命题说明
此试题是高二期中考试的模拟题，考试范围包括解析几何、数列、导数、计数原理，解析
几何占比百分之二十、数列占比百分之二十、导数占比百分之四十、计数原理占比百分之二
十，此试题以教材中的核心概念、性质法则、例题习题为载体，关注于学科素养和关键能力
的考察，坚持五育并举的教育方针，旨在落实一核四层四翼的命题要求，试题注重考察学科
主干知识，试卷难度适中，注重基础性，难度大约在 0.6，区分度为 0.4，下面是对题目的
素材来源或者改编来源的说明
题目 1.2.3.4.5.7.9.10.13.14.17.18.19 都是利用课本对应的基础知识出的基础题，考察
学生对知识点的掌握，对应四翼当中的基础性，基础题是得分的保障，其中的第 3.9.19 两
题设置现实情景，命题贴近学生的实际生活，理论联系实际的考察学生能力，对应四翼当中
的应用性，理论联系实际，体现数学的应用价值。
第 6、8、12 都是导数题，第 6 题来源是导函数与原函数的关系，逆向使用构造函数，第
8题改编自选择性必修二课本99页课后习题第12题，利用课本的不等式代入具体数值比较，
第 12 题根据零点，零点附近的切线、割线命题，下附第 8 题对应的课本原题：
利用函数的单调性，证明函数下列不等式，并通过函数图像直观验证：
e x 1 x，x 0 ln x x e x（1） （2） , x 0
第 11 题结合数学传统文化、数学史出题，是改编题，下附原题：
十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年（公元 1584 年），他写成《律
学新说》，提出了十二平均律的理论．十二平均律的数学意义是：在 1和 2 之间插入 11 个正数，使包含 1
和 2的这 13 个数依次成递增的等比数列，则该数列的第 4 项为（ ）
1 1 1 4
A． 22 B． 23 C．24 D．213
15 题改编自选择性必修二课本 97 页课后练习 1，下附课本原题：
利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图像直观验证：
sin x x, x (0, )
16 题利用椭圆内的定点结论原创命题，聚焦学科素养与关键能力，考察学生的综合能力
20 题改编自选择性必修二课本 89 页例题 4，在设计时让导数与数列裂项求和结合，考察
学生的知识迁移能力，下附课本原题：
例 4 设 x 0, f (x) ln x, g(x) 1 1 ，两个函数的图像如图 5.3-8 所示。判
x
断 f (x), g(x)与C1,C2 之间的对应关系
21 题利用椭圆的第二定义命题.22 题命题素材来源于大学阶段的泰勒展开公式，在取前几
项时就是第八题对应的课本习题的不等式，这两题强调学科知识，能力的整合及其综合运用。
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东湖中学高二期中原创模拟测试题
数学参考答案及评分标准
选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D A C C B D A B ABC ACD ABC ACD
填空题：
n 1 n n 1
13. an 3 或an ( 1) 3 14.1（其他满足题意的均可）
2 5
15. x 0 16.
5
解答题：
17.（10 分）解：
（1） y 3x2 4x 2，则在点 P(0,1)处的切线的斜率 k y |x 0 2 …………2 分
曲线在点 P(0,1)处的切线方程为 y 2x 1 …………5分
3
（2）设曲线 y x 2x2 2x 1与过点P(0,1)的切线相切于点Q（x0 , y0 )，则：
k y | 3x 2
x x 0
4x
0 0
2
y 1 k(x 0) …………7 分
3 2
y0 x0 2x0 2x0 1
解得 k 1或2，
则曲线过点 P(0,1)处的切线方程为 y 2x 1和 y x 1 …………10分
18. （12 分）解：
（1）当 n 1 2 2时，解得 a1 S1 4，由题知为正项数列，则 a1 2 …………2 分
2S 4 4由题得 n an，则 2Sn Sn Sn 1，化简得： S
2 2
a S S n
Sn 1 4
n n n 1
S 2 2所以 n 为首项为 4，公差为 4的等差数列，则 Sn 4n …………4 分
所以 Sn 2 n , an Sn Sn 1 2 n 2 n 1 , n 1时成立 …………6 分
1 1
（2）由（1）知bn （ n 1 n ) …………8 分2 n 2 n 1 2
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所以T 1n ( 2 1 3 2 4 3 n 1 n )2
1
化简得Tn ( n 1 1) …………12分2
19. （12 分）解：
（1）队伍分配方案可分为两组都是 3 女 2 男或者一组 1 男 4 女，一组 3男 2女，则
C 3 C 3 C 2 C 2
两组都是 3 女 2 男的情况有 6 3 4 2 2 60种 …………2分
A2 22 A2
2 4 3 1
一组 1 男 4 女，一组 3 男 2 女的情况有C6 C4 C4 C1 60种 …………4分
所以总情况数为60 60 120种 …………6 分
（2）总共可分为三种情况，如下：
若 AB上场且 E不上场，情况有 2 A44 48种 …………7 分
3
若 AB上场且 E也上场，情况有3 4 2 A3 144种 …………8 分
若 AB 4中有一人上场且 E上场，情况有 2 4 A4 192种 …………10 分
综上所述，共有 48 144 192 384种排列方式 …………12 分
20.（12 分）解：
（1） f (x)定义域为（ 1， ），对 f (x)求导得 f (x) 1 1，
x 1
1
化简整理得 f (x) ，所以在定义域内 f (x) 0 …………3 分
x 1
所以 f (x)在（ 1， ）单调递减，无单调递增区间 …………6 分
（2） f (0) ln1 0 0，由第一问知 f (x)在（ 1， ）单调递减，则 x 0时
f (x) f (0) 0，即 ln(x 1) x 1 1 1 ，用 替换 x得 ln( 1) …………9 分
x x x
裂项得 ln(x 1) ln x 1 ，所以
x
1 1 1 1 1 ln 2 ln1 ln 3 ln 2 ln 4 ln 3 ln(n 1) ln n
2 3 4 n
1 1 1 1
整理得1 ln(n 1) ln1 ln(n 1)，得证 …………12 分
2 3 4 n
21.（12 分）解：
x2 y2
（1）由题意知 a 3,c 2，则椭圆的标准方程为 1 …………3 分
9 5
（2）设 P（x1, y1),Q(x2 , y ) E
9 y ) l y y y2 y 92 ，则 （ ， ， ： 1 (x )，由椭圆2 1 QE 1 x 9 22 2
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对称性可知，若存在定点，则定点必在 x轴上，当 PQ与 x轴重合时，显然成立，
所以设 lPQ : x my 2 …………5 分
x my 2
联立 x2 2 （5m
2 2
y 解得 9)y 20my 25 0，所以
1 9 5
y y 20m 251 2 5m2
， y1y2 2 ， 9 5m 9
y y 5 y y所以 1 2 1 2 ① …………8 分4 m
l y2 y对 1 9QE：y y1 9 (x )x 22 2
my y 2y 9 1 2 1 y2
令 y 0，化简得 x 2 ② …………10 分
y2 y1
13
(y y )
将①式带入②式化简得 x 4
2 1 13
y2 y1 4
13
所以直线QE必过定点（ ，0） …………12分
4
22.（12 分）解：
1
（1 x）求导得 f (x) 2e 1 …………1 分
x
k f (1) 2e， f (1) 2e 1，所以切线方程为
2ex y 1 0 …………3 分
（2 x）由题意得 2e x ln(x a) 2x 2a
x x
变形得 ln e 2e ln(x a) 2(x a)
设 g(x) ln x 2x，即 g(e x ) g(x a) …………5 分
g(x)显然为增函数，所以只需 e x x a
设 h(x) e x x a x，求导得 h (x) e 1 …………7 分
当 a 0时， x 0，h (x) 0，此时h(x)有最小值1 a
{#{QQABZYAAogigAgAAARhCAQ14CgOQkBGCAAoOABAIsAAAQRNABCA=}#}
所以1 a 0，且 a 0，得0 a 1 …………9 分
当 a 0时，h (x)恒大于0，此时 x a时，h(x) 0 …………10 分
综上所述，a 1 …………12 分
{#{QQABZYAAogigAgAAARhCAQ14CgOQkBGCAAoOABAIsAAAQRNABCA=}#}东湖中学高二期中原创模拟试卷
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上
。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的
1．在等差数列 a 2n 中，若 a7 ， a9是方程 x 6x 5 0的两根，则 a8 （ ）
A． 5 B． 5 C． 3 D．3
2．若直线 l1 : 2x my 4 0与 l2 : 3x 6y 1 0互相垂直，则m的值为（ ）
A．1 B． 1 C． 2 D． 2
3．为贯彻文明校园，东湖中学每周安排5名学生志愿者参加文明监督岗工作，若每周只值3
天班，每班1人，每人每周最多值一班，则不同的排班种类为（ ）
A．12 B．45 C．60 D．90
lim f (x0 2 x) f (x4.若函数y＝f (x)在x＝x 处可导，则 0 )0 等于（ ）
x 0 x
A．f ′(x0) B．2f ′(x0) C．－2f ′(x0) D．0
x2 y2
5.过点（4，3 3）作直线，使它与双曲线 1只有一个公共点，这样的直线有（ ）
4 9
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
6.已知函数的定义域为 R， f (1) 5，对任意 x R , f (x) 2，则 f (x) 3 2x的解集为
( )
A． 1，1 B． 2, C． 1，2 D． ，1
7. (x2 x 2)(x 1)6 展开式中 x4的系数是（ ）
A．5 B．65 C．-5 D．-65
8.已知 a 5,b ln( 5 1),c 5 5 ，试比较 a,b,c的大小（ ）
4
A． a c b B． a b c C．b a c D． c b a
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
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9.传承红色文化，宣扬爱国精神，东湖中学国旗队在高一年级招收新成员，现有小明、小红
、小华等6名同学新入方阵参加队列训练，则下列说法正确的是（ ）
A.6名同学站成一排，小明、小红、小华必须按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为
120种
B.6名同学站成一排，小明、小红两人相邻，则不同的排法种数为240种
C.6名同学站成一排，小明、小红两人不相邻，则不同的排法种数为480种
D.6名同学平均分成三组到进行三种不同的队列训练（每种训练必须有人参加），则有540
种不同的安排方法
2 2
10. x y若方程 1所表示的曲线为C，则下列说法错误的是（ ）
9 m 16 m
A．若C为椭圆，则 9 m 16
B．若C为双曲线，则m 16或m 9
C．若C为椭圆，则焦距为定值
D．若C为双曲线，则焦距为定值
11.十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的，明万历十二年(公元1584年)
，他写成《律学新说》提出了十二平均律的理论十二平均律的数学意义是：在1和2之间插
入11个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为M，插入
11个数后这13个数之和为N，则依此规则，下列说法正确的是（ ）
A．插入的第8个数为 3 4 B．插入的第5个数是插入的第1个数的 3 2倍
C．M 3 D．N 7
12.已知函数 f (x) x ln x x与 y a有两个不同的交点，交点坐标分别为 (x1, y1)，
(x2 , y2 )（ x1 x2 ），下列说法正确的有（ ）
A． f (x)在（0，1）上单调递减，在（1， ）上单调递增 B． a的取值范围为（ 1，0）
C． x2 x1 ae e D． x2 x1 2a e
1
e
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知数列 an 为等比数列，且 a2 3,a6 243，则 an 的通项公式为
14.已知 x Z ，且842023 x能被17整除，则 a的取值可以是 （写出一个满足题意
的即可）
15.已知 f (x) x，g(x) sin 2x sin x，若 f (x) g(x)，则 x的取值范围是
x216. y
2
如图，已知椭圆 1，其焦距为4，过椭圆长轴上一动
a2 b2
点 P（xP ,0）作直线交椭圆于M、N ，直线 AM、BN 交于点
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Q（xQ , yQ），已知 xPxQ 5，则椭圆的离心率为
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（10分）
已知曲线 y x3 2x2 2x 1
（1）求曲线在点 P（0，1）处的切线方程
（2）求曲线过点 P（0，1）的切线方程
18.（12分）
2 a
已知正项数列 a S nn 满足 n an 2
（1）求 an 通项公式
1
（2）设数列 bn 满足bn ，求数列 bn 的前 nS S 项和T nn n 1
19.（12分）
为庆祝3.8妇女节，东湖中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出十名成
员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有
4名男老师，6名女老师报名参加比赛
（1）一共有多少不同的分组方案？
（2）在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1、2、3、4、
5号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了A、B、C、D、E、F六名女老师进行
训练，经训练发现E不能站在5号位，若A、B同时上场，必须站在相邻的位置，则一
共有多少种排列方式？
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20.（12分）
已知函数 f (x) ln(1 x) x
（1）求 f (x)的单调区间
1 1 1 1
2 （ ）试证明1 ln(n 1),n N
2 3 4 n
21.（12分）
x2 y2 2
如图，已知椭圆 1，长轴长为6，离心率为 ，过椭圆右焦点 F 作斜率不为0
a2 b2 3
9
的直线交椭圆于 P、Q，过 P作PE垂直于直线 x ,连接 EQ
2
（1）求椭圆的标准方程
（2）证明：直线QE过定点，并求出定点坐标
22.（12分）
已知函数 f ( x ) 2e x x ln( x a )
（1）当 a 1时，求 f (x)在 x 1的切线方程
（2）若 f (x) 2a恒成立，求a的取值范围
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