河南省濮阳市2023-2024学年高二上学期1月第二次质量检测数学试题（含解析）

濮阳市2022级高二上学期第二次质量检测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项．
1．直线的倾斜角是（ ）．
A． B． C． D．
2．在棱长为1的正方体中，设，则的值为（ ）
A．1 B．0 C． D．
3．对任意实数，直线与圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切或相离 C．相离 D．相交或相切
4．若直线与直线平行，则实数（ ）
A． B． C．2 D．或2
5．在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知点．若直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．设曲线上的点到直线的距离的最大值为，最小值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
8．如图，将边长为1的正方形沿对角线折成直二面角，若点满足，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．点关于平面对称的点的坐标是；
B．若为空间中一组基底，则可构成空间另一组基底
C．在中，若，则点是边的中点
D．已知三点不共线，若，则四点一定共面
10．已知直线，圆是上一点，分别是圆的切线，则（ ）
A．直线与圆相切
B．圆上的点到直线的距离的最小值为
C．存在点，使
D．存在点，使为等边三角形
11．方程表示的圆，则以下叙述不正确的是（ ）
A．关于直线对称 B．关于直线对称
C．其圆心在轴上，且过原点 D．其圆心在轴上，且过原点
12．在正方体中，点在线段上运动，则（ ）
A． B．三棱锥的体积为定值
C．直线与平面所成的角可以为 D．直线与直线所成的角最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线为__________．
14．正方体中，分别为棱和的中点，则直线和所成角的余弦值为__________．
15．若半径为，圆心为的圆和定圆相切，则的值等于__________．
16．在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足．给出下列说法：
①点可以是棱的中点；②线段的最大值为；
③点的轨迹是正方形；④点轨迹的长度为．
其中所有正确说法的序号是__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．本小题满分10分
（1）已知，且，求的值；
（2）已知，若与（为坐标原点）的夹角为，求的值．
18．本小题满分12分
已知平面内两点．
（1）求的垂直平分线方程；
（2）直线经过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程．
19．本小题满分12分
圆和．
（1）取何值时与内切？
（2）求时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
20．本小题满分12分
如图，四棱锥中，底面为矩形，平面为中点，为中点，．
（1）证明：平面；
（2）求点到面的距离
21．本小题满分12分
已知圆的方程为．
（1）若圆与直线相交于两点，且，（为坐标原点），求的值；
（2）在（1）的条件下，求以为直径的圆的方程．
22．本小题满分12分
已知矩形中，的中点为，将绕着折起，折起后点记作点（不在平面内），连接得到几何体为直角三角形．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面所成角的正弦值．
濮阳市2022级高二上学期第二次质量检测
数学参考答案
一、单项选择题
1．A 【详解】，则斜率，设倾斜角是，即，所以
2．B 【详解】由题意可得，所以，所以，所以，
3．D 【详解】将直线方程变形为，由，解得，所以，直线过定点，将圆的方程化为标准方程，即为，，所以，点在圆上，
因此，直线与圆相切或相交．
4．D 【详解】直线平行或重合，则，即，解得或，
当时，直线，直线，此时，
当，直线，直线，此时．
5．B 【详解】由题知，在正四面体中，因为平面，所以是的中心，连接，则，所以
．
6．A 【详解】直线，即，其恒过定点，又直线的斜率，直线的斜率，
数形结合可知，要满足题意，直线的斜率，或，
即或，解得．
7．C 【详解】由可知，，且，即曲线是以为圆心，半径
为1的半圆，
过曲线上任一点作平行于直线的直线，如图所示：其中实线为直线，虚线为直线，
曲线上的点到直线的距离可转化为直线与直线之间的距离，
结合图像易知，当直线过时，直线与直线之间的距离最大，即曲线上的点到直线的距离最大，易知此时直线的方程为：，由平行线间的距离公式可得，，
因为到直线的距离为，
所以曲线上的点到直线的距离的最小值为，
从而．
8．C 【详解】取的中点为，连接，由正方形的性质可知：，所以为二面角的平面角，由题意可知：，因为，所以
，
所以．
二、多项选择题
9．BC 【详解】对于，点关于平面对称的点的坐标是，故A错误；
对于B，因为为空间中一组基底，故不共面，若共面，
则存在不全为零的实数，
使得，故，B正确；
故，故，矛盾，不共面，可构成空间另一组基底，故B 正确；
对于C，由可得即，
故点是边的中点，故C正确；
对于D，，故四点一定不共面，故D错误．
10．BD 【详解】对于A选项，圆心到直线的距离，所以直线和圆相离，故A错误；
对于B选项，圆上的点到直线的距离的最小值为，故B正确；
对于C选项，当时，有最大值，故C错误；
对于D选项，当时，为等边三角形，故D正确．
11．ACD 【详解】由题意知，方程表示圆，则有
将方程进行配方可得，圆心坐标为
对A选项，圆心不满足直线方程，故不关于直线对称，所以A不正确；
对B选项，圆心满足直线方程，故关于直线对称，所以B正确；
对C选项，由可知圆心不可能在轴上所以C不正确；
对D选项，由可知圆心不可能在轴上所以D不正确．
故选：ACD．
12．ABD 【详解】对于A，因为，可得平面，
平面，所以成立，故A正确；
对于B，由正方体知为平行四边形，故，
又平面平面，则平面，
所以直线上任意一点到平面的距离都相等，
又由等体积法，且底面面积不变，
故三棱锥的体积不变，故B正确；
对于C，如图，以为原点建立空间直角坐标系，设正方体的边长为1，
则，设，由得，又易知平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，则，
因为在上递减，
所以，所以，故C错误；
对于D，由A中的求解过程可知，，
所以直线与直线所成的角即和所成的角，
当点与点或重合时，所成的角最小值为，故D正确；
故选：ABD．
三、填空题
13．或
【详解】依题意，当直线过原点时，直线在两坐标轴上的截距相等，方程为，即；当直线不不过原点时，设直线的方程为，于是，解得，方程为，所以直线的方程为或．
14．
【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，则，
，则，
故直线和所成角的余弦值为
15．或
【详解】因为定圆的圆心为，半径为1，
且所求圆与定圆相切，即两圆外切或内切，
所以或，
解得或（负值舍去）．
16．②④
【详解】解：在正方体中，以为坐标原点，为轴，轴，该正方体的棱长为分别为的中点，
，
设，则，
，即当时，，当时，，
取，连结，
，即，又和为平面中的两条相交直线，
平面，又，
为的中点，则平面，为使，必有点平面，
又点在正方体表面上运动，点的轨迹为四边形，因此点不可能是棱的中点，
故选项①错误；又，
，则点的轨迹不是正方形且矩形周长为，
故选项③错误，选项④正确；
，
又，则，即，
，点在正方体表面运动，
则，解，
，
故当或或取得最大值为，故②正确．
故答案为：②④．
四、解答题
17．【详解】（1）因为，所以，
，因为，
所以，解得，所以；
（2）因为，所以，所以，因为与的夹角为，
所以，
因为，解得
18．【详解】（1）易求得中点坐标为．又，
所以的中垂线的斜率为，
的中垂线的方程为即．
（2）由（1）知，，所以直线的方程为，
直线经过点得，综上：为和
19．【详解】（1）因为两圆的标准方程为：，所以圆心分别为，
半径分别为和
当两圆内切时，因定圆的半径小于两圆圆心间距离
故有，解得
（2）由题可得两圆的公共弦所在直线方程为
整理得，
所以公共弦长为．
20．（1）取的中点，因为为中点，所以，
因为为中点，所以，
因为，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面平面，所以平面；
（2）因为平面平面，所以，
因为四边形为矩形，所以，所以两两垂直，
所以以点为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
因为为中点，为中点，所以，
所以，
设平面的法向量为，则
，令，则，所以点到平面的距离为
21．【详解】（1）由得，由可得，
由题意联立得：，
设，根据韦达定理得，
，又，
，
，解得，符合，所以．
（2）设圆心为，则，
半径，
圆的方程
22．【详解】（1）证明：如图，连接，连接交于点，
则，翻折前，翻折后，则有，
由于为直角三角形，且，
，因此必有，
又因为平面，则面，
因为平面，从而可得，
又因，则，所以，．又因、平面即面
因为平面，因此，面面．
（2）解：如图，取中点为中点为，连接，
由（1）可知，平面平面，
因为为的中点，则，
因为平面平面平面，所以，面，
因为分别为的中点，则，因为，则，
以点为坐标原点，分别以方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
则，
得，，
设平面的一个法向量为，由，则，
取，则，得到，设平面的法向量为，
则，取，则，则
则，从而
，
也即平面与平面所成夹角的正弦值为．