湘 教版数学九年级下册 2.2.2 圆周角 课件 (共18张PPT)

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第二章 圆
2.2.2 圆周角2
复习导入
圆周角定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．
在同圆（或等圆）中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．
探究新知
AB 是⊙O 的直径， 那么∠C1，∠C2，∠C3 的度数分别是多少呢？
因为圆周角∠C1，∠C2，∠C3 所对弧上的圆心角是∠AOB，只要知道∠AOB的度数，利用圆周角定理，就可以求出∠C1，∠C2，∠C3的度数.
探究点一 直径所对的圆周角的性质．
探究新知
AB 是⊙O 的直径， 那么∠C1，∠C2，∠C3 的度数分别是多少呢？
因为A，O，B 在一条直线上， 所以圆心角∠AOB 是一个平角，
即∠AOB = 180°. 故∠C1 ＝∠C2 ＝∠C3 ＝ × 180°= 90°.
如图，A，B，C为圆周上三点，若已知∠C=90°，它所对的弦AB是不是直径？
探究新知
因为圆周角∠ACB所对弧上的圆心角是∠AOB， ∠ACB =90 ，利用圆周角定理，求可以求出∠AOB =180 ．所以弦AB经过圆心O ．
知识要点
直径所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径.
一般地，若题目中的已知条件有直径，那么往往作出直径所对的圆周角；如果需要直角或证明垂直，那么往往作出直径即可解决问题.
典例精析
例1 如图，BC 是⊙O 的直径，∠ABC = 60°，点 D 在⊙O 上，求∠ADB 的度数.
解 ∵ BC为直径，
∴ ∠BAC = 90°.
又∠ABC = 60°，
∴ ∠C = 30°.
∴ ∠ADB =∠C = 30°.
又∵ ∠ADB与∠C都是AB所对的圆周角，
当堂练习
1.如图，⊙O的直径AB=10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平分线交⊙0于D,求BC,AD,BD的长
解 ∵ AB为直径，
∴ ∠ACB =∠ADB=90°.
又CD平分∠ACB
∴ ∠ACD =∠BCD
∴ AD =BD = cm.
∴ AD =BD
∴ BC = =8cm
探究新知
如图，A，B，C，D是⊙O 上的四点，顺次连接 A，B，C，D 四点， 得到四边形 ABCD，我们把四边形ABCD 称为圆内接四边形.
这个圆叫作这个四边形的外接圆.
探究新知
在四边形 ABCD 中，两组对角∠A 与∠C，∠B 与∠D 有什么关系？
连接 OB，OD，
∴ ∠A + ∠C = × 360°= 180°
∵ ∠A 所对的弧为BCD ， ∠C 所对的弧为BAD，
又 BCD与BAD所对的圆心角之和是周角，
知识要点
由此可得到以下结论：
圆内接四边形的对角互补．
几何语言：
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+ ∠ C=180°，∠B+ ∠ D=180°．
如果延长BC到E，那么∠A与∠DCE会有怎样的关系呢？
证明猜想：
∵∠DCE+∠BDC=180°，
又∠A+∠BCD=180°，
∴∠A=∠DCE．
我们把∠A叫做∠DCE的内对角．因为∠A是与∠DCE相邻的内角∠DCB的对角．
圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．
探究新知
圆内接四边形定理：
圆的内接四边形的对角互补，并且任意一个外角等于它的内对角．
几何语言：
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°，∠B+∠ADC=180°，
∴∠B=∠CDE．
知识要点
典例精析
例2 如图，四边形ABCD 为 ⊙O 的内接四边形，已知∠BOD 为 100°，求∠BAD 及∠BCD 的度数.
解 ∵ 圆心角∠BOD与圆周角∠BAD所对的弧为BD，
∠BOD = 100°,
∴ ∠BAD = ∠BOD =×100°= 50°.
∵ ∠BCD +∠BAD = 180°，
∴ ∠BCD = 180°-∠BAD = 180°- 50°＝ 130°.
当堂练习
2. 如图, AB 是☉O 的直径 , C , D 是☉O 上位于 AB 异侧的两点．下列四个角中, 一定与∠ACD 互余的是（ ）
A. ∠ADC B. ∠ABD
C. ∠BAC D. ∠BAD
D
3. 如图,四边形 ABCD 内接于☉O, AB 经过圆心,∠B＝ 3∠BAC , 则∠ADC 等于（ ）
A. 100° B. 112.5°
C. 120° D. 135°
B
当堂练习
∴ ∠A+∠D = 180°，
∠A+∠B = 180°
∴∠B = ∠D
解 ∵ AB∥DC,AD∥BC
∴∠B+∠D = 180°
∴∠B = ∠D=90°
4.如图，四边形ABCD内接于⊙O,且AB∥DC,AD∥BC,求证：四边形ABCD是矩形
∵四边形ABCD内接于⊙O
∴四边形ABCD是矩形
能力提升
课堂小结
直径所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径.
圆的内接四边形的对角互补，并且任意一个外角等于它的内对角．