都有 f(-x) = -f(x).
概念生成
一般地，设函数 f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有﹣x∈I，且
f(-x) = -f(x)，那么就称函数 f(x)为奇函数.
奇函数特点：（1）定义域对称
（2）图象关于原点对称
（3）
常见的奇函数有f(x)= x、f(x)= -x、 等.
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x)= x4； (2) f(x)= x5；
知识点2：判断函数的奇偶性
解：(1)函数 f(x)= x4的定义域为R，
因为 x∈R，都有﹣x∈R，且 f(-x) = (-x)4 =x4 =f(x)，
所以，函数 f(x)= x4为偶函数.
(2) 函数f(x)= x5的定义域为R，
因为 x∈R，都有﹣x∈R，且 f(-x) =(-x)5 =-x5 =- f(x)，
所以，函数 f(x)= x5为奇函数.
奇偶性是函数在它的定义域上的整体性质，所以判断函数的奇偶性应优先明确它的定义域.
(3) f(x)= ； (4) f(x)= .
(3) 函数 的定义域为{x| x≠0}，
因为 x∈{x| x≠0}，都有﹣x∈{x| x≠0}，且
所以，函数 为奇函数.
(4) 函数 的定义域为{x| x≠0}，
因为 x∈{x| x≠0}，都有﹣x∈{x| x≠0}，且
所以，函数 为偶函数.
根据定义判断函数的奇偶性的步骤：
1.先看定义域，看是否关于原点对称；
2.再判断f(-x) = -f(x)或f(-x) = f(x)是否恒成立；
3.根据定义下结论.
总结归纳
利用函数奇偶性定义来判断，函数 f(x)= x3+x 的定义域为R，且有
f(-x)= -x3-x= -f(x)所以此函数是奇函数.
思考：（1）如何判断函数 f(x)= x3+x的奇偶性？
由奇函数的图象关于原点成中心对称可以画出函数
f(x)= x3+x在y轴左侧对的图象，将y轴右侧的图象沿着原点旋转180°即可.
（2）已知函数f(x)= x3+x图象的一部分，如何画出剩余部分？
x
y
O
1
2
3
-3
-2
-1
1
2
3
-1
-2
-3
f(x)= x3+x
练一练
1.判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x)= |x-1|+|x+1|； (2) .
解：(1)函数f(x)= |x-1|+|x+1|的定义域为R，
因为 x∈R，都有﹣x∈R，且 f(-x)= |-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|= f(x)，
所以，函数 f(x)= |x-1|+|x+1|为偶函数.
函数的定义域为(-∞,-1)∪(-1,0)∪(0,+∞)，定义域不关于原点对称，
(2) 因为 ，所以x2(x+1)≠0，即x≠0或x≠-1，
所以，函数 为非奇非偶函数.
2.已知 f(x)是偶函数， g(x)是奇函数，试将下图补充完整.
观察所做图形，其单调性有什么特点？
奇偶函数的单调性：
总结归纳
①奇函数：奇函数在y轴左右两边的单调性是完全相同的.如果
奇函数在区间[a,b]上的单调增函数，那么在区间[-a,-b]上就
是单调增函数.
②偶函数：奇函数在y轴左右两边的单调性是完全相反的.如果
偶函数在区间[a,b]上的单调增函数，那么在区间[-a,-b]上就
是单调减函数.
根据今天所学，回答下列问题：
(1)奇函数和偶函数的定义是什么？
(2)怎么判断函数的奇偶性？