第五章 一元函数的导数及其应用全章综合测试卷（提高篇）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022·广西玉林·高二期末（理））设是定义在R上的可导函数，若（a为常数），则（ ）
A． B．2a C． D．a
【解题思路】根据导数的定义及极限的性质计算可得；
【解答过程】解：.
故选：A.
2．（5分）（2022·江西·高二开学考试（理））若函数的导函数为，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】对求导，得到，令，得到，即可得到，然后求即可.
【解答过程】由，得，令，则，解得，所以，.
故选：D.
3．（5分）（2022·陕西安康·高二期末（文））为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示．给出下列四个结论错误的是（ ）
A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同；
C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
D．在，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同．
【解题思路】根据图象以及导数的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【解答过程】A选项，根据图象可知，在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同，A选项结论正确.
B选项，根据图象以及导数的知识可知，在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同，
B选项结论正确.
C选项，根据图象可知，在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同，
C选项结论正确.
D选项，根据图象可知，在这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率为大于
在这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率
D选项结论错误.
故选：D.
4．（5分）（2022·湖北·高三阶段练习）若直线是曲线与的公切线，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，求出，，由点、点在切线上，得切线方程，进而即得.
【解答过程】设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，
又，，
所以，，
由点在切线上，得切线方程为；
由点在切线上，得切线方程为，
故，
解得，，
故.
故选：B.
5．（5分）（2022·四川自贡·一模（理））已知，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】首先证明此函数为偶函数，再利用其导函数得到其单调性，利用其是偶函数得到，，通过指数函数单调性得，再根据幂函数性质证明出，同取对数得到，则有，再利用单调性即可得到大小关系.
【解答过程】因为，定义域关于原点对称，
，
所以为上的偶函数，
当时,，设，
则，，，
所以即在上单调递减,所以,
所以在上单调递减,又因为为偶函数,
所以在上单调递增，
又因为,,
，
又因为,
因为,，所以,
所以，即,
所以,
所以,
即.
故选：D.
6．（5分）已知定义在上的函数的导函数为，对任意的满足．若的最小值为，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】构造函数，利用导数可得出，可得出，其中为常数，利用导数求出函数的最小值，可得出的值，然后再解不等式即可.
【解答过程】构造函数，该函数的定义域为，则，
所以，，可得，其中为常数，
则，当，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，，解得，
故，由可得，
所以，不等式的解集是.
故选：B.
7．（5分）（2022·江苏南京·模拟预测）已知函数（），且在有两个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据给定条件，利用零点的意义等价转化，构造函数，再借助导数探讨函数在有两个零点作答.
【解答过程】，，由得，，则，令，
依题意，函数在有两个零点，显然，而在上单调递增，
则有，当或，即或时，在上单调递增或单调递减，
即有函数在只有一个零点1，因此，此时当时，，当时，，
函数在上单调递减，在单调递增，则，
要函数在有两个零点，当且仅当在上有一个零点，即有，解得，
所以的取值范围.
故选：C.
8．（5分）（2022·江西·高三阶段练习（理））设函数是定义域为的增函数，且关于对称，若不等式有解，则实数a的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．6
【解题思路】由题意令关于对称，有，由此变换化简得，然后由函数是定义域为的增函数得到相应的不等式，分离参数构造新函数，对新函数求导，利用导数来研究最值即可
【解答过程】设，所以关于对称，
所以
所以
即
令
所以
即
所以
由不等式有解，
即
，
因为函数是定义域为的增函数，
所以成立，
即成立，
即求，
设，
所以
，
令，
所以，
因为，所以，
所以在上单调递增，
又，
所以在上存在唯一的零点 满足
，
此时当时，，
当时，，
所以在单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以有最小值：5，
故选：B.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022·黑龙江·高二阶段练习）（多选）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量，甲、乙两人服用该药物后，血管中的药物浓度（单位：）随时间（单位：）变化的关系如图所示，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同
B．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度的瞬时变化率相同
C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中的药物浓度的平均变化率相同
D．在，两个时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率不相同
【解题思路】根据已知血管中的药物浓度随时间变化图象，结合瞬时变化率、平均变化率的概念判断各选项的正误.
【解答过程】A：在时刻，两图象相交，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，正确；
B：两条曲线在时刻的切线的斜率不相等，所以甲、乙两人血管中的药物浓度的瞬时变化率不相同，错误；
C：根据平均变化率公式，可知在这个时间段内，甲、乙两人血管中的药物浓度的平均变化率都是，正确；
D：在时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率是，在时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率是，显然不相等，正确．
故选：ACD．
10．（5分）（2022·福建宁德·高三期中）已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”，下列选项中有“巧值点”的函数是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据“巧值点”的定义，结合导数运算，对每个选项进行逐一判断，即可选择.
【解答过程】对A：，则 ，令 ，则，故有“巧值点”；
对B：，则 ，因为 恒成立，故任意的，都是的“巧值点”；
对：，则 ，令，整理得，方程无根，
故没有“巧值点”；
对：定义域为，则 ，而，
显然 无根，故没有“巧值点”.
故选：.
11．（5分）（2022·江苏·高三期中）已知函数，其导函数为，下列说法正确的是（ ）
A．函数的单调减区间为
B．函数的极小值是
C．当时，对于任意的，都有
D．函数的图像有条切线方程为
【解题思路】对函数进行求导，对A令即可解决问题；B选项把增减区间求出来后即可得极值；C选项做差法证明即可；D由切线斜率为3出发反向分析即可得答案.
【解答过程】因为
所以，，
所以的单调减区间为，
故A正确．
令，
则或
所以在，单调递增
在单调递减
所以函数的极小值为，
故选项B正确；
由，
若，
即
矛盾，
故选项C错误．
，
解的或，
当时切点不在上
当时切点不在上，
故选项D错误，
故选：AB．
12．（5分）（2022·黑龙江·高三期中）已知函数则下列结论正确的有（ ）
A．当时，是的极值点
B．当时，恒成立
C．当时，有2个零点
D．若是关于x的方程的2个不等实数根，则
【解题思路】对于A，代入后对求导，利用导数与函数极值的关系即可得证；对于B，构造函数，利用导数求得，从而可证得；对于C，举反例排除即可；对于D，利用极值点偏移的证明方法即可证得.
【解答过程】对于A，当时，，则，
令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以是的极大值点，故A正确；
对于B，令，得，
令，则，
令，解得，
故当，，单调递增；当，，单调递减；
所以，
因为，所以，故，整理得，即恒成立，故B正确；
对于C，令，则，令，解得，故只有1个零点，故C错误；
对于D，因为是关于的方程的2个不等实数根，
所以，即，
所以问题等价于有两个零点，证明，
不妨设，则由得到，
要证，只需要证明，
即只需证明：，
只需证明：，即，
令，
只需证明：，
令，
则，即在上单调递增，
又，所以，即恒成立，
综上所述，原不等式成立，即成立，故D正确.
故选：ABD.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022·广东·高二阶段练习）酒杯的形状为倒立的圆锥(如图)，杯深8 cm，上口宽6 cm，水以20 cm3/s的流量倒入杯中，当水深为4 cm时，水升高的瞬时变化率为 ．
【解题思路】利用体积公式计算得到，再求出水深为，对应的时间为的大小，最后利用导数可求瞬时变化率.
【解答过程】由题意，设时刻水面高为，水面圆半径为, 则可得
此时水的体积为 ，
又由题设条件知，此时的水量为20t，
故有 故有，
，
当水深为，对应的时间为，则，
，
所以当水深为4 cm时，水升高的瞬时变化率为，
故答案为：.
14．（5分）（2022·全国·高二专题练习）已知，且，，那么 2 .
【解题思路】在题中等式两边同乘可得，可得出，由可求得的值，进而可求得的值.
【解答过程】因为，
所以，，
即，所以，，
因为，则，
所以，，解得，所以，，
因此，.
故答案为：.
15．（5分）（2022·广东·高三阶段练习）已知函数，给出以下说法：
①当有三个零点时，的取值范围为；
②是偶函数；
③设的极大值为，极小值为，若，则；
④若过点可以作图象的三条切线，则的取值范围为.
其中所有正确说法的序号为 ①②④ .
【解题思路】利用导数分析函数的单调性，结合零点存在性定理判断①，根据偶函数的定义判断②，结合函数的单调性求出函数的极值，判断③，结合导数的几何意义判断④.
【解答过程】因为，所以，
所以当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以当时，，函数在上单调递减，
又，所以函数在时取极小值，极小值为，在时取极大值，极大值为，
当有三个零点时，则解得，①正确.
，，所以是偶函数，②正确.
由，得，③错误.
设切点为，
则切线的斜率为，化简得，
设，则，
令，解得或；令，解得，
可得在和上是减函数，在上是增函数，可知的极小值为，极大值为，
要使有三个实数根，则，解得，即存在三条切线，所以④正确，
故所有正确说法的序号为①②④.
故答案为：①②④.
16．（5分）（2022·四川省高三阶段练习（理））已知函数，若存在，使得成立，则下列命题正确的有 ①③④ ．
①当时，
②当时，
③当时，
④当时，的最小值为
【解题思路】根据可求得在上单调递增，在上单调递减，则可画出的图像；利用同构可知等价于，结合图像则可判断① ②③；当时，可得，，构造函数可判断④．
【解答过程】解：①，
令得，在上递增，且值域；
令得，在上递减，且值域；
作图如下：
当时，由知：若，使得，则，
当时，若，使得，则，
由得：，
令得，在上递增，且值域；
令得，在上递减，且值域；
作出图象如下：
当时，由知：若使得，则，
当时， 若使得，则，
∴当时，．故①正确．
②当时，由得：，即，
∴可看成的两零点，
作出的图象如下：
由图象易知：或均可趋向于，故②错误；
③当时，由①的讨论知：，，
．故③正确；
④当时，此时，由②知：，
，则，
∴要求的最小值即求的最小值即可，
令，则，
令，解得：，易知为极小值点，故的最小值为．故④正确．
故答案为：①③④．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022·全国·高二课时练习）已知三个函数f1(x)＝2x，f2(x)＝x2，f3(x)＝2x.
（1）指出三个函数在[0，＋∞)上的单调性；
（2）取x1＝0，x2＝2，x3＝4，x4＝6，Δx＝2.求三个函数分别在区间[xi，xi＋Δx](i＝1,2,3,4)上的平均变化率(列成表格即可)；
（3）分析三个函数在[xi，xi＋Δx](i＝1,2,3,4，…)上随自变量的增加，其平均变化率的变化情况.
【解题思路】（1）利用一次函数、二次函数和指数函数性质解答；
（2）计算平均变化率填表；
（3）根据（2）的表格数据分析平均变化率的变化情况.
【解答过程】(1)根据一次函数、二次函数和指数函数性质可知.函数f1(x)＝2x，f2(x)＝x2，f3(x)＝2x在[0，＋∞)上都是增函数.
(2)列表：
函数区间 [0,2] [2,4] [4,6] [6,8]
f1(x)＝2x 2 2 2 2
f2(x)＝x2 2 6 10 14
f3(x)＝2x 6 24 96
(3)由上表可知：函数f1(x)＝2x随着自变量的增大，在自变量增量Δx的条件下，各区间上的函数平均变化率都相等，这说明函数呈匀速增长状态；
函数f2(x)＝x2在各区间上的平均变化率不相等，并且越来越大，这说明函数值随自变量增长的速度越来越快；
函数f3(x)＝2x在各区间上的平均变化率不相等，并且越来越大，这说明f3(x)的函数值随自变量增长的速度越来越快，并且比f2(x)的增长速度快的多.
18．（12分）（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【解题思路】（1）（2）（3）（4）（5）（6）根据复合函数的求导法则和基本函数的求导公式逐个求解即可.
【解答过程】（1）
函数可以看作函数和的复合函数，
∴ ．
（2）
函数可以看作函数和的复合函数，
∴ .
（3）
函数可以看作函数和的复合函数，
∴ ．
（4）
函数可以看作函数和的复合函数，
∴ ．
（5）
函数可以看作函数和的复合函数，
∴ ．
（6）
函数可以看作函数和的复合函数，
∴ ．
19．（12分）（2022·山东·高三阶段练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，讨论的单调性．
【解题思路】（1）先将代入得到，并求出的值，再利用导数的几何意义求出切线方程的斜率，然后通过直线的点斜式方程即可写出切线方程.
（2）先求出的导函数并进行因式分解，可得到一个含参的二次式，然后对参数进行分类讨论即可得到函数的单调性.
【解答过程】（1）因为，所以，所以，
因为，所以切线方程的斜率为，
又因为切线方程过点，所以切线方程为，即，
故当时，曲线在点处的切线方程为.
（2）因为的定义域为，
，
令，解得或，
当时，即，，
所以函数在区间上单调递减；
当，即时，
令，解得或，所以函数在区间和上单调递减，
令，解得，所以函数在区间上单调递增；
当，即时，
令，解得或，所以函数在区间和上单调递减，
令，解得，所以函数在区间上单调递增.
综上所述，当时，函数在区间上单调递减；
当时，函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增；
当时，函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增.
20．（12分）（2022·四川高三期中）已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)设 有两个不同的零点，，为其极值点，证明：．
【解题思路】(1)利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的极值；
(2)利用导数研究函数的单调性，即可求出函数，得；设，利用导数研究函数的单调性求出，可得，有；根据零点的定义可得，只需证，利用换元法，构造函数，利用导数研究函数的性质，即可求解.
【解答过程】（1）由题意知，函数的定义域为，
，
令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，无极大值，
且极小值为；
（2）()，
，
令，令，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故，
所以，则.
又函数在上有2个零点，
所以，解得.
设，则，
令，令，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故，即，即，
所以，
又，，
两式相减，得，设，
要证，只需证，
即证，即证，
令，则，
设，则，
所以函数在上单调递增，有，
即在上恒成立，所以.
综上，.
21．（12分）（2022·河北·高三阶段练习）已知函数.
(1)若，讨论的单调性；
(2)若
（i）证明恰有两个零点；
（ii）设为的极值点，为的零点且，证明：.
【解题思路】（1）对函数求导，利用导函数在定义域内的正负来确定函数的单调性即可；
（2）（i）根据解析式可知：，然后结合（1）对导函数再次求导，判断导函数的单调性，进而确定函数的单调性，利用零点存在性定理可得函数在上存在一个零点，进而求解；
（ii）由得到；再利用为的零点且，不等式进行转化可得，进一步利用不等式的传递性即可证明.
【解答过程】（1）由题意可知：函数的定义域为，
则，
当时，，所以函数在上单调递增.
（2）（i）由题意可知：，由（1）知：，
则，所以在上单调递减，
当时，，此时递增，，函数无零点.
易证当时，，，
下证：当时，，
令，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故，也即，故，
当时，单调递减，，
，
所以存在唯一的，使得.
函数在上单调递增，在上单调递减，
，
所以在上存在一个零点.
综上：函数恰有两个零点.
（ii）由得到；
由得到，
所以由可得，
即，又因为，所以.
22．（12分）（2022·全国·模拟预测）设函数，为的导函数.
(1)当时，
①若函数的最大值为0，求实数的值；
②若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围.
(2)当时，设，若，其中，证明：.
【解题思路】(1)① 当时，对求导，得到函数单调性，即可求得函数的最值.
② 要求恒成立时的取值范围，等价于，构造新的函数，将问题转化为求新构造函数的最大值，问题即可解决.
(2)当时，，求导即可得到的函数表达式，对求导，得到函数的图像，设，则要证明，只需要证明，构造新函数，求导研究函数的单调性，证明在上恒成立即可.
【解答过程】（1）当时，.
①易知，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
故，所以.
②解法一，不等式.
设（），，
则由① 知，所以存在实数，使得不等式成立，
等价于存在实数，使得成立.
易知在上单调递减，所以，
所以，即实数的取值范围为.
解法二，不等式.
设，
则存在实数，使得不等式成立，等价于存在实数，使得成立.易知，
当时，易知，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，即实数的取值范围为.
（2）当时，，，
所以，所以，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
且当时，，当时，，故可作出的大致图象如图所示.
-2
不妨设，由图易知.要证，只需证.
因为在上单调递减，所以只需证，
又，所以只需证对任意的恒成立.
设，
则.
设，
则，因为当时，，，
所以所以在上单调递减，所以，
又当时，，
所以，所以在上单调递增，所以，
即在上恒成立，又，
所以，原不等式得证.第五章 一元函数的导数及其应用全章综合测试卷（提高篇）
【人教A版2019】
考试时间：90分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022·广西玉林·高二期末（理））设是定义在R上的可导函数，若（a为常数），则（ ）
A． B．2a C． D．a
2．（5分）（2022·江西·高二开学考试（理））若函数的导函数为，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）（2022·陕西安康·高二期末（文））为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示．给出下列四个结论错误的是（ ）
A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同；
C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
D．在，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同．
4．（5分）（2022·湖北·高三阶段练习）若直线是曲线与的公切线，则（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）（2022·四川自贡·一模（理））已知，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）已知定义在上的函数的导函数为，对任意的满足．若的最小值为，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）（2022·江苏南京·模拟预测）已知函数（），且在有两个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）（2022·江西·高三阶段练习（理））设函数是定义域为的增函数，且关于对称，若不等式有解，则实数a的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．6
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022·黑龙江·高二阶段练习）（多选）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量，甲、乙两人服用该药物后，血管中的药物浓度（单位：）随时间（单位：）变化的关系如图所示，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同
B．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度的瞬时变化率相同
C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中的药物浓度的平均变化率相同
D．在，两个时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率不相同
10．（5分）（2022·福建宁德·高三期中）已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”，下列选项中有“巧值点”的函数是（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）（2022·江苏·高三期中）已知函数，其导函数为，下列说法正确的是（ ）
A．函数的单调减区间为
B．函数的极小值是
C．当时，对于任意的，都有
D．函数的图像有条切线方程为
12．（5分）（2022·黑龙江·高三期中）已知函数则下列结论正确的有（ ）
A．当时，是的极值点
B．当时，恒成立
C．当时，有2个零点
D．若是关于x的方程的2个不等实数根，则
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022·广东·高二阶段练习）酒杯的形状为倒立的圆锥(如图)，杯深8 cm，上口宽6 cm，水以20 cm3/s的流量倒入杯中，当水深为4 cm时，水升高的瞬时变化率为 ．
14．（5分）（2022·全国·高二专题练习）已知，且，，那么 .
15．（5分）（2022·广东·高三阶段练习）已知函数，给出以下说法：
①当有三个零点时，的取值范围为；
②是偶函数；
③设的极大值为，极小值为，若，则；
④若过点可以作图象的三条切线，则的取值范围为.
其中所有正确说法的序号为 .
16．（5分）（2022·四川省高三阶段练习（理））已知函数，若存在，使得成立，则下列命题正确的有 ．
①当时，
②当时，
③当时，
④当时，的最小值为
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022·全国·高二课时练习）已知三个函数f1(x)＝2x，f2(x)＝x2，f3(x)＝2x.
（1）指出三个函数在[0，＋∞)上的单调性；
（2）取x1＝0，x2＝2，x3＝4，x4＝6，Δx＝2.求三个函数分别在区间[xi，xi＋Δx](i＝1,2,3,4)上的平均变化率(列成表格即可)；
（3）分析三个函数在[xi，xi＋Δx](i＝1,2,3,4，…)上随自变量的增加，其平均变化率的变化情况.
18．（12分）（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
19．（12分）（2022·山东·高三阶段练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，讨论的单调性．
20．（12分）（2022·四川高三期中）已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)设 有两个不同的零点，，为其极值点，证明：．
21．（12分）（2022·河北·高三阶段练习）已知函数.
(1)若，讨论的单调性；
(2)若
（i）证明恰有两个零点；
（ii）设为的极值点，为的零点且，证明：.
22．（12分）（2022·全国·模拟预测）设函数，为的导函数.
(1)当时，
①若函数的最大值为0，求实数的值；
②若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围.
(2)当时，设，若，其中，证明：.
