3.3 幂函数 课件（共15张PPT）

(共15张PPT)
3.3 幂函数
1.理解幂函数的概念，会求幂函数的解析式
2.结合函数图象理解幂函数的性质
观察：下列函数解析式有什么共同特征？
知识点1：幂函数的概念
(1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜w kg，那么她需要支付
p=w元，这里p是w的函数；
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数；
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数；
(4)如果一个正方形场地的面积为S，那么正方形的边长c= ，这里
c是S的函数；
(5)如果某人t s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v= km/s，
即v=t -1，这里v是t的函数.
把自变量全部用x来表示,函数值用y来表示,则它们的函数关系式是:
y=x
上述问题中涉及的函数，都是形如y=xα的函数.
y=x2
y=x3
y=x-1
y=
一般地，函数y = xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
例1 在函数① ; ② y = 3x3；③ y = 2x+1; ④ ; ⑤ y = x3；
⑥ 中，是幂函数的是_________.
①⑤⑥
幂函数的特征:
（1）xα的底数为自变量为；
（2）xα的系数为1；
（3）xα指数为常数.
只有同时满足这三个条件的，才是幂函数.
例2 已知幂函数的图象过点 ,试求出此函数的解析式.
解:设f(x)= xα,将 代入,得
3α=
∴该函数的解析式为 .
利用待定系数法.幂函数只有一个系数，只需要一个点的坐标即可求写出幂函数的表达式.
对于幂函数，我们只研究α=1,2,3， ，-1时图象的性质.
知识点2：幂函数的性质
思考：结合以往学习函数的经验，我们应该如何研究这些函数？
通常可以先根据函数解析式求出函数的定义域，画出函数的图象；再利用图象和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题．
试在同一坐标系中画出函数y=x，y=x2，y=x3， ，y=x-1的图象.
观察这五个函数图象，它们有哪些性质？







x
y
O
①只有α =1时图象才是直线；
②图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限；
③图象一定经过 (1,1) 这个定点；
④第一象限内α由上到下递减.
⑤α ＞0时，图象在定义域内上升；
⑥α ＜0时，图象在第一象限下降；
⑦只有α ＞0时，图象才与坐标轴相交，且交点一定为原点；






x
y
O

y=x y=x2 y=x3 y=x-1
定义域
值域
奇偶性
单调性
公共点
(1,1)
奇函数
增函数
R
R
奇函数
增函数
R
R
非奇非偶函数
增函数
[0,+∞)
[0,+∞)
偶函数
R
[0,+∞)
(-∞,0]递减
[0,+∞)递增
奇函数
{x| x≠0}
{y| y≠0}
(-∞,0)递减
(0,+∞)递减
思考：你能总结幂函数的一般性质吗？
幂函数的一般性质：
(2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数，
特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸；
α<0时，幂函数的图象不过原点，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数.
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都过点(1,1)；
总结归纳
例3 证明幂函数 f(x)= 是增函数.
证明：函数的定义域是[0,+∞）.
且 有
因为 则
所以
即幂函数 是增函数.
练一练
1.利用幂函数的性质，比较(-1.2)3与(-1.1)3的大小.
解：由y = x3的定义域为R，且在R上单调递增.
因为-1.2＜-1.1，
所以，(-1.2)3＜(-1.1)3.
α相同时，先判断函数的单调性，然后根据自变量的大小，比较函数值的大小
2.已知函数 y=f(x)的图象经过点(2, )，试判断此函数的奇偶性、单调性.
所以
因为函数的定义域(0,+∞),所以f(x)为非奇非偶函数；
解：设 f(x)= xα，则 ，解得 .
x1，x2∈(0,+∞),且x1＜x2，则
因为 所以 即
所以f(x)在(0,+∞)为减函数.
根据今天所学，回答下列问题：
(1)什么是幂函数？结合具体的幂函数，你能说说幂函数具有哪些性质吗？
(2)怎么比较幂函数的大小？