专题5.6 导数在研究函数中的应用（重难点题型检测）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2023·全国·高三专题练习）函数，则的单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】求出给定函数的导数，解导数大于0的不等式作答.
【解答过程】函数的定义域为，求导得：，由，解得，
所以的单调增区间是.
故选：B.
2．（3分）（2022·山东高三阶段练习）已知，则在上的最大值为（ ）
A． B． C． D．0
【解题思路】对求导得，令其为0，得到其单调性，最后得到最大值.
【解答过程】，且，
，令，（负舍），
，，，，
所以在上单调递减，在到上单调递增，又，所以在上的最大值是.
故选：B.
3．（3分）（2022·吉林·高三阶段练习（理））若函数在上存在极大值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】求出函数的导数，令，讨论a的取值范围，结合在上存在极大值点，结合二次函数性质列出相应不等式，即可求得答案.
【解答过程】由题意可得，
令，则 ，
当时，，当时，，递增，
当时，，递减，函数在时取极大值，符合题意；
当时，图象对称轴为，
此时要使函数在上存在极大值点，需满足，
即，则，
此时，在上递减，存在 ，使得，
则当时，，递增，当时，，递减，函数在时取极大值，符合题意；
当时，图象开口向下，对称轴为，
此时要使函数在上存在极大值点，需满足，
即，则，同上同理可说明此时符合题意，
综合上述，可知的取值范围为，
故选：D.
4．（3分）（2022·河南·模拟预测（文））已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】构造函数，利用导数与函数单调性的关系求得在上单调递减，从而判断得的大小关系.
【解答过程】令，则，
当时，，，则，所以在上单调递减，则，
因为，所以，
所以，
即，则，故，
所以，
故选：A.
5．（3分）（2022·吉林·模拟预测）设是函数的导函数，且，（e为自然对数的底数），则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】构造函数，由已知可得函数在上为增函数，不等式即为，根据函数的单调性即可得解.
【解答过程】令，则，
因为，
所以，
所以函数在上为增函数，
不等式即不等式，
又，，
所以不等式即为，
即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：C.
6．（3分）（2022·安徽·高三阶段练习）函数在区间上有零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】将题意转化成在区间上有解，设，利用导数求出的取值范围即可得到答案
【解答过程】解：由题意得在区间上有解，即在区间上有解，
设，所以
令，解得，
所以当，，单调递减；当，，单调递增，
所以，因为
所以，
所以实数a的取值范围是，
故选：B.
7．（3分）（2022·辽宁高三阶段练习）若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题设有，构造，利用导数研究其单调性及值域，将问题转化为在上恒成立，再构造结合导数求参数范围.
【解答过程】由，可得，
即，令，则在上恒成立，
所以，由可得，由可得，
所以在上递增，在上递减，且，
在上，上，而，
所以，必须且只需在上恒成立，即恒成立，
令，则，即在上递增，
故，
故a的取值范围为.
故选：D.
8．（3分）（2022·全国·高二课时练习）某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1万千克莲藕，成本增加1万元销售额（单位：万元）与莲藕种植量（单位：万千克）满足（为常数），若种植3万千克，销售利润是万元，则要使销售利润最大，每年需种植莲藕（ ）
A．6万千克 B．8万千克 C．7万千克 D．9万千克
【解题思路】由已知求参数a，再利用导数研究函数的单调性，进而确定销售利润最大时每年需种植莲藕量.
【解答过程】设当莲藕种植量为万千克时，销售利润为万元，则（）．
∵，
∴，即，则，
当时，，当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，故当时，取得最大值，
故要使销售利润最大，每年需种植莲藕8万千克．
故选：B.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·北京市高二期中）函数的一个单调递减区间是（ ）
A．（e，+∞） B． C．（0，） D．（，1）
【解题思路】利用导数求得的一个单调递减区间.
【解答过程】的定义域为，
，
所以在区间上，递减，
所以AD选项符合题意.
故选：AD.
10．（4分）（2022·云南·高三阶段练习）已知函数，则（ ）
A．是的极小值点 B．有两个极值点
C．的极小值为 D．在上的最大值为
【解题思路】利用导数分析函数的单调性与极值，可判断ABC选项；利用函数的最值与导数的关系可判断D选项.
【解答过程】因为，所以，
当时，；当时，，
故的单调递增区间为和，单调递减区间为，
则有两个极值点，B正确；
且当时，取得极小值，A正确；
且极小值为，C错误；
又，，所以在上的最大值为，D正确.
故选：ABD.
11．（4分）已知在处取得极大值，若有三个零点，则（ ）
A． B．
C．的极小值为 D．
【解题思路】根据极大值点可求解，可判断A,进而可得的单调性，可判断C,根据三个零点得可判断C，由单调性即可判断D.
【解答过程】因为，所以，所以．故A错，
因为 ，
当时， ，当和时， ，
所以在处取得极小值，在处取得极大值，
极小值为，极大值为，
若有三个零点，所以，所以，故BC正确，
因为，所以，又因为在上单调递增，所以,故D正确，
故选：BCD.
12．（4分）（2023·全国·高三阶段练习）已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．在上是增函数
B．，不等式恒成立，则正实数的最小值为
C．若有两个零点，则
D．若，且，则的最大值为
【解题思路】A选项中，令，利用导数可求得单调性，根据复合函数单调性的基本原则可知A正确；B选项中，利用导数可求得在上单调递增，由此可将恒成立的不等式化为，令，利用导数可求得，由可知B正确；C选项中，利用导数可求得的单调性，由此确定，若，可等价转化为，令，利用导数可求得单调性，从而得到，知，可得C错误；D选项中，采用同构法将已知等式化为，从而可确定，结合单调性得到，由此化简得到，令，利用导数可求得最大值，知D正确.
【解答过程】对于A，当时，，令，则，，
，当时，恒成立，在上单调递增；
在上单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上为增函数，A正确；
对于B，当时，，又为正实数，，
，当时，恒成立，在上单调递增，
则由得：，即，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
，则正实数的最小值为，B正确；
对于C，，当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；，则；
不妨设，则必有，
若，则，等价于，
又，则等价于；
令，则，
，，，，即，
在上单调递增，，即，
，可知不成立，C错误；
对于D，由，得：，即，
由C知：在上单调递减，在上单调递增；
，，则，，
，即，；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
即的最大值为，D正确.
故选：ABD.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·广东·高三期中）己知函数，则函数的单调递增区间是 ．
【解题思路】利用导数法求单调区间即可
【解答过程】函数，其定义域，
则在恒成立，
所以函数 的单调递增区间是.
故答案为：.
14．（4分）（2022·江苏省高三阶段练习）已知函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为 .
【解题思路】先利用同构得到，换元后得到，参变分离得到有两个不同的根，构造，求导得到其单调性，极值和最值情况，得到函数图象，数形结合得到，解出答案即可.
【解答过程】由题意得有两个不同的根，
即有两个不同的根，
变形为，即，
令，则，
其中令，，
恒成立，故在单调递增，
得到，
故有两个不同的根，
令，则，，
当时，，当时，，
故在处取得极大值，也是最大值，，
且当时，，当时，，
画出的图象如下图：
故时，有两个不同的根，
解得：.
故答案为：.
15．（4分）（2022·湖南·模拟预测）的两个极值点满足，则的最小值为 .
【解题思路】由已知函数求导，令则可得，代入极值点后两式作商，可得到的关系，作商得到的结果指对互换，便可解出，根据题目所求，代入后便可构造新的函数，通过求导可求得最小值.
【解答过程】由函数，，则，因为函数两个极值点，则
①，②，得③，设，则且，代入③得，
设，则，
设，则
，在单调递减，，从而，在单调递减，，故的最小值为.
故答案为：.
16．（4分）（2022·辽宁省高三阶段练习）已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的最小值为 .
【解题思路】由条件可得图像关于点对称且在上单调递增，原不等式等价于恒成立，即，求出的最大值即得.
【解答过程】因为，
所以图像关于点对称，
又，
所以在上单调递增，
等价于，
即恒成立，
所以，即恒成立，
令 ，可得，
而，当且仅当时取等号，
所以，即实数的最小值为.
故答案为：.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·山东·高二阶段练习）已知函数．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若函数在上是减函数，求实数的取值范围．
【解题思路】(1)先对函数求导，利用导数判断函数的单调区间；
(2)已知函数在上是减函数，可知知恒成立，利用参数分离法,求的最大值即可求解.
【解答过程】（1）当时，，
，
所以的单调递减区间是 ，单调递增区间是
（2）由函数在上是减函数，知恒成立，
．
由恒成立可知恒成立，则，
设，则，
由，知，
函数在上递增，在上递减，
∴，∴．
18．（6分）（2022·上海市高二期末）求函数．
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)求在区间上的最值．
【解题思路】（1）求导，计算导数大于0的解为原函数的单调递增区间，导数小于0为单调递减区间，递增递减的转折点为极大值点，递减递增的转折点为极小值点；（2）由第一小问的单调性，写出上的极值点和端点函数值，比较其大小可得最值.
【解答过程】（1） ，
令，得或；令，得，
所以在和上严格增，在上严格减，极大值为，极小值为；
（2）由（1）得在和上严格增，在上严格减，
又，，
所以最大值为，最小值为．
19．（8分）（2022·福建省高二阶段练习）茶起源于中国，盛行于世界，是承载历史文化的中国名片．武夷山，素有茶叶种类王国之称，茶文化历史久远，茶产业生机勃勃．2021年3月22日下午，习近平总书记来到福建武夷山星村镇燕子窠生态茶园考察．总书记强调，过去茶产业是你们这里脱贫攻坚的支柱产业，今后要成为乡村振兴的支柱产业．3月25日，人民论坛网调研组一行循着习总书记此次来闽考察的足迹，走访了福建武夷山．调研组了解到某茶叶文化推广企业研发出一种茶文化的衍生产品，十分的畅销．据了解，该企业年固定成本为50万元，每生产百件产品需增加投入7万元．在2021年该企业年内生产的产品为x百件，并能全部销售完．据统计，每百件产品的销售收入为万元，且满足．
（1）写出该企业今年利润关于该产品年销售量x百件的函数关系式；
（2）今年产量为多少百件时，该企业在这种茶文化衍生产品中获利最大？最大利润多少？
【解题思路】（1）由题意得可得，代入化简，即可得答案.
（2）由（1）得，，利用导数求得的单调性及最值，分析整理，即可得答案.
【解答过程】解：（1）依题意得：
；
（2）由（1）得，，
则，
令，得或（舍去）
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，有
答：当年产量为1百件时，该企业在这种茶文化衍生产品中获利最大且最大利润为25万元．
20．（8分）（2022·四川·一模（文））设函数（）．
(1)求的单调区间；
(2)若的两个零点且，求证：
【解题思路】（1）由题知，进而分和两种情况讨论求解即可；
（2）由题知，，进而将问题转化为证，再令，则，进而证明，再构造函数，，求解最小值即可证明.
【解答过程】（1）解：由已知，
当时，在恒成立，在上单调递增；
当时，由得，
若时，，在上单调递增，
若时，，在上单调递减；
综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）解：由题：（）
因为是函数的两个零点，
所以，，即，，
要证，
只需证明，即证，
只需证，即证，
令，而，则，只需证明，
令函数，，求导得：
令函数，，
求导得，
则函数在上单调递增，于是有，
因此，函数在上单调递减，
所以，即成立，
所以原不等式得证．
21．（8分）（2022·江苏苏州·高三阶段练习）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，在时恒成立，求实数的最小值.
【解题思路】（1）由题意可得，按和的取值分类讨论的正负即可得到的单调性；
（2）由题意不等式可化为在时恒成立，构造，利用导函数得只需对时恒成立即可，再构造，再次利用导函数即可求解的取值范围.
【解答过程】（1）由题意，令，得，
当时，
若，则，所以，
若，则，，所以；
当时，
若，则，所以，
若，则，，所以；
综上在单调递减，在单调递增.
（2）当时，即，即，
构造函数，即有对时恒成立，
，令，得，所以在上单调递减，在单调递增，
又时，时，，
所以只需要对时恒成立即可，
两边取对数，有对时恒成立，
又时，，所以对时恒成立，
令
，令，则，令，则
则在单调递增，在上单调递减，
最大值为，
所以的最小值为.
22．（8分）（2022·北京市高三阶段练习）已知函数，其中是自然对数的底数，.
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，求函数的最小值；
(3)当时，试确定函数的零点个数，并说明理由.
【解题思路】（1）先对函数求导，令导函数大于0得到递增区间，令导函数小于0得到递减区间；
（2）根据（1）确定的函数单调性，讨论与，的关系，得到函数在，上的单调性，进而可得函数的最小值．
（3）由，得方程，显然为此方程的一个实数解．当时，方程可化简为．构造函数，利用导数得到的最小值即可求解.
【解答过程】（1）因为，所以，
令，得
当变化时，和的变化情况如下：
0
故的单调减区间为；单调增区间为．
（2）由（1）得的单调减区间为；单调增区间为．
所以当，即时，在，上单调递增，
故在，上的最小值为；
当，即时，
在上单调递减，在上单调递增，
故在，上的最小值为；
当，即时，在上单调递减，
故在，上的最小值为 ．
所以函数在，上的最小值为．
（3）结论：函数有且仅有一个零点．
理由如下：
由，得方程，
显然为此方程的一个实数解．所以是函数的一个零点．
当时，方程可化简为．
设函数，则，
令，得．
当变化时，和的变化情况如下：
0
极小值
即的单调增区间为；单调减区间为．
所以的最小值．
因为，所以，
所以对于任意，，因此方程无实数解．
所以当时，函数不存在零点．
综上，函数有且仅有一个零点．专题5.6 导数在研究函数中的应用（重难点题型检测）
【人教A版2019选择性必修第二册】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2023·全国·高三专题练习）函数，则的单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）（2022·山东高三阶段练习）已知，则在上的最大值为（ ）
A． B． C． D．0
3．（3分）（2022·吉林·高三阶段练习（理））若函数在上存在极大值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2022·河南·模拟预测（文））已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（2022·吉林·模拟预测）设是函数的导函数，且，（e为自然对数的底数），则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（2022·安徽·高三阶段练习）函数在区间上有零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）（2022·辽宁高三阶段练习）若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）（2022·全国·高二课时练习）某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1万千克莲藕，成本增加1万元销售额（单位：万元）与莲藕种植量（单位：万千克）满足（为常数），若种植3万千克，销售利润是万元，则要使销售利润最大，每年需种植莲藕（ ）
A．6万千克 B．8万千克 C．7万千克 D．9万千克
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·北京市高二期中）函数的一个单调递减区间是（ ）
A．（e，+∞） B． C．（0，） D．（，1）
10．（4分）（2022·云南·高三阶段练习）已知函数，则（ ）
A．是的极小值点 B．有两个极值点
C．的极小值为 D．在上的最大值为
11．（4分）已知在处取得极大值，若有三个零点，则（ ）
A． B．
C．的极小值为 D．
12．（4分）（2023·全国·高三阶段练习）已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．在上是增函数
B．，不等式恒成立，则正实数的最小值为
C．若有两个零点，则
D．若，且，则的最大值为
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·广东·高三期中）己知函数，则函数的单调递增区间是 ．
14．（4分）（2022·江苏省高三阶段练习）已知函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为 .
15．（4分）（2022·湖南·模拟预测）的两个极值点满足，则的最小值为 .
16．（4分）（2022·辽宁省高三阶段练习）已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的最小值为 .
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·山东·高二阶段练习）已知函数．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若函数在上是减函数，求实数的取值范围．
18．（6分）（2022·上海市高二期末）求函数．
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)求在区间上的最值．
19．（8分）（2022·福建省高二阶段练习）茶起源于中国，盛行于世界，是承载历史文化的中国名片．武夷山，素有茶叶种类王国之称，茶文化历史久远，茶产业生机勃勃．2021年3月22日下午，习近平总书记来到福建武夷山星村镇燕子窠生态茶园考察．总书记强调，过去茶产业是你们这里脱贫攻坚的支柱产业，今后要成为乡村振兴的支柱产业．3月25日，人民论坛网调研组一行循着习总书记此次来闽考察的足迹，走访了福建武夷山．调研组了解到某茶叶文化推广企业研发出一种茶文化的衍生产品，十分的畅销．据了解，该企业年固定成本为50万元，每生产百件产品需增加投入7万元．在2021年该企业年内生产的产品为x百件，并能全部销售完．据统计，每百件产品的销售收入为万元，且满足．
（1）写出该企业今年利润关于该产品年销售量x百件的函数关系式；
（2）今年产量为多少百件时，该企业在这种茶文化衍生产品中获利最大？最大利润多少？
20．（8分）（2022·四川·一模（文））设函数（）．
(1)求的单调区间；
(2)若的两个零点且，求证：
21．（8分）（2022·江苏苏州·高三阶段练习）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，在时恒成立，求实数的最小值.
22．（8分）（2022·北京市高三阶段练习）已知函数，其中是自然对数的底数，.
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，求函数的最小值；
(3)当时，试确定函数的零点个数，并说明理由.
