4.2.2 指数函数的图象和性质 课件(共13张PPT) 2023-2024学年高一数学人教A版（2019)必修第一册

(共13张PPT)
4.2.2 指数函数的图象和性质
1.理解指数函数的图象与性质，能运用指数函数的图象
和性质解决有关数学问题
类比研究幂函数性质的过程和方法，研究指数函数.在同一坐标系下画出函数
的图象进行比较，它们有什么关系？
知识点：指数函数的图象和性质
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
由此可知:
底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．
函数 图象上任意一点P(x,y)关于y轴的对称点P1(-x,y)都在函数 的图象上.
根据这种对称性，可以利用一个函数的图象，画另一个函数的图象.
P1
P
思考：取底数a为 ，在同一直角坐标系内画出相应的指数函数图象,观察图象并概括出指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的性质.
01
图象
定义域
值域
性质
特点


过点(0,1)即x＝0时，y＝1
减函数
增函数
y轴右侧的图象，底数越大图象越高（底大图高）
图象下端与x轴无限接近，但永不相交
都是下凸的函数
例1 比较下列各题中两个值的大小：
解：（1） 可看作函数 当x分别取2.5和3时所对应的两个函数值.
因为底数 所以函数 是增函数.
由 所以
（2）同（1）理，因为 所以函数 是减函数.
由 所以
（1）
（2）
（3）
例1 比较下列各题中两个值的大小：
（1）
（2）
（3）
（3）由指数函数的性质知：
所以
分析：1.70.3和0.93.1不能看作某一个指数函数的两个函数值.可以利用函数y=1.7x和y=0.9x的单调性，以及“x=0时，y=1”这条性质把它们联系起来.
总结归纳
比较幂（函数值）的大小的方法
1.单调性法：同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较;
2.图象法：指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小;
3.中间值法：底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较;
4.分类讨论法：当底数含参数时，要按底数a>1和0练一练
比较下列各题中两个值的大小：
（1）
（2）
（3）
解:（1）指数函数在y轴右侧的图象，底数越大图象越高，
由 所以
（2）因为 所以函数 是减函数.
由 所以
（3）因为 所以函数 是减函数， 是增函数.
所以
例2 如图，某城市人口呈指数增长．
（1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）；
（2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？
分析:（1）因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期．
（2）要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与倍增期的数量关系.
例2 如图，某城市人口呈指数增长．
（1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）；
（2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？
解：（1）该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年．
（2）因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番．因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人．
练一练
体内癌细胞初期增加得很缓慢，但到了晚期就急剧增加，画一幅能反映体内癌细胞数量随时间变化的示意图.
解：经时间x,癌细胞数量为y,图象如图，
y
O
x
根据今天所学，回答下列问题：
1.写出一个指数函数的解析式，说明底数、增长比例和初始量的值，画出该函数的草图，并说明其单调性.