第五章 一元函数的导数及其应用全章综合测试卷（基础篇）
【人教A版2019】
考试时间：90分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022·浙江·高二期中）函数在区间上的平均变化率等于（ ）
A． B．1 C．2 D．
2．（5分）（2022·黑龙江·高二期末）已知是定义在上的可导函数，若，则（ ）
A．0 B． C．1 D．
3．（5分）（2022·上海市高二期末）下列求导数运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（5分）若直线是曲线的一条切线，则实数（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）（2022·陕西·高三期中（文））若函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）（2022·北京高三阶段练习）下列关于函数的判断正确的是（ ）
①的解集是； ②是极小值，是极大值；
③没有最小值，也没有最大值； ④有最大值，没有最小值.
A．①③ B．①②③ C．②④ D．①②④
7．（5分）（2022·全国·高二课时练习）某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万千克，每种植1千克莲藕，成本增加0.5元.种植万千克莲藕的销售额（单位：万元）是（是常数），若种植2万千克，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕（ ）
A．8万千克 B．6万千克 C．3万千克 D．5万千克
8．（5分）（2022·广东·高三阶段练习）已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022·全国·高二课时练习）下列有关导数的说法，正确的是（ ）.
A．就是曲线在点处的切线的斜率
B．与的意义是一样的
C．设是位移函数，则表示物体在时刻的瞬时速度
D．设是速度函数，则表示物体在时刻的瞬时加速度
10．（5分）（2022·全国·高二单元测试）若直线是曲线的切线，则曲线的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
11．（5分）（2022·福建·高三期中）定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（5分）（2022·广东·高三阶段练习）已知，则下列说法中正确的有（ ）
A．的零点个数为4 B．的极值点个数为3
C．轴为曲线的切线 D．若则
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022·江苏连云港·高二期末）对于函数，若，则 ．
14．（5分）（2022·高三阶段练习）已知函数的导数为，且满足，则
.
15．（5分）（2022·宁夏·高三阶段练习（文））已知函数在处取得极小值，则函数的极大值为 .
16．（5分）（2022·山东济宁·高三期中）已知函数，若在其定义域内总有成立，则实数的取值范围为 .
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022·全国·高二期末）已知自由落体的物体的运动方程为，求：
(1)物体在到这段时间内的平均速度；
(2)物体在时刻的瞬时速度.
18．（12分）（2022·新疆·高二阶段练习（理））求下列函数的导数．
(1)；
(2)；
(3)．
19．（12分）已知.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调区间.
20．（12分）（2022·陕西·高三期中（理））已知函数（且）．
(1)若，求在上的最小值；
(2)若函数不存在零点，求实数a的取值范围．
21．（12分）（2022·全国·高三专题练习）已知函数，.
(1)若函数是上的增函数求的取值范围；
(2)若函数恰有两个不等的极值点、，证明：.
22．（2022·广东·高三阶段练习）已知.
(1)若，求函数的单调区间和极值；
(2)若对都有成立，求实数a的取值范围.第五章 一元函数的导数及其应用全章综合测试卷（基础篇）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022·浙江·高二期中）函数在区间上的平均变化率等于（ ）
A． B．1 C．2 D．
【解题思路】根据平均变化率公式计算可得；
【解答过程】解：因为，，
所以，即函数在区间上的平均变化率为；
故选：C.
2．（5分）（2022·黑龙江·高二期末）已知是定义在上的可导函数，若，则（ ）
A．0 B． C．1 D．
【解题思路】对条件变形，利用导数的定义求解出到数值.
【解答过程】因为，所以，
，
故
故选：B.
3．（5分）（2022·上海市高二期末）下列求导数运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据基本初等函数的导数公式及复合函数的导数公式逐项判断即可.
【解答过程】解：A项中，，故A项正确；
B项中，，故B项错误；
C项中，，故C项错误；
D项中，，故D项错误.
故选：A.
4．（5分）若直线是曲线的一条切线，则实数（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用导数，根据斜率求得切点坐标，进而求得.
【解答过程】因为，所以，令，即，
得或（舍去），所以切点是，代入，
得，.
故选：D.
5．（5分）（2022·陕西·高三期中（文））若函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题意可推得在上有解，分离参数，得在上有解，由此构造函数，判断其单调性，即可求得答案.
【解答过程】由题可知在上有解，
即在上有解，
设 ，
当时，，递减，当时，，递增，
故，，
所以，解得，所以的取值范围是，
故选：A.
6．（5分）（2022·北京高三阶段练习）下列关于函数的判断正确的是（ ）
①的解集是； ②是极小值，是极大值；
③没有最小值，也没有最大值； ④有最大值，没有最小值.
A．①③ B．①②③ C．②④ D．①②④
【解题思路】令可解x的范围确定①正确；对函数进行求导，利用导数判断原函数的单调性进而可确定②正确；根据函数的单调性结合最值的定义分析判断③、④的正误，从而得到答案．
【解答过程】对①：
∵，若，则，解得，
∴的解集是，①正确；
对②：
又∵，
令，则，解得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
则是极小值，是极大值，②正确；
对③④：
∵，则，
∴当时，在上单调递减，则，
故无最小值；
又∵，
当时，则；
当时，在上单调递增，在上单调递减，则；
综上所述：对，，即为的最大值；
故③错误，④正确；
故选：D.
7．（5分）（2022·全国·高二课时练习）某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万千克，每种植1千克莲藕，成本增加0.5元.种植万千克莲藕的销售额（单位：万元）是（是常数），若种植2万千克，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕（ ）
A．8万千克 B．6万千克 C．3万千克 D．5万千克
【解题思路】根据题意写出销售利润的函数解析式，，根据种植2万千克，利润是2.5万元，求出，再利用导数求出函数的单调区间，从而可得出答案.
【解答过程】解：种植万千克莲藕的利润(单位：万元)为， ，即，，
当时，，解得，
故，，
，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以时，利润最大.
故选：B.
8．（5分）（2022·广东·高三阶段练习）已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】化简，采用换元法，将问题转化为有两个不同的零点问题，分离参数，从而将问题转化为直线与的图象有两个不同交点，数形结合，可得答案.
【解答过程】由题意得 ,
令 ，，该函数在R上为单调增函数，且 ，
故函数有两个不同的零点，即有两个不同的零点，
令即直线与的图象有两个不同交点，
又，当时，递增，当时，递减，
则，当时，，
作出其图象如图：
由图象可知直线与的图象有两个不同交点，需有，
故选：A.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022·全国·高二课时练习）下列有关导数的说法，正确的是（ ）.
A．就是曲线在点处的切线的斜率
B．与的意义是一样的
C．设是位移函数，则表示物体在时刻的瞬时速度
D．设是速度函数，则表示物体在时刻的瞬时加速度
【解题思路】根据导数的定义以及几何意义判断ACD，根据常数函数的导数为判断B.
【解答过程】表示曲线在点处的切线的斜率，故A正确；
表示对函数值求导，因为是常函数，所以，
与的意义不一样，故B错误；C，D易知正确.
故选：ACD.
10．（5分）（2022·全国·高二单元测试）若直线是曲线的切线，则曲线的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】函数的导数的几何意义是在某点处的切线斜率，对每个函数求导，判断是否有解即可.
【解答过程】因为直线是曲线的切线，所以在某点处的导数值为．
对于A，由，可得，
令，即，
因为，所以有解，故A正确．
对于B，由，可得，
令，可得，无解，故B不正确．
对于C，，故有解，故C正确．
对于D，的定义域为，
令，可得，不符合，
所以无解，故D不正确．
故选：AC.
11．（5分）（2022·福建·高三期中）定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】因为，可得 ，故设，然后求导，判断单调性，分别求解每一个选项即可.
【解答过程】令
所以
因为，
所以
故在单调递减
所以，得，即，故A错误；
，得，即，故B正确；
，得，即，故C正确；
得，即，故D正确.
故选：BCD.
12．（5分）（2022·广东·高三阶段练习）已知，则下列说法中正确的有（ ）
A．的零点个数为4 B．的极值点个数为3
C．轴为曲线的切线 D．若则
【解题思路】利用导函数研究函数的大致图像判断ABC，利用对称性判断D即可.
【解答过程】由题意，
令，得到．
分别画出和的图像，如图所示：
由图知：有三个解，即有三个解，分别为．
所以为增函数，
为减函数，
为增函数，
为减函数．
所以当时，取得极大值为0，当时，取得极小值为，
当时，取得极大值为0，
所以函数有两个零点，三个极值点，A错误，B正确．
因为函数的极大值为0，所以轴为曲线的切线，故C正确；
因为，
所以若则，D正确；
故选：BCD.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022·江苏连云港·高二期末）对于函数，若，则 4 ．
【解题思路】由导数定义构造计算可以得到结果.
【解答过程】，
又，，
，
故答案为:4.
14．（5分）（2022·高三阶段练习）已知函数的导数为，且满足，则
.
【解题思路】求导，令可求得，然后可得.
【解答过程】因为
所以，解得
所以.
故答案为：.
15．（5分）（2022·宁夏·高三阶段练习（文））已知函数在处取得极小值，则函数的极大值为 .
【解题思路】因为为极值点，故即可求解值；根据导数分析单调性判断极值即可求解．
【解答过程】，由题可知，解得，
所以，
当时，得；当时，得或；
所以在，上单调递增，在上单调递减，
故的极大值为．
故答案为： ．
16．（5分）（2022·山东济宁·高三期中）已知函数，若在其定义域内总有成立，则实数的取值范围为 .
【解题思路】将转化为，构造，由的单调性，将问题转化为，求出的最大值，即可求出a的取值范围.
【解答过程】由题，在上恒成立，
即在上恒成立，
设，则，因为为增函数，
所以，即在上恒成立，
设，，
因为，所以时，，单调递增，
时，，单调递减，，
所以，即.
故答案为：.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022·全国·高二期末）已知自由落体的物体的运动方程为，求：
(1)物体在到这段时间内的平均速度；
(2)物体在时刻的瞬时速度.
【解题思路】（1）先求出到这段时间内路程的增量，用公式即可求得平均速度.
（2）求出（1）中平均速度在的极限值，即可得到时刻的瞬时速度
【解答过程】(1)
解：物体在到这段时间内路程的增量，因此，物体在这段时间内的平均速度
(2)
物体在时刻的瞬时速度.
18．（12分）（2022·新疆·高二阶段练习（理））求下列函数的导数．
(1)；
(2)；
(3)．
【解题思路】利用导数的运算法则求解.
【解答过程】（1）解：因为，
所以；
（2）因为，
所以；
（3）因为，
，
所以.
19．（12分）已知.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调区间.
【解题思路】（1）由导数的几何意义求解，
（2）由导数与单调性的关系求解，
【解答过程】（1）当时，，，
所以，.
所以函数在点处的切线方程为.
（2）因为，定义域为，
所以.
①当时，与在上的变化情况如下：
1
+ 0 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以函数在及内严格增，在内严格减；
②当时， 恒成立，所以函数的单调增区间为.
综上，当时，函数的单调增区间为及，单调减区间为；
当时，函数单调增区间为.
20．（12分）（2022·陕西·高三期中（理））已知函数（且）．
(1)若，求在上的最小值；
(2)若函数不存在零点，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1），根据导函数求出函数在上的单调性，进而得到最小值；
（2）求出，根据导函数讨论和时，函数的单调性以及求得端点（特殊点）、最值点处的函数值正负，即可得到实数a的取值范围．
【解答过程】（1）∵，∴．
令，得；令，得．
所以，在上单调递减，在上单调递增，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴当时，在上取得最小值．
（2）.
当时，恒成立，所以有在R上单调递增.
因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以.
则 .
又.
根据零点存在性定理知，，使得，不满足题意；
当时，令，即，解得．
当时，；当时，.
所以在上单调递减；在上单调递增．
所以当时，取最小值．
又，
则要使函数不存在零点，应满足，恒成立，
只需，即，
即 ，
又，则，解得，
所以．
综上，实数a的取值范围是．
21．（12分）（2022·全国·高三专题练习）已知函数，.
(1)若函数是上的增函数求的取值范围；
(2)若函数恰有两个不等的极值点、，证明：.
【解题思路】（1）在上增函数等价于对恒成立转化为
（2）设为两个极值点则两式相减得
要证明：等价于证明，即两边同除
等价于证明：，换元解决.
【解答过程】（1），在上增函数等价于对恒成立.
即，设，，
0
－ 0 +
极小值
，故
（2）由
，由为两个极值点不妨设
则两式相减得
要证明：等价于证明
即两边同除
等价于证明：，设
即，
设，
由（1）可知：当时，恒成立，成立，
即，∴
∴在单调递减，∴
故成立.
22．（2022·广东·高三阶段练习）已知.
(1)若，求函数的单调区间和极值；
(2)若对都有成立，求实数a的取值范围.
【解题思路】（1）直接求导计算即可．
（2）将问题转化为，构造新函数在上单调递增即可，然后参变分离或者分类讨论都可以．
【解答过程】（1）
令，因为得或，列表如下：
x
+ 0 0 +
极大值 极小值
所以的单调增区间为和 单调减区间为
极大值为 ，极小值为
（2）对都有成立可转化化为：
设，则在，
故，在上恒成立
设，
则，，解得.
，，.
①当时，，
故，当时，，递增；
当时，，递减；
此时，，在上单调递增，故，符合条件.
②当时，同①，当时，递增；当时，递减；
∵，，
∴由连续函数零点存在性定理及单调性知，，.
于是，当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
∵，，∴，符合条件.
综上，实数的取值范围是.
