河南省濮阳市2023-2024学年高二上学期1月第二次质量检测数学试题（PDF版含解析）

濮阳市 2022 级高二上学期第二次质量检测
数学试题
一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的
一项.
1．直线 2x 2y +1 =0 的倾斜角是（ ）．
2 3
A． B． C． D．
4 3 3 4

2．在棱长为 1的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，设 AB a, AD b, AA1 c，则 a (b c)的值为（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．-2
3．对任意实数 k，直线 3k 2 x ky 2 0与圆 x2 y2 2x 2y 2 0的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切或相离 C．相离 D．相交或相切
4．若直线 l1 :ax 2y 6 0 与直线 l2 : x a 1 y 1 0平行，则实数a （ ）
2
A． 3 B． 1 C．2 D． 1或 2
3
5．在正四面体 A PBC中，过点A作平面 PBC的垂线，垂足为Q点，点M 满足 AM AQ，
4

则 PM （ ）
1 3 1 PA PB PC 1
1 1
A． B． PA PB PC
4 4 4 4 4 4
1 3 1 1 1 3
C． PA PB PC D． PA PB PC
4 4 4 4 4 4
6．已知点 A(2, 3)，B( 3, 2)．若直线 l :mx y m 1 0与线段 AB相交，则实数m的取值范
围是（ ）
3
A． , 4, , 4
3 3 , 3 B．
4 4
C．

, 4 D． 4, 4 4
7．设曲线 x 1 (1 y) 2 上的点到直线 x y 2 0的距离的最大值为 a，最小值为b，则 a b
的值为( )
A． 2 B． 2
2
C 2． 1 D． 2
2 2
试卷第 1页，共 4页
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8．如图，将边长为 1的正方形 ABCD沿对角线 BD折成直二面角，若点 P

BP 1
2
满足 BA
1
BC BD，则 BP 的值为
2 2
3 9
A． B．2 C D 10 2． ．
2 4 4
二、多选题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题有多项符合题目要求，全部选对
的得 5分，部分选对的得 2 分，有选错的的 0 分。
9．下列说法正确的是（ ）
A．点 P 1,2,3 关于 xoy平面对称的点的坐标是 P 1, 2,3 ；

B．若 a,b,c 为空间中一组基底，则 a b,a b,c 可构成空间另一组基底

ABC AD 1
1
C．在 中，若 AB AC，则点 D是边 BC的中点
2 2
1 OD OA 1

D．已知 A，B，C三点不共线，若 OB
1
OC，则 A，B，C，D四点一定共
2 3 4
面
10．已知直线 l : x y 4 0，圆O : x2 y 2 2，M是 l上一点，MA，MB分别是圆 O的切线，
则（ ）
A．直线 l与圆 O相切 B．圆 O上的点到直线 l的距离的最小值为 2
C．存在点 M，使 AMB 90 D．存在点 M，使 AMB为等边三角形
11．方程 x2 y2 2ax 2ay 0 表示的圆，则以下叙述不正确的是（ ）
A．关于直线 y x对称 B．关于直线 x y 0对称
C．其圆心在 x轴上，且过原点 D．其圆心在 y轴上，且过原点
12．在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 P在线段 BC1上运动，则（ ）
A． A1C DP B．三棱锥 A D1PC的体积为定值

C．直线 AP与平面 ABCD所成的角可以为
4
D．直线DP与直线 AD

1所成的角最小值为 3
试卷第 2页，共 4页
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三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．经过点 A 5,2 ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线 l为 ．
14．正方体 ABCD A1B1C1D1中，M ,N分别为棱 BB1和 B1C1的中点，则直线 AM 和CN 所成角的
余弦值为 .
15．若半径为 r 2，圆心为 0,1 的圆和定圆 x 1 y 2 2 1相切，则 r的值等于 .
16．在棱长为 1的正方体 ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为BD1， B1C1的中点，点 P在正方体
的表面上运动，且满足MP CN ．给出下列说法：
3
①点 P可以是棱 BB1的中点；②线段 MP的最大值为 ；4
③点 P的轨迹是正方形；④点 P轨迹的长度为 2 5 ．
其中所有正确说法的序号是 ．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．本小题满分 10分

（1）已知 a 1,2, y ，b x,1,2 ，且 a 2b // 2a b ，求 x， y的值；

（2）已知 A 2,0,0 ，B 0, 1,1 ，若OA OB与OB（O为坐标原点）的夹角为60 ，求 的
值.
18．本小题满分 12分
已知平面内两点M 2, 2 ,N 4,4 ．
（1）求MN的垂直平分线方程；
（2）直线 l经过点 A 3,0 ，且点M 和点 N到直线 l的距离相等，求直线 l的方程．
试卷第 3页，共 4页
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19．本小题满分 12分
圆C1 : x
2 y2 2x 6y 1 0和C2 : x
2 y2 10x 12y m 0 .
(1)m取何值时C1与C2内切？
(2)求m 45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
20．本小题满分 12分
如图，四棱锥 P ABCD中，底面为矩形， PD 平面 ABCD， E为 AB中点，F为 PD中点，
AB 2PD 2BC 2．
(1)证明： EF ∥平面 PBC；
(2)求点 E到面 PBC的距离
21．本小题满分 12分
已知圆的方程为 x2 y2 2x 4 y m 0.
（1）若圆与直线 x 2y 4 0相交于M 、N两点，且OM ON，(O为坐标原点)，求m的值；
（2）在（1）的条件下，求以MN为直径的圆的方程.
22．本小题满分 12分
已知矩形 ABCD中，AD 2 AB 4 ，AD的中点为M ，将 ABM 绕着 BM折起，折起后点A
记作 P点（不在平面 BCDM 内），连接 PC、PD得到几何体P BCDM， PBC为直角三角形.
(1)证明：平面PBM 平面 BCDM ；
(2)求平面PBC与平面 PCD所成角的正弦值.
试卷第 4页，共 4页
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濮阳市 2022 级高二上学期第二次质量检测
数学参考答案
一、单项选择题
1．A
【详解】 2x 2y 1 0 ，则斜率 k 1，设倾斜角是 ，0 ，即 tan 1，

所以
4
2．B

【详解】由题意可得 AB AD ,AB AA1 ,所以 a b,a c，所以 a b 0,a c 0，所以

a (b c) a b a c 0，
3．D
3x y 0 x 1
【详解】将直线方程变形为 k 3x y 2x 2 0，由 2x 2 0，解得 ，所以，直线 y 3
3k 2 x ky 2 0过定点 P 1,3 ，将圆的方程化为标准方程，即为 x 1 2 y 1 2 4 ，
1 1 2 3 1 2 4 2 2，所以，点 P在圆 x 1 y 1 4 上，
因此，直线 3k 2 x ky 2 0与圆 x2 y2 2x 2y 2 0相切或相交.
4．D
【详解】直线平行或重合，则 a(a 1) 2 0，即 a2 a 2 0，解得 a 1或 a 2，
当 a 1时，直线 l1 : x 2y 6 0，直线 l2 : x 2y 1 0，此时 l1//l2，
当 a 2，直线 l1 : x y 3 0 ，直线 l2 : x y 1 0，此时 l1//l2 .
5．B
【详解】由题知，在正四面体 A PBC中，因为 AQ 平面 PBC，所以Q是 PBC的中心，连

接 PQ，则 PQ
2 1
PB PC ，所以 PM PA AM 3 PA AQ3 2 4
答案第 1页，共 10页
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3 3 3 PA AP PQ PA PA PQ 1 PA 3 2 1 PB PC 1 PA 1 PB 1 PC .4 4 4 4 4 3 2 4 4 4
6．A
【详解】直线 l :mx y m 1 0，即 y 1 m x 1 ，其恒过定点C 1,1 ，
3
又直线 BC的斜率 k1 ，直线 AC的斜率 k4 2
4，
数形结合可知，要满足题意，直线 l的斜率 m k1，或 m k2 ，
3 3
即 m 或 m 4 ，解得m , 4, .4 4
7．C
【详解】由 x 1 (1 y)2 0可知， x2 (y 1)2 1，且 x 0，即曲线是以(0,1)为圆心，半径
为 1的半圆，
过曲线 x 1 (1 y) 2 上任一点作平行于直线 x y 2 0的直线 l，如
图所示：其中实线为直线 x y 2 0，虚线为直线 l，
曲线 x 1 (1 y) 2 上的点到直线 x y 2 0的距离可转化为直线 l
与直线 x y 2 0之间的距离，
结合图像易知，当直线 l过 (0,2)时，直线 l与直线 x y 2 0之间的距离最大，
即曲线 x 1 (1 y) 2 上的点到直线 x y 2 0的距离最大，易知此时直线 l的方程为：
| 0 2 2 |
x y 2 0，由平行线间的距离公式可得， a 2 22 ，1 ( 1)2
| 0 1 2 | 3 2
因为(0,1)到直线 x y 2 0的距离为 d ，
12 ( 1)2 2
所以曲线 x 1 (1 y) 2 上的点到直线 x y 2 0 3 2的距离的最小值为b d 1 1，
2
从而 a b 2 1 .
2
8．C
答案第 2页，共 10页
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【详解】取 BD的中点为O，连接OC ,OA，由正方形的性质可知：
OC BD,OA DB，所以 AOC为二面角 A BD C的平面角，由题
意可知： AOC 90 ，因为OC OA 2 ，所以
2
1 1 1
AC OA2 OB2 1 . BP BA BC BD CA BD，2 2 2
2 2 2
所以 BP
1 1 1 9
( CA BD)2 CA CA BD BD 0 12 12 .
2 4 4 4
二、多项选择题
9．BC
【详解】对于 A，点 P 1,2,3 关于 xoy平面对称的点的坐标是 P 1,2, 3 ，故 A错误；

对于 B，因为 a,b,c 为空间中一组基底，故 a,b,c不 共面，

若a b,a b,c共面，则存在不全为零的实数 p,q, r，

使得 p a b q a b rc 0，故 p q a p q b rc 0，
p q=0 p=0

故 p q=0

，故 q=0 ，矛盾，a b,a b,c不共面， a b,a b,c 可构成空间另一组基底，故

r 0 r 0
B正确；
1 AD AB 1

对于 C，由 AC可得
2 2 AD AB AC AD
即 BD DC，
故点 D是边 BC的中点，故 C正确；
1 + 1 + 1 13对于 D， 1，故 A，B，C，D四点一定不共面，故 D错误.
2 3 4 12
10．BD
= | 4|【详解】对于 A选项，圆心到直线的距离 = 2 2 > 2 = 2 2 ，所以直线和圆相离，故1 +1
A错误；
对于 B选项，圆 O上的点到直线 l的距离的最小值为 d r 2，故 B正确；
对于 C选项，当 OM⊥l时， AMB有最大值 60°，故 C错误；
答案第 3页，共 10页
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对于 D选项，当 OM⊥l时， AMB为等边三角形，故 D正确.
11．ACD
【详解】由题意知,方程 x2 y2 2ax 2ay 0 表示圆,则有 a 0
将方程进行配方可得 (x a)2 (y a)2 2a2 ,圆心坐标为 ( a,a)
对 A选项，圆心 ( a,a)不满足直线方程 y x ,故不关于直线 y x对称，所以 A不正确；
对 B选项，圆心 ( a,a)满足直线方程 x y 0 ,故关于直线 x y 0对称，所以 B正确；
对 C选项，由 a 0可知圆心 ( a,a)不可能在 x轴上所以 C不正确；
对 D选项，由 a 0可知圆心 ( a,a)不可能在 y轴上所以 D不正确.
故选：ACD.
12．ABD
【详解】对于 A，因为 A1C DB， A1C BC1，可得 A1C 平面DBC ，1
DP 平面DBC1，所以 A1C DP成立，故 A正确；
对于 B，由正方体知 ABC1D1为平行四边形，故 BC1∥AD1，
又 BC1 平面 ACD1，AD 平面 ACD1，则 BC1∥平面 ACD1，
所以直线 BC1上任意一点到平面 ACD1的距离都相等，
又由等体积法VA D1PC VP AD1C，且底面面积不变，
故三棱锥 A﹣D1PC的体积不变，故 B正确；
对于 C，如图，以D为原点建立空间直角坐标系，设正方体的边长为 1，

则 A 1,0,0 ,B 1,1,0 ,C1 0,1,1 ，设 P x, y, z ，由 BP BC1 0 1 得

P 1 ,1, ， AP ,1, ，又易知平面 ABCD的一个法向量为 n 0,0,1 ，
设直线 AP与平面 ABCD所成的角为 ，则
答案第 4页，共 10页
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AP n
sin 1
AP n 2 2 1 2 1
，
2
f 2 1因为 在 0,12 上递减，
sin 1 1 1 1 2
所以
2 1 2 1 3 2
2 ，所以 ，故 C错误；
2 2 4 1
对于 D，由 A中的求解过程可知，BC1∥AD1，
所以直线DP与直线 AD1所成的角即 BC1和 DP所成的角，

当点 P与点 B或 C1重合时，所成的角最小值为 ，故 D正确；3
故选：ABD．
三、填空题
13．2x 5y 0或 x y 7 0
2
【详解】依题意，当直线 l过原点时，直线 l在两坐标轴上的截距相等，方程为 y x，即
5
2x 5y 0 x y 5 2；当直线不 l不过原点时，设直线 l的方程为 1，于是 1，解得a 7，
a a a a
方程为 x y 7 0，所以直线 l的方程为2x 5y 0或 x y 7 0 .
2
14． /0.4
5
【详解】如图，以 D为坐标原点建立空间直角坐标系，设 AD 2，则
A 2,0,0 ,C 0,2,0 ,M 2,2,1 ,N 1,2,2 ，
AM CN 2
∴ AM 0,2,1 ,CN 1,0,2 ，则 cos AM ,CN AM CN 5，
2
故直线 AM 和CN 所成角的余弦值为
5
15． 2 1或 2 1
答案第 5页，共 10页
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【详解】因为定圆 x 1 2 y 2 2 1的圆心为 1,2 ，半径为1，
且所求圆与定圆相切，即两圆外切或内切，
所以 0 1 2 1 2 2 r 1或 0 1 2 1 2 2 r 1 ，
解得 r 2 1或 r 2 1（负值舍去）.
16．②④
【详解】解：在正方体 ABCD A1B1C1D1中，以 D为坐标原点，DC1为 x轴，y轴，∵该正方体
的棱长为 1，M，N分别为BD1， B1C1的中点，
D 0,0,0 M 1 , 1 , 1 N 1

∴ ， ， ,1,1

，C 0,1,0
1
，∴CN , 0,1

2 2 2 2 2
，


设 P x, y, z ，则MP x 1 , y
1 1
, z
2 2 2
，

1 1 1 1 3
∵MP CN ，∴
2
x z 0，即 2x 4z 3 0 当 x 1时， z ，当 x 0时， z ，
2 2 4 4
取 E 1,0,
1
， F 1,1,
1 3
，G 0,1, ，H 0,0,
3
，连结 EF，FG，GH，HE，
4 4 4 4

则 EF HG 0,1,0 ， EH FG 1 1,0, ，∴四边形 EFGH为矩形，则2 EF CN 0，

EH CN 0，即 EF CN，EH CN，又 EF 和 EH 为平面 EFGH 中的两条相交直线，

EM 1 , 1 , 1 MG 1 , 1 , 1∴CN 平面 EFGH，又 ， ，
2 2 4 2 2 4
∴M为 EG的中点，则M 平面 EFGH，为使MP CN ，必有点 P 平面 EFGH，
又点 P在正方体表面上运动，∴点 P的轨迹为四边形 EFGH，因此点 P不可能是棱 BB1的中点，
5
故选项①错误；又 EF GH 1， EH FG ，
2
∴ EF EH ，则点 P 5的轨迹不是正方形且矩形 EFGH周长为 2 2 2 5，
2
故选项③错误，选项④正确；
1
∵CN , 0,1 ，MP
1 1 1
2
x , y , z ，
2 2 2
答案第 6页，共 10页
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1 x 1 z 1又MP CN ，则 0，即 2x 4z 3 0，2 2 2
3
∴ x 2z，点 P在正方体表面运动，
2
3 1 3
则0 2z 1，解 z ，
2 4 4
2 2 2 2 2
∴MP x
1


y
1 1 1 1 z 5 z y
2 2 2
，
2 2
故当 z
1
或 z
3
， y 0
3
或 1，MP取得最大值为 ，故②正确.
4 4 4
故答案为：②④．
四、解答题

17．【详解】（1）因为a 1,2, y ，b x,1,2 ，所以 a 2b 1 2x, 4, 4 y ，

2a b 2 x,3, 2 2y ，因为 a 2b // 2a b ，
1 2x 4 4 y 1
所以 ，解得 x , y 4，所以 x
1
, y 4
2 x 3 2 2 y ；................................5分 2 2
（2）因为 A 2,0,0 ，B 0, 1,1 ，所以OA OB 2, , ，OB 0, 1,1 ，
所以 OA OB OB 2 ，因为OA OB与OB的夹角为60 ，
COS60 OA OB OB 2 1所以 2 2 2 ，OA OB OB 4 2
因为 0,解得 6 ......................................................................................................10分
3
4 2
18 ．【详解】（1）易求得MN中点坐标为 3，1 ．又 kMN 3，4 2
1
所以MN的中垂线的斜率为 ，
3
1
MN的中垂线的方程为 y 1 x 3 即 x 3y 6 0．.............................................6分
3
（2）由（1）知， kMN 3，所以直线 l的方程为3x y 9 0，
直线 l经过点 3,0 3,1 得 x 3，综上： l为 x 3和3x y 9 0 ....................................12分
答案第 7页，共 10页
{#{QQABAYoEogioABJAABgCAQE4CAGQkAGCAIoOwBAIoAAAQAFABCA=}#}
19 2 2．【详解】（1）因为两圆的标准方程为：C1 : x y 2x 6y 1 0，
C2 : x
2 y2 10x 12y m 0所以圆心分别为C1 1,3 C2 5,6 ，
半径分别为 r1 11和 r2 61 m
当两圆内切时，因定圆的半径 11 2 2小于两圆圆心间距离C1C2 1 5 3 6 5 ，
故有 61 m 11 5，解得m 25 10 11 .......................................................................6分
（2）由题可得两圆的公共弦所在直线方程为
x2 y2 2x 6y 1 x2 y2 10x 12y 45 0
整理得 4x 3y 23 0，
2
2 4 1 3 3 23 所以公共弦长为 2 11 2 7 .......................................................12分
42 32
1
20．（1）取 PC的中点 G，因为 F为 PD中点，所以 FG∥DC，FG DC，
2
1
因为 E为 AB中点，所以 BE AB，
2
因为 AB∥DC， AB DC，所以 BE∥ FG， BE FG，
所以四边形 BEFG为平行四边形，所以 EF ∥ BG，
因为 EF 平面 PBC， BG 平面 PBC，所以 EF ∥平面 PBC；..................................5分
（2）因为 PD 平面 ABCD， AD,DC 平面 ABCD，所以 PD AD,PD DC，
因为四边形 ABCD为矩形，所以 AD DC，所以 PD, AD,DC两两垂直，
所以以点D为坐标原点，以DA,DC,DP所在直线分别为 x, y, z轴建立空间直角坐标系，
则D(0,0,0), A(1,0,0),B(1, 2,0),C(0, 2,0),P(0,0,1)，
1
因为 E为 AB中点，F为 PD中点，所以 E(1,1,0),F 0,0, 2
，


所以CB 1,0,0 ,PC 0,2, 1 ， EB (0,1,0)，

设平面 PBC的法向量为m (x, y, z)，则
答案第 8页，共 10页
{#{QQABAYoEogioABJAABgCAQE4CAGQkAGCAIoOwBAIoAAAQAFABCA=}#}

m·CB x 0
，令 y 1，则m (0,1, 2)，所以点 E到平面PBC的距离为
m·PC 2y z 0

EB m
d 1 5 .................................................................................................12分
m 1 4 5
21．【详解】(1)由 x2 y2 2x 4 y m 0得 (x 1)2 (y 2)2 5 m，由5 m 0可得m 5，
x 2y 4 0
∴由题意联立 2 得：5y2 16y 8 m 0 ，
x y
2 2x 4y m 0
设M (x1，y ) N (x
16 8 m
1 、 2，y2 )，根据韦达定理得 y1 y2 ， y1 y2 ，5 5
∵OM ON，∴ x1 x2 y1 y2 0，又 x 2y 4，
∴ x1 x2 y1 y2 0，∴5y1 y2 8(y1 y2) 16 0 ，
8 m 8 16 16 0 m 8 m 8 ，解得 ，符合m 5，所以 。........................................6分
5 5 5
(2)设圆心为 (a，b)
y y 8 4
，则b 1 2 ， a 4 2b ，
2 5 5
8 8
半径 r 1 1 ( 2)2 y1 y
1
2 5 (
16)2 4 5 4 5 ，
2 2 5 5 5
4
∴圆的方程 (x )2 (y
8 16
)2 ...........................................................................................12分
5 5 5
22．【详解】（1）证明：如图，连接MC，连接 AC交 BM于点 E，
则 PE AE，翻折前 AB AM ，翻折后，则有 PB PM ，
由于 PBC为直角三角形，且 PB AB 2 AC ，
PC PE CE AE CE AC，因此必有 PB PC，
又因为PM PC P ， PM、 PC 平面 PMC，则 PB 面 PMC，
因为MC 平面 PMC，从而可得 PB MC，
又因MC MB 2 2，BC 4，则MC 2 MB2 BC 2，所以，MC MB .又因 BP BM B，BP、
BM 平面 PBM ，即MC 面 PBM ，
答案第 9页，共 10页
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因为MC 平面 BCDM ，因此，面 PBM 面 BCDM ...............................................................5分
（2）解：如图，取 BC中点为 N， BM中点为O，连接ON，
由（1）可知，平面 PBM 平面 BCDM ，
因为 PB PM ，O为 BM的中点，则 PO BM ，
因为平面 PBM 平面 BCDM BM ， PO 平面 PBM ，所以，PO 面BCDM ，
因为O、 N分别为 BM、 BC的中点，则ON //MC，因为MC MB，则ON MB，

以点O为坐标原点，分别以OB、ON、OP方向为 x、 y、 z轴的正方向建立如图所示的空间
直角坐标系.
则 B 2,0,0 、 P 0,0, 2 、D 2 2, 2,0 、C 2, 2 2,0 ，

得 BC 2 2, 2 2,0 ， BP 2,0, 2 ，CD 2, 2,0 ，

CP 2, 2 2, 2 ，

n1 BC 0 2 2x 2 2 y 0
设平面 PBC的一个法向量为 n1 x1 , y1 , z
1 1
1 ，由 ，则 ，
n1 BP 0 2x1 2z1 0

取 x1 1，则 y1 1， z1 1，得到 n1 1,1,1 ，设平面 PCD的法向量为 n2 x2 , y2 ,z2 ，

n2 CD 2x2 2y2 0
则 ，取 x2 1，则 y2 1， z2 3，则 n2 1, 1, 3 ，
n2 CP 2x2 2 2y2 2z2 0

cos n n1 n2 3 3则 1 ,n2 3 11 11，从而n1 n2
22
sin n1, n2 1 cos n1, n2 3 2 22 1 ，
11 11
也即平面 PBC 2 22与平面 PCD所成夹角的正弦值为 .......................................................12分
11
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