4.1.1 n 次方根与分数指数幂 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
4.1.1 n 次方根与分数指数幂
1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质
2.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化
3.掌握有理数指数幂的运算性质
回顾：
我们学习过的一次函数、二次函数、幂函数、分段函数等都与现实世界有紧密联系．它们的解析式分别是什么？能举例说明与此有关的生活实例吗？
如果 x2=a，那么x叫做a的平方根．例如，±2就是4的平方根．
如果 x3=a，那么x叫做a的立方根．例如，2就是8的立方根．
类似地，由于(±2)4=16，我们把±2叫做16的4次方根；
由于(±2)5=32，2叫做32的5次方根．
一般地，如果 xn=a 那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.
知识点1：n次方根与根式
①当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 表示.例如
②当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正数a的正的n次方根用符号 表示，负的n次方根用符号 表示.两者也可以合并写成 .例如
③负数没有偶次方根
④ 0的任何次方根都是0.记作：
思考：为什么负数没有偶次方根？
因为在实数的定义里，两个数的偶次方根结果是非负数，即任意实数的偶次方是非负数.
式子 叫做根式，这里n叫做根指数 ，a叫做被开方数．
根指数
被开方数
根据n次方根的定义，可得： ，如：
思考：1. 表示 的n次方根， 一定成立吗？
①当n为奇数时，
②当n为偶数时，
2. 与 有何不同？
中的a不受n的限制，a∈R.
中的a受到n的限制，当n为奇数时，a∈R，当n为偶数时，a≥0.
另外，当a<0时，
n为奇数时，
n为偶数时.
而
例1 求下列各式的值：
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1）
（2）
（3）
（4）
总结归纳
(1)化简 时,首先明确根指数n是奇数还是偶数,然后依据根式的性质进行化简;化简 时,关键是明确 是否有意义,只要有意义,则
(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的取值范围,即确定 中a的正负,再结合n的奇偶性给出正确结果.
根式求值
观察以下式子,试总结出规律(a＞0):
知识点2：分数指数幂
当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式.
思考：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也能表示为分数指数幂的形式呢？
为了使整数指数幂的运算性质，如(ak)n=akn仍然成立，根式可表示为分数指数幂的形式，如
因此，我们规定，正数的正分数指数幂的意义是
在条件 下，根式都可以写成分数指数幂的形式．
例如，
我们规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，
思考：1. 可以理解为 个a相乘吗？
2. 分数指数能约分吗？
不可以.显然 不是半个 a相乘，它的实质是根式的另一种写法，如 .在这样的规定下，根式与分数指数幂就是表示相同意义的量，只是形式不同.
不能随意约分.因为约分之后可能会改变根式有意义的条件，如
约分后变成了 ，而 在实数范围内无意义.
回顾正数指数幂的运算法则，观察下列式子，你能得出什么结论？
知识点3：有理数指数幂的运算性质
整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r,s均有下面的运算性质：
例2 求值
(1)
(2)
解：（1）
（2）
分数指数幂的运算技巧
1.对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式统一化成分数指数幂的形式,以便于计算.如果根式中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式.
2.对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.
总结归纳
例3 用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a＞0):
解：（1）
（2）
(1)
(2)
根式与分数指数幂互化的规律：
1.根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子．
2.在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题.
总结归纳
例4 计算下列各式（式中字母均是正数）：
解：（1）
（2）
(1)
(2)
例4 计算下列各式（式中字母均是正数）：
（3）
(3)
利用指数幂的运算性质化简求值的方法：
1.进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．
2.在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．
3.对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．
总结归纳
化简
解：由 有意义，可知-a≥0，故a≤0，
练一练
所以
根据今天所学，回答下列问题：
1.n次方根和根式的定义是什么？它们有哪些性质？
2.根式与分数指数幂的互化遵循哪些规律？
3.如何利用分数指数幂的运算性质进行化简？