第一章全等三角形单元达标综合练习题2023-2024学年苏科版八年级数学上册（含解析）

苏科版八年级数学上册第一章全等三角形单元达标综合练习题
一、单选题
1．下列所给条件中，能画出唯一的的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，小颖按下面方法用尺规作角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别截取OC，OD，使OC＝OD．再分别以点C，D为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，作射线OP，则射线OP就是∠AOB的平分线．其作图原理是：△OCP≌△ODP，这样就有∠AOP＝∠BOP，那么判定这两个三角形全等的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
3．如图，已知∠1＝∠2，要说明△ABD≌△ACD，还需从下列条件中选一个，不正确的选法是（　　）
A．∠ADB＝∠ADC B．∠B＝∠C
C．DB＝DC D．AB＝AC
4．下列条件中，能判定 的是（　　）
A． , , B． , ,
C． , , D． , ,
5．如图，△ABC经过平移后得到△DEF，下列说法错误的是（　　）
A．AB∥DE B．∠ACB＝∠DFE
C．AD＝BE D．∠ABC＝∠CBE
6．如图，已知△ABC≌△ADE，∠D=55°，∠AED=76°，则∠C的大小是（　　）
A．50° B．60° C．76° D．55°
7．如图所示，已知AB=CD，AD=CB，AC、BD相交于O，则图中全等三角形有（　　）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
8．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（　　）
A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE
C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED
9．如图，将沿翻折，点落在上的点处，连接，若，，则为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在△ACD中，AB⊥CD于B，BD＞BC，E在AB上，AB＝BD，BC＝BE，下列结论：①△ABC≌△DBE；②△ACB≌△ABD；③△CBE≌△BED；④△ACE≌△ADE．其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．① D．②③④
二、填空题
11．已知 ，若 的周长为32， AB=8， BC=12，则FD的长为　 　.
12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝14cm，点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点，点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点，点P和Q分别以2cm/s和3cm/s的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设运动时间为t秒，要使以点P，E，C为顶点的三角形与以点Q，F，C为顶点的三角形全等，则t的值为 　 　．
13．如图，FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，下列条件：①OF是∠AOB的平分线；②DF=EF；③DO=EO；④∠OFD=∠OFE．其中能够证明△DOF≌△EOF的条件的个数有　 　个．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB＝3 cm，则△DEB的周长为　 　cm.
三、解答题
15．已知：在 和 中， ， ．如图，若 ，试探究 与 的关系，并说明理由
16．如图，在中，，是边上的两点，有下面四个关系式：①，，③，④．
请用其中两个作为已知条件，余下两个作为求证的结论，写出你的已知和求证，并证明．
已知：
求证：
证明：
17．如图，点 C，F，E，B 在一条直线上， CFD = BEA ， CE = BF，DF = AE ．
（1）求证：DF∥AE；
（2）写出 CD 与 AB 之间的关系，并证明你的结论．
18．已知：如图， ， ， 分别平分 和 ，点E在 上．用等式表示线段 、 、 三者之间的数量关系，并证明．
四、综合题
19．如图，，，垂足分别为点D，E，相交于点O，.求证：
（1）；
（2）.
20．已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过点A的一条直线,且BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.
（1）当直线AE处于如图①的位置时,有BD=DE+CE,请说明理由；
（2）当直线AE处于如图②的位置时,则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由；
（3）归纳(1)、(2),请用简洁的语言表达BD、DE、CE之间的关系.
21．如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，.
（1）求证：；
（2）若，，求的长度.
22．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在斜边AB上，且AD=AC，过点B作BE⊥CD交直线CD于点E．
（1）求∠BCD的度数；
（2）求证：CD=2BE．
23．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．点D是直线AB上一点（点D与点A、B不重合），以CD为直角边作等腰直角三角形DCE，使∠DCE＝90°，连结AE．
（1）如图①，当点D在线段AB上，点E与点A在CD同侧．求证：AE＝BD；
（2）如图②，当点D在AB的延长线上，点E与点A在CD同侧．若AE＝1，AB＝4，则AD＝　 　；
（3）如图③，当点D在BA的延长线上，点E与点A在CD的两侧时，直接写出线段AB、AD、AE三者之间的数量关系：　 　．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：A、，不符合三角形三边关系定理，即不能画出三角形，故本选项不符合题意；
B、，根据能画出唯一，故此选项符合题意；
C、，不能根据条件画出唯一三角形，故本选项不符合题意；
D、，不能根据条件画出唯一三角形，故本选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据三角形三边关系可判断A；根据全等三角形的判定方法ASA可判断B；能画出唯一三角形至少需要三个条件，据此判断C，给出的三个条件是SSA，不能判断两个三角形全等，故画出的三角形不唯一，据此判断D.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：由作图可知OC＝OD，CP＝DP，
在△POC和△POD中，
，
∴△POC≌△POD（SSS），
∴∠POC＝∠POD，即线OP就是∠AOB的平分线．
故答案为：D.
【分析】由作图可知OC＝OD，CP＝DP，由图形可得OP=OP，利用SSS证明△POC≌△POD，得到∠POC＝∠POD，据此解答.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：A、加∠ADB＝∠ADC，∵∠1＝∠2，AD＝AD，∠ADB＝∠ADC，∴△ABD≌△ACD（ASA），是正确选法；
B、加∠B＝∠C∵∠1＝∠2，AD＝AD，∠B＝∠C，∴△ABD≌△ACD（AAS），是正确选法；
C、加DB＝DC，满足SSA，不能得出△ABD≌△ACD，是错误选法；
D、加AB＝AC，∵∠1＝∠2，AD＝AD，AB＝AC，∴△ABD≌△ACD（SAS），是正确选法．
故答案为：C．
【分析】先找出已知条件，利用三角全等的判定方法对选项逐一验证，找出错误选项。
4．【答案】D
【解析】【解答】解：如图所示：
A、没有边的参与，不能判定△ABC≌△DEF，故本选项错误；
B、根据SSA不能判定△ABC≌△DEF，故本选项错误；
C、AC为∠B的对边，DE为∠D和∠E的夹边，所以AC和DE不是对应边，不能判定△ABC≌△DEF，故本选项错误；
D、由全等三角形的判定定理HL可以证得△ABC≌△DEF,故本选项正确.
故答案为：D.
【分析】画出图形，根据已知条件在图中找出选项中给出的对应边和对应角之间的位置关系，根据全等三角形的判定定理进行判断.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：∵△ABC经过平移后得到△DEF，
∴AB∥DE，AD＝BE，△ABC≌△DEF，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠DFE，∠ABC＝∠DEF．
故答案为：D．
【分析】本题考查的是平移的性质，平移前后图形为全等图形，对应线段平行或共线，连接对应点的线段平行或共线，且长度相等，根据平移的性质逐项判断即可.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠C=∠AED=76°；
故选：C
【分析】由全等三角形的性质得出对应角相等∠C=∠AED=76°，即可得出结论．
7．【答案】C
【解析】【解答】因为AB=CD，AD=CB，根据SSS可以判定三角形ABD与三角形CDB全等，三角形ABC与三角形CDA，根据平行四边形的性质可得：AO=CO，BO=DO，再利用SSS可以判定三角形AOD和三角形COB全等，三角形AOB和三角形COD全等，共4对，故答案为：C
【分析】BD和AC是公共边，由已知条件用边边边可得，；根据平行四边形的性质可得AO=CO，BO=DO，于是用边边边可证；。
8．【答案】B
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项不符合题意，B选项符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．
9．【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠BC'D=120°，
∴∠AC'D=180°-∠BC'D=60°，
由折叠得∠C=∠AC'D=60°，
在△ABC中，∠B=40°，∠C=60°，
∴∠BAC=80°，
∴∠DAC=∠DAC'=∠BAC=40°.
故答案为：D
【分析】由邻补角定义求出∠AC'D=60°，由折叠得∠C=∠AC'D=60°，在△ABC中，由三角形的内角和定理算出∠BAC的度数，由折叠可得∠DAC=∠DAC'=∠BAC，从而代入计算可得答案.
10．【答案】A
【解析】【解答】①∵AB=BD，∠ABC=∠EBD=90°，BC=BE，∴△ABC≌△DBE（SAS），故正确；
②△ABC和△ABD不全等，△ABC是直角三角形，△ABD是等腰直角三角形，因为它们的形状不相同，故错误；
③△CBE和△BED不全等，利用同②，故错误；
④∵△ACE和△ADE只有一对边相等，∴△ACE与△ADE不全等，故错误；
∴正确的只有①共1个.
故答案为：C.
【分析】根据三角形全等的判定定理逐一分析即可.
11．【答案】12
【解析】【解答】解：∵△ABC的周长为32，AB=8，BC=12，
∴AC=32-8-12=12，
∵△ABC≌△FED，
∴FD=AC=12．
故答案为：12．
【分析】根据△ABC的周长求出AC的长度，再根据全等三角形对应边相等可得FD=AC．
12．【答案】6或4.4
【解析】【解答】解： 分三种情况：
①P在AC上，Q在BC上，如图1所示：作PE⊥l于E，QF⊥l于F，则AP=2t，BQ=3t，
∵AC=8，BC=14，
∴PC=8-2t，QC=14-3t，
∵∠PEC=90°，
∴∠PCE+∠CPE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠PCE+∠FCQ=90°，
∴∠CPE=∠FCQ，
∵△PEC≌△CFQ，
∴PC=CQ，
∴8-2t=14-3t，
∴t=6（不符合题意，舍去），
②P、Q都在BC上，如图2所示：作PE⊥l于E，QF⊥l于F，则CP=2t-8，CQ=14-3t，
∵△PEC≌△QFC，
∴PC=CQ，
∴2t-8=14-3t，
∴t=4.4，
③P在BC上，Q在AC上，如图3所示：作PE⊥l于E，QF⊥l于F，则CP=2t-8，CQ=3t-14，
∵△PEC≌△QFC，
∴PC=CQ，
∴2t-8=3t-14，
∴t=6，
综上所述，t的值为6或4.4.
故答案为：6或4.4
【分析】 分三种情况讨论：①P在AC上，Q在BC上，②P、Q都在BC上，③P在BC上，Q在AC上，分别用含t的代数式表示出CP，CQ的长，再根据全等三角形的性质得出CP=CQ，列出方程解方程求出t的值即可.
13．【答案】4
【解析】【解答】解：∵FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，
∴∠ODF=∠OEF=90°，
①加上条件OF是∠AOB的平分线可利用AAS判定△DOF≌△EOF；
②加上条件DF=EF可利用HL判定△DOF≌△EOF；
③加上条件DO=EO可利用HL判定△DOF≌△EOF；
④加上条件∠OFD=∠OFE可利用AAS判定△DOF≌△EOF；
因此其中能够证明△DOF≌△EOF的条件的个数有4个，
故答案为：4.
【分析】直接依据三角形全等判定定理：1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。　2．有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。3．有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)4．有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)5．直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”)
　　
14．【答案】3
【解析】【解答】解：∵由题意得：DE⊥AB，∠C=90°，
∴∠ACD=∠AED=90°
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠EAD
∴在△ACD和△AED中：
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AC=AE，CD=DE
∵AC=BC
∴AE=BC
∴△DEB的周长=DE+BD+BE=CD+BD+BE=BC+BE=AE+BE=AB=3cm.
故答案为：3.
【分析】利用垂直的定义及角平分线的定义可证得∠ACD=∠AED，∠CAD=∠EAD，再利用AAS证明△ACD≌△AED，利用全等三角形的性质可证得AC=AE，CD=DE，由此可推出AE=BC；然后可证得△DEB的周长=AB的长，即可求解。
15．【答案】解： ， 与 的夹角 ，理由是：
∵ ，
∴ ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【解析】【分析】利用SAS证出 ，得出 ，由 ，得出 ， ，即可得出答案。
16．【答案】解：已知：，，
求证：，，
证明：，
，
，，，
≌，
，；
也可以或或或证明方法类似．
【解析】【分析】先写出已知和求证，再利用全等三角形的判定方法和性质求解即可.
17．【答案】（1）证明：∵ ∠CFD=∠BEA ，
∴∠DFE＝∠AEF，
∴DF∥AE.
（2）解：CD=AB，且 CD∥AB，理由如下：
∵CE = BF,
∴CE-EF=BF-EF，
即CF=BE，
在 ΔCDF 和 ΔBAE 中，
∴ΔCDF≌ΔBAE，
∴CD=BA，∠C=∠B，
∴CD∥BA.
【解析】【分析】（1）根据等角的补角相等得到∠DFE＝∠AEF，再由内错角相等，两直线平行即可得证.
（2）CD=AB，且 CD∥AB，理由如下：由CE = BF得出CF=BE，再利用全等三角形的判定SAS得出ΔCDF≌ΔBAE，由全等三角形的性质得出CD=BA，
∠C=∠B，再由内错角相等，两直线平行得出CD∥BA.
18．【答案】解：延长AE，交BD的延长线于点F，
∵ ，
∴∠F=∠CAF，
∵ 平分 ，
∴∠CAF=∠BAF，
∴∠F=∠BAF，
∴AB=BF，
∵ 平分 ，
∴AE=EF，
∵∠F=∠CAF，∠AEC=∠FED，
∴△ACE≌△FDE，
∴AC=DF，
∴AB=BF=BD+DF=BD+AC．
【解析】【分析】先求出 ∠F=∠CAF， 再求出 △ACE≌△FDE， 最后证明求解即可。
19．【答案】（1）证明：∵，，
∴，
在和中，
∵，
∴
（2）证明：∵，
∴，
在和中
∵，
∴，
∴∠1＝∠2.
【解析】【分析】（1）根据垂直的概念可得∠BDO=∠CEO=90°，由对顶角的性质可得∠DOB=∠EOC，由已知条件可知OB=OC，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得DO=EO，利用HL证明△AOD≌△AOE，据此可得结论.
20．【答案】（1）证明：∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA=∠AEC=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，
∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠EAC=90°∴∠ABD=∠EAC，
在△ABD和△CAE中
∵
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴AD=CE，BD=AE，
∵AE=AD+DE，
∴BD=DE+CE；
（2）解：BD、DE、CE的关系为BD=DE-CE，理由为：
证明：在△ABD和△CAE中
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴AD=CE，BD=AE，
∵AE=DE-AD，
∴BD=DE-CE；
（3）解：当D、E位于直线BC异侧时，BD=DE+CE；当D、E位于直线BC同侧时，BD=DE-CE．
【解析】【分析】（1）由BD垂直于AE，得到三角形ABD为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余得到一对角互余，再由∠BAC=90°，得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，AB=AC，利用AAS可得出三角形ABD与三角形ACE全等，由全等三角形的对应边相等得到AD=CE，BD=AE，由AE=AD+DE，等量代换即可得证；（2）当直线AE处于如图②的位置时，则BD、DE、CE的关系为BD=DE-CE，理由为：同（1）得出三角形ABD与三角形ACE全等，由全等三角形的对应边相等得到AD=CE，BD=AE，由AE=DE-AD等量代换即可得证；（3）由（1）（2）总结得到当D、E位于直线BC异侧时，BD=DE+CE；当D、E位于直线BC同侧时，BD=DE-CE．
21．【答案】（1）证明：∵，
∴，
在与中
，
∴；
（2）解：由（1），
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴.
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ACB=∠DFE，由已知条件可知∠A=∠D，AC=FD，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得BC=EF，根据线段的和差关系可得CE=BF，则BE=FC+2CE=10，据此计算.
22．【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∵AD=AC，
∴∠ACD=∠ADC= =67.5°，
∴∠BCD=90°-67.5°=22.5°；
（2）证明：作AF⊥CD交CD于点F，
∵AD=AC，
∴CF=FD= CD，∠FAD= ∠CAB=22.5°，
∵∠ADC=67.5°，
∴∠BDE=67.5°，
∴∠DBE=90°-67.5°=22.5°，
∴∠CBE=45°+22.5°=67.5°，
在△AFD和△CEB中，
∴△AFD≌△CEB，
∴BE=DF，
∴CD=2BE．
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到 ∠A=∠B=45°， 根据等腰三角形的性质计算即可；（2）作AF⊥CD，证明 △AFD≌△CEB， 根据全等三角形的性质证明即可。
23．【答案】（1）证明：如图①，∵∠ACB=90°，∠DCE=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，∠ACE+∠ACD=90°，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE=BD；
（2）5
（3）AB+AD=AE
【解析】【解答】解：（2）如图②，∵∠ACB=90°，∠DCE=90°，
∴∠BCD+∠BCE=90°，∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE=BD，
∴AD=AB+BD=AB+AE=5，
故答案为：5；
（3）同（2）的证明方法可得，△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE=BD，
∴AB+AD=BD=AE，
故答案为：AB+AD=AE．
【分析】（1）先求出 ∠BCD=∠ACE， 再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）先求出∠BCD=∠ACE，再求出△BCD≌△ACE（SAS），最后计算求解即可；
（3）先求出AE=BD，再求解即可。