4.2.1 指数函数的概念 课件（共18张PPT）

(共18张PPT)
4.2.1 指数函数的概念
新授课
1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念
问题1：随着旅游人数不断增加，自2001年A地景区提高了门票价格，B地则取消了门票.下表给了A、B两个景区2001~2015年的游客人次及逐年增加量.
知识点1：指数函数的概念
比较一下两地景区旅游人次的变化情况，其中有怎样的规律？
A地区经营地比较平衡，B地区发展比较快.
为了便于观察，我们把表格中的数据画成图象：
A景区的游客人次近似于直线上升(线性增长)，年增加量大致相等(约为10万人次)；
B景区的游客人次是非线性增长，年增加量越来越大.
思考：B景区每年的游客人次增长率有什么规律？
2002年游客人次
2001年游客人次
2003年游客人次
2002年游客人次
2015年游客人次
2014年游客人次
B景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1=0.11，是一个常数.
像这样，增长率为常数的变化方式，称为指数增长.
这是一个函数，其中指数x是自变量.
x年后，B景区游客人次是2011年的1.11x倍.即x年后B景区的游客人次:
因此，B景区的游客人数近似于指数增长.即从2011年起，每一年的游客人次都是上一年的1.1倍左右，增长量越来越多.
死亡1年后，含量为 ；
问题2：当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减(称为衰减率)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？
死亡2年后，含量为 ；
死亡3年后，含量为 ；
设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么
死亡5730年后，含量为 ；
→
→
设生物死亡年数x，碳14含量为y，那么 ，即
死亡生物体内碳14含量每年都以 的衰减率衰减.
→ 函数，指数x是自变量
像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减.因此，死亡生物体内碳14含量呈指数衰减.
如果用字母a代替上述两个问题中的底数1.11和 ，那么函数
和 可以表示为
的形式，其中a是一个大于0且不等于1的常量.
一般地，函数 (a＞0，且a≠1)叫做指数函数. 其中指数x是
自变量，定义域是R.
思考：指数函数定义中为什么规定a大于0且不等于1
(1)如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0；当x≤0时，ax无意义．
(2)如果a＜0，如y＝(－2)x，对于x＝ ，…时在实数范围内函数值不存在．
(3)如果a＝1，y＝1x是一个常量，对它无研究价值．为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1.
D
练一练
下列函数一定是指数函数的是(　　)
A．y＝2x＋1 B．y＝x3
C．y＝3·2x D．y＝3－x
例1 已知指数函数设f(x)＝ax(a>0, 且a≠1),且f(3)=π，求f(0)，f(1)，f(-3)的值.
解：因为f(x)=ax，且f(3)=π，则a3=π，解得 ，
分析：要求f(0)，f(1)，f(-3)的值，应先求出f(x)＝ax的解析式即先求出a的值.
于是f(x)= ，
所以f(0)=
例2 (1)在问题１中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况．
解:(1)设经过x年，游客给A，B两地带来的收入分别为f(x)和g(x)，则
f(x)＝1150×(10x+600)，
g(x)＝1000×278×1.11x．
当x=0时，f(0)－g(0)＝412 000．
当x≈10.22时，f(10.22)≈g(10.22)．
结合图可知：
当x＜10.22时，f(x)＞g(x)，
当x＞10.22时，f(x)＜g(x)．
当x＝14时，g(14)－f(14)≈347 303．
2001年，游客给A地带来的收入比B地多412000万元；随后10年，虽然f(x)＞g(x)，但g(x)的增长速度大于f(x)；在2011年2月某个时刻就有f(x)＝g(x)，游客给A地带来的收入和B地差不多；
此后，f(x)＜g(x)，游客给B地带来的收入超过了A地；2015年，B地的收入已经比A地多347303万元了．
例2 (2)在问题2中，某生物死亡10 000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？
(2)设生物死亡x年后，它体内碳14含量为h(x)，那么
当x＝10 000时，利用计算工具求得
所以，生物死亡10 000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的30%.
总结归纳
指数增长模型：设原有量为N,每次的增长率为p,经过x次增长，该量増长到y,则y=N(1+p)x(x∈N).
形如y=kax(k∈R,且k≠0:a>0,且a≠1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型.
练一练
在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，那么经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍？（可以使用计算工具）
解：设该湖泊现有蓝藻为k,经过x天后蓝藻变为f(x).根据题意，f(x)是以k为初始量，
增长率为0.0625,即增长比例为1.0625的指数函数，
则f(x)=k1.0625x(x≥0),
于是f(0)=k,f(30)=k1.062530,利用计算工具可得
所以，经过30天该湖泊的蓝藻大约会为原来的6倍.
根据今天所学，回答下列问题：
1.什么是指数函数？
2.指数函数解析式的特征是什么？