2023—2024学年苏科版九年级数学上册 第2章对称图形——圆单元达标测试卷 （含解析）

苏科版九年级数学上册第2章对称图形——圆单元达标测试卷
一、单选题
1．圆内接四边形 中，已知 ，则 的对角 （　　）
A． B． C． D．
2．如图，⊙O的直径CD⊥AB，∠AOC=50°，则∠CDB大小为（　　）
A．25° B．30° C．40° D．50°
3．下列说法中，正确的是（　　）
A．90°的圆周角所对的弦是直径
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
C．经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线
D．长度相等的弧是等弧
4．如图，A，B，C是 上的三点， ，则 的度数为（　　）
A．100° B．110° C．125° D．130°
5．如图，OA、OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，连接AC、BC，若∠A=20°，∠B=70°，则∠ACB的度数为（　　）
A．50° B．55° C．60° D．65°
6．若用半径为9，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是（　　）．
A．1.5 B．2 C．3 D．6
7．下列说法正确的有（　　）
①半径相等的两个圆是等圆；②半径相等的两个半圆是等弧；
③过圆心的线段是直径；④分别在两个等圆上的两条弧是等弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若弧CE的度数是92°，则∠C的度数是（　　）
A．46° B．88° C．24° D．23°
9．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．如果∠A=34°，那么∠C等于（　　）
A．28° B．33° C．34° D．56°
10．如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C．2 D．
二、填空题
11．如图， 是 的直径， 是 上的点，过点 作 的切线交 的延长线于点 .若∠A=32°，则 　 　度．
12．如图，在⊙O中，=，∠C=75°，则∠A=　 　 °．
13．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是　 　．
14．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A、B、C三点的坐标为（ ，0）、（3 ，0）、（0，5），点D在第一象限，且∠ADB=60°，则线段CD的长的最小值为　 　．
三、解答题
15．图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E．
（Ⅰ）求证：MD=ME；
（Ⅱ）如图2，连OD，OE，当∠C=30°时，求证：四边形ODME是菱形．
16．如图，在平行四边形ABCD中，∠B，∠D的平分线分别交对边于点E，F，交四边形的对角线AC于点G，H．求证：AH=CG．
17．如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，C为中点，D为拱门最高点，圆心O在线段上，分米，求拱门所在圆的半径．
18．如图， 是 的内接正五边形．求证： .
四、综合题
19．如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点D，E为 的中点，连接 .
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求 的长.
20．如图， 是半圆 的直径， 是半圆 上不同于 的两点， 平分 ， 与 相交于点 ，延长 到点 ，使 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求 的半径．
21．如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E．
（1）求线段DE的长；
（2）点O到AB的距离为3，求圆O的半径．
22．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE=ED；
（2）若AB=10，∠CBD=36°，求 的长．
23．如图，以四边形的对角线为直径作圆，圆心为，过点作的延长线于点，已知平分．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径和的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形 是圆的内接四边形， ，
∴ 180°-80°=100°.
故答案为：D.
【分析】根据圆内接四边形对角互补进行解答即可.
2．【答案】A
【解析】【解答】由垂径定理，得： ；∴∠CDB= ∠AOC=25°；故答案为：A.
【分析】根据垂径定理可得，利用圆周角定理可得∠CDB=∠AOC，从而求出结论.
3．【答案】A
【解析】【解答】 、根据圆周角定理得： 的圆周角所对的弦是直径，故符合题意；
、
如图1，符合条件，当 和 不垂直，故不符合题意；
、
如图2， ， 过半径 端点 ，但是 不是圆的切线，故不符合题意；
、
如图3，弧 和弧 长度相等，但是弧 和弧 不是等弧，故不符合题意.
故答案为： .
【分析】根据圆周角定理和垂径定理即可判断求解.
4．【答案】A
【解析】【解答】解： 所对的圆心角为 ，所对的圆周角为 ， ，
，
故答案为： ．
【分析】根据圆周角的性质：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解即可。
5．【答案】A
【解析】【解答】连接OC，∵OA=OC，∴∠OCA=∠A=20°，∵OC=OB，∴∠OCB=∠B=70°，∴∠ACB=∠OCB-∠OCA=70°-20°=50°，
故答案为：A.
【分析】连接OC，根据OA=OC，得出∠OCA=∠A=20°，再根据OC=OB，得出∠OCB=∠B=70°，即可求出∠ACB=∠OCB-∠OCA=50°.
6．【答案】C
【解析】【分析】本题考查圆锥的侧面展开图．根据图形可知，圆锥的侧面展开图为扇形，且其弧长等于圆锥底面圆的周长．
【解答】设这个圆锥的底面半径是R，则有，解得：R=3．
故选C．
【点评】主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
7．【答案】B
【解析】【解答】解：①半径相等的两个圆是等圆，正确；
②半径相等的两个半圆是等弧，正确；
③过圆心的线段是直径，错误；
④分别在两个等圆上的两条弧是等弧，错误．
故选B．
【分析】利用圆的有关性质及定义分别判断后即可确定正确的选项．
8．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接OE，
∵弧CE的度数是92°，
∴∠COE＝92°，
∴∠CDE＝∠COE＝46°，
∵OADE，
∴∠AOD＝∠CDE＝46°，
∴∠C＝∠AOD＝23°，
故答案为：D．
【分析】连接OE，先利用圆周角的性质求出∠CDE＝∠COE＝46°，再利用OA//DE，可得∠AOD＝∠CDE＝46°，再利用圆周角的性质可得∠C＝∠AOD＝23°。
9．【答案】A
【解析】【解答】解：连结OB，
∵AB与O相切
∴OB⊥AB
∴∠ABO=90°
∴∠AOB=90° ∠A=90° 34°=56°
∵弧BD=弧BD
∴∠C=∠AOB
∴∠C=×56°=28°
故答案为：A
【分析】由切线的性质及三角形内角和定理，求出∠AOB的度数，再根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，就可求出∠C的度数。
10．【答案】A
【解析】【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，
∴△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2，
设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，
∴OG=OA sin60°=2× = ，
∴S阴影=S△OAB﹣S扇形OMN= ×2× ﹣ = ﹣ ．
故选A．
【分析】由于六边形ABCDEF是正六边形，所以∠AOB=60°，故△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2，设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，OG=OA sin60°，再根据S阴影=S△OAB﹣S扇形OMN，进而可得出结论．本题考查的是正多边形和圆，根据正六边形的性质求出△OAB是等边三角形是解答此题的关键．
11．【答案】26
【解析】【解答】解：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A=32°，
∴∠DOC=2∠A=64°，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
∴∠D=90° ∠DOC=90° 64°=26°
故答案为：26.
【分析】连接OC，由切线的性质可得∠OCD=90°，则∠D=90° ∠DOC，即只需要求出∠DOC即可，而∠DOC是△AOC的外角，且∠OCA=∠A，则∠DOC=2∠A．
12．【答案】30
【解析】【解答】解：∵在⊙O中，=，
∴AB=AC，
∵∠C=75°，
∴∠B=∠C=75°，
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=30°．
故答案为：30．
【分析】由在⊙O中，=，可得AB=AC，又由∠C=75°，根据等腰三角形的性质，即可求得答案．
13．【答案】120°
【解析】【解答】解：∵∠BCD＝120°，
∴∠A =180°- ∠BCD =60°，
∴∠BOD=2∠A=120°.
故答案为120°.
【分析】先求出∠A =180°- ∠BCD =60°，再计算求解即可。
14．【答案】2 ﹣2
【解析】【解答】解：作圆，使∠ADB=60°，设圆心为P，连结PA、PB、PC，PE⊥AB于E，如图所示：
∵A（ ，0）、B（3 ，0），
∴E（2 ，0）
又∠ADB=60°，
∴∠APB=120°，
∴PE=1，PA=2PE=2，
∴P（2 ，1），
∵C（0，5），
∴PC= =2 ，
又∵PD=PA=2，
∴只有点D在线段PC上时，CD最短（点D在别的位置时构成△CDP）
∴CD最小值为：2 ﹣2．
故答案为：2 ﹣2．
【分析】根据题意作圆，使∠ADB=60°，设圆心为P，连结PA、PB、PC，PE⊥AB于E，由A（ ，0）、B（3 ，0），得到E（2 ，0），又∠ADB=60°，得到∠APB=120°，PE=1，PA=2PE=2，P（2 ，1），由C（0，5），得到PC= 2，又PD=PA=2，所以只有点D在线段PC上时，CD最短（点D在别的位置时构成△CDP），所以CD最小值为：2 ﹣2．
15．【答案】解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，点M是AC的中点，
∴MA=MB，
∴∠A=∠MBA；
∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠ADE+∠ABE=180°，
而∠ADE+∠MDE=180°，
∴∠MDE=∠MBA；
同理可得∠MED=∠A，
∴∠MDE=∠MED，
∴MD=ME；
（Ⅱ）∵∠C=30°，
∴∠A=60°，
∴∠ABM=60°，
∴△OAD和△OBE为等边三角形，
∴∠BOE=60°，
∴∠BOE=∠A，
∴OE∥AC，
同理可得OD∥BM，
∴四边形DOEM为平行四边形，
而OD=OE，
∴四边形ODME是菱形．
【解析】【分析】（Ⅰ）利用直角三角形斜边上的中线性质得MA=MB，则∠A=∠MBA，再利用圆内接四边形的性质证明∠MDE=∠MED，于是得到MD=ME；（Ⅱ）先证明△OAD和△OBE为等边三角形，再证明四边形DOEM为平行四边形，然后加上OD=OE可判断四边形ODME是菱形．
16．【答案】证明：∵ABCD为平行四边形，BE、DF分别为角平分线，
∴AD=CB，∠DAH=∠BCG，∠CBG=∠ADH．
∴△ADH≌△CBG．（ASA）
∴AH=CG．（全等三角形的对应边相等）．
【解析】【分析】先根据平行四边形的性质，利用ASA判定△ADH≌△CBG；再根据全等三角形的对应边相等，从而得到AH=CG．
17．【答案】解：连接
过圆心，C为中点，
，
为中点，
，
设半径为分米，则，
，
，
在中， ，
，
．
拱门所在圆的半径是15分米．
【解析】【分析】连接AO，利用垂径定理求出，设半径为分米，则，再利用勾股定理可得，最后求出x的值即可。
18．【答案】证明：∵ 是正五边形，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】根据正五边形的性质求出 ，根据三角形的内角和定理，可得∠CBD的度数，进而可得出∠ABD的度数，然后根据同旁内角互补，两直线平行可证得结论．
19．【答案】（1）证明：连接OD．
∵AE=EC，OB=OC，
∴OE∥AB，
∵CD⊥AB，
∴OE⊥CD，
∵OD=OC，
∴∠DOE=∠COE，
在△EOD和△EOC中，
，
∴△EOD≌△EOC（SAS），
∴∠EDO=∠ECO=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵∠ACB=90°，
∵AB=2BC=8，
∴∠ABC=60°，BO=2，
∵OD=OB，
∴∠DOB=60°，
∴弧BD的长= π．
【解析】【分析】（1）欲证明DE是切线，只要证明OD⊥DE即可；（2）连接OD，求出圆心角∠DOB，根据弧长公式，即可解决问题．
20．【答案】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵CE＝CF，
∴BE＝BF，
∴∠E＝∠BFE，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∵∠DAF+∠AFD＝90°，
∴∠BAF+∠E＝90°，
∴BE是半圆O所在圆的切线；
（2）解：∵∠DAF＝∠BAF，
∴
∵BC＝AD，
∴
∴
∴∠CAB＝30°，
∴AB＝2BC＝12，
∴⊙O的半径为6．
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得出 ∠ACB＝∠ADB＝90°， 根据已知条件即可得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质得出 ∠DAF＝∠BAF， 角平分线的定义得出 ，得出 ∠CAB＝30°， 即可得出结论。
21．【答案】（1）解：∵OD经过圆心O，OD⊥AC，
∴AD=DC，
同理：CE=EB，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE= AB，
∵AB=8，
∴DE=4
（2）解：过点O作OH⊥AB，垂足为点H，则OH=3，连接OA，
∵OH经过圆心O，
∴AH=BH= AB，
∵AB=8，
∴AH=4，
在Rt△AHO中，AH2+OH2=AO2，
∴AO=5，即圆O的半径为5．
【解析】【分析】（1）根据垂径定理，可知，AD=DC，CE=EB，即，DE是△ABC的中位线，由三角形中位线的性质，即可求解；
（2）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，则OH=3，连接OA，根据垂径定理，可知，AH=4，在Rt△AHO中，利用勾股定理，即可求解.
22．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO=∠ADB=90°，
即OC⊥AD，
∴AE=ED；
（2）解：∵OC⊥AD，
∴ ，
∴∠ABC=∠CBD=36°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，
∴ ．
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得出 ∠ADB=90°， 根据二直线平行同位角相等得出 ∠AEO=∠ADB=90°， 根据垂径定理即可得出 AE=ED；
（2） 根据垂径定理即可得出 ， 根据等弧所对的圆周角相等得出 ∠ABC=∠CBD=36°， 再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半一半算出 ∠AOC 的度数，最后根据弧长计算公式l=即可算出答案。
23．【答案】（1）证明：如图，连接，
，
．
平分，
，
又，
，
，
，
是切线；
（2）解：如图，取中点，连接，
于点．
四边形是矩形，
，
．
在中，，
，
在中，，，
，
的长是．
【解析】【分析】（1）连接OA，由余角的性质可得∠DAE+∠ADE=90°，根据角平分线的概念可得∠ADE=∠ADO，由等腰三角形的性质可得∠OAD=∠ADO，则∠DAE+∠OAD=90°，进而推出OA⊥AE，据此证明；
（2）取CD的中点F，连接OF，则四边形AEFO是矩形，由垂径定理可得DF=FC=4，利用勾股定理可得OD的值，根据线段的和差关系可得ED=EF-DF=OA-DF=OD-DF=2，再利用勾股定理就可求出AD的长.