专题5.7 导数中的恒成立、存在性问题大题专项训练（30道）
【人教A版2019选择性必修第二册】
姓名：___________班级：___________考号：___________
1．（2022·广东·高三阶段练习）已知.
(1)若，求函数的单调区间和极值；
(2)若对都有成立，求实数a的取值范围.
【解题思路】（1）直接求导计算即可．
（2）将问题转化为，构造新函数在上单调递增即可，然后参变分离或者分类讨论都可以．
【解答过程】（1）
令，因为得或，列表如下：
x
+ 0 0 +
极大值 极小值
所以的单调增区间为和 单调减区间为
极大值为 ，极小值为
（2）对都有成立可转化化为：
设，则在，
故，在上恒成立
方法一：（含参讨论）
设，
则，，解得.
，，.
①当时，，
故，当时，，递增；
当时，，递减；
此时，，在上单调递增，故，符合条件.
②当时，同①，当时，递增；当时，递减；
∵，，
∴由连续函数零点存在性定理及单调性知，，.
于是，当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
∵，，∴，符合条件.
综上，实数的取值范围是.
方法二：（参变分离）
由对称性，不妨设，
则即为.
设，则在上单调递增，
故在上恒成立.
∵，∴在上恒成立
，.
设，，则，.
设，，
则，.
由，，得在，上单调递增；
由，，得在，上单调递减.
故时；
时.
从而，，，
又时，，故，，
，单调递减，，.
于是，.
综上，实数的取值范围是.
2．（2022·四川·高三阶段练习（理））已知函数，
(1)求极大值；
(2)若恒成立，求k的取值范围．
【解题思路】(1)对函数求导，根据导函数的正负确定函数的单调性，进而求出函数的极大值；
(2)先对函数求导，确定不等式成立的必要条件，再进一步证明不等式成立的充分性即可得证.
【解答过程】（1）
，单调递减，
，单调递减，
所以极大值为.
（2），
，
，
①若，由函数连续性，，当，所以单调递减，，所以单调递减，，与题意矛盾
②所以，即是命题“恒成立的必要条件．
下面证明：是命题“恒成立”的充分条件
即只需要证明：当，不等式恒成立
设，由（1）问，所以在上单调递减，即，
记，
，
所以单调递增，，
综上.
3．（2022·江苏·高三阶段练习）已知，函数．
(1)证明存在唯一极大值点；
(2)若存在，使得对任意成立，求的取值范围．
【解题思路】（1）求导，再对求导，判断其单调性，然后结合零点存在性定理进而可知有唯一零点，结合极值点定义可证得结论；
（2）题目转化为，构造，利用导数研究函数的单调性，求其最值，即可得解.
【解答过程】（1）函数，求导，
令，则
又，，在上单调递减，
当时，，当时，，
故存在，使得
当，，故函数在上单调递增，
当，，故函数在上单调递减，
所以存在唯一极大值点；
（2）由题知，存在，使得对任意成立，
即存在，使得对任意成立，
由（1）知，，且，即，
，
即存在，使得恒成立，
构造，即存在，使得恒成立，
即存在，对任意恒成立，
求导
令，求得，，即，，
当，，故函数在上单调递增，
当，，故函数在上单调递减，
当，，故函数在上单调递增，
所以，
由时，，
因为，所以，即，则在上恒成立，
所以的取值范围是.
4．（2022·河北·模拟预测）已知.
(1)当时，求的单调性；
(2)若恒大于0，求的取值范围.
【解题思路】（1）将代入，先求函数的定义域，再化简函数，求导函数，根据导函数的符号得到函数的单调性；
（2）先求函数的定义域，将函数恒大于0转化为不等式恒成立，构造函数，根据单调性将原不等式转化为，求函数的最大值，解得a的取值范围.
【解答过程】（1）当时，
.
，则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，的单调减区间为，单调增区间为；
（2）要使有意义，则，且，
恒大于0，即恒成立，
则，可得，
因为函数为增函数，所以，即，
令，
则，当时，单调递增，
当时，单调递减，
的最大值为，可得，则.
所以的取值范围是.
5．（2022·江苏·高二期末）已知函数，.
(1)若曲线在点处的切线经过点，求a的值；
(2)当时，恒成立，求a的取值范围．
【解题思路】（1）求出，根据已知可得，又，即可解出a的值；
（2）不等式可化为对恒成立. 设，，则只需即可.求出，利用导函数研究单调性，求出即可得到结果.
【解答过程】（1）.
根据导数的几何意义可得，曲线在点处的切线的斜率
，
又，切线过，则，
所以，，所以.
（2）当时，恒成立，所以恒成立，
即对恒成立.
设，，则只需即可.
又，设，
则在上恒成立，即在上递减.
又，则当时，，则，单调递增；
当时，，则，单调递减．
，
，即实数a的取值范围是.
6．（2022·安徽·高三阶段练习（理））已知函数.
(1)若时，取得极值，求的单调区间；
(2)若函数，求使恒成立的实数的取值范围.
【解题思路】（1）首先求函数的导数，利用极值点，求，再求函数的单调区间；
（2）首先不等式变形为，再利用换元和参变分离为，，转化为利用导数求函数的最值问题，即可求解.
【解答过程】（1），
因为函数在处取得极值，所以，则，
当时，，得
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，函数取得极大值，
综上可知函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是；
（2），恒成立，
即，设，，所以函数单调递增，，
不等式转化为，时恒成立，
转化为恒成立，即，
设，，解得：，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以当时，函数取得最小值，最小值是，
所以实数的取值范围为.
7．（2022·河北·高三期中）已知函数.
(1)若，求的单调区间；
(2)记函数，若恒成立，试求实数的取值范围.
【解题思路】（1）由题意得，令求出零点，即可得的单调区间；
（2）恒成立，转化为恒成立，令，求导后，转化成两个函数的交点问题讨论函数单调性，即可求出实数的取值范围.
【解答过程】（1）解：由题意得函数的定义域为，
若，则，
令，则，
而，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减；
（2）解：若恒成立，
则，
整理得，则，
设，则，
令，则，
整理得，
设，，可知两个函数均过定点，
若，即时，
为的切线，切点为，
①当，即时，，，不在定义域，不合题意；
②当，即时，
在区间，恒有，，
所以在单调递增，，
则，符合题意；
③当，即时，
设零点为，则
所以在上单调递减，在单调递增，
，
因为，
则，
又因为，所以且，与矛盾；
综上所述，实数的取值范围为.
8．（2022·黑龙江·高三阶段练习）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若为整数，且恒成立，求的最大值.
【解题思路】（1）求出函数的定义域和，分情况讨论和，即可得到函数的单调性；
（2）不等式恒成立，可转化为在上恒成立，令，则只需即可. 求出，根据导函数求出最值即可.本题中，因为不好求解，两次求导得到导函数单调性，转化为隐零点问题，得到，使得，逐步得到，从而求得的最大值.
【解答过程】（1）的定义域为，.
当时，，则在上单调递增；
当时，解，即，得（舍去负值）；
解，即，得，所以在上单调递增；解，即，得，所以在上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）由已知可得，恒成立，，
即在上恒成立.
令，则只需即可.，
令，在上恒成立，所以单调递增.
且，，
所以，，使得，且当时，，当时，.
即，使得，且当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
所以，在处取得唯一极小值，也是最小值.
又，则.
所以，
令，，，，
则，当时，，
所以，在上单调递增，
从而在上单调递减，则，
又，，
所以，所以.
又为整数，，所以的最大值为0.
9．（2022·北京高三阶段练习）设函数.
(1)若曲线在点处的切线斜率为，求的值；
(2)若存在两个极值点，且对任意恒成立，求实数的取值范围.
【解题思路】（1）求出，令，求解可得答案；
（2）令得，，当由可得，令，求导利用单调性可得答案； 当根据，令可得求解可得答案.
【解答过程】（1），
所以，解得；
（2），令得，
解得，或时且，
当即时，，对任意恒成立，
得可得，，
时成立，时，有在恒成立，
令，，所以在单调递减，
有，所以；
当即时，，对任意恒成立，求实数的取值范围，即在上恒成立，
因为，可得，
解得，
当即时，重合，不符合题意，
综上所述，或.
10．（2022·广西贵港·高三阶段练习）已知函数.
(1)证明不等式：，；
(2)若，，使得，求证：.
【解题思路】(1)移项构造新函数,应用导数求函数的单调性,根据最值证明结论成立.
(2)根据,得到,
结合(1)及函数的单调性求出,换元证明成立即可.
【解答过程】（1）令，，则，
故在上单调递增，故，
即，所以，，当且仅当时，等号成立；
（2）由得，
整理得，
不妨设，由（1）可知在上单调递增，
故有，从而，
所以，
所以.
下面证明，即证，
令，即证明，其中，故只需证明.
设，则，所以在上单调递增，
所以，
所以，即，所以.
11．（2022·河南·高二期末（文））设函数.
(1)时，求的最小值；
(2)若在恒成立，求的取值范围.
【解题思路】(1)把代入后对函数求导，结合导数与单调性的关系可求函数的单调性，进而可求最值；
(2)结合导数研究函数的单调性，然后结合函数的性质可求.
【解答过程】（1）当时，，，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
故当时，函数取得最小值.
（2） ，
令，则，
①当时，,函数在上单调递增，，即，
所以在上单调递增，，满足题意；
②当时，由可得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增
当时，即，在单调递减，
所以,与恒成立矛盾，故不符合题意.
综上可得,的范围为.
12．（2022·陕西汉中·模拟预测（理））已知函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围.
【解题思路】(1)利用函数的导数的符号，判断函数的单调性，即可求出函数的单调区间.
(2)将原不等式进行参变分离得，然后构造函数，从而把不等式问题转化为，求大于或等于函数的最大值问题，即可求出的取值范围.
【解答过程】（1）依题意，令，得，
由，得；由，得，
的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）当时，不等式等价于，
设，则，
令，得，
当在区间内变化时，随的变化情况如下表：
0
极大值
由上表可知，当时，函数在上有唯一极大值，也是其最大值，
恒成立等价于，
故的取值范围是.
13．（2022·江苏省高三阶段练习） 已知函数满足．
(1)求的解析式，并求在上的值域；
(2)若对且，都有成立，求实数k的取值范围．
【解题思路】（1）首先利用方程组法求出的表达式，再利用函数图像，结合定义域即可分析值域.
（2）首先通过移项后，构造新函数，再利用在所给区间上大于等于恒成立，得到关于的不等式吗，解出的范围即可.
【解答过程】（1）因为①
所以②
联立①②，解得：，
则为对勾函数，作图如下.
由图像可知单调区间为
所以单调递增，单调递减，则在上，在处取得最大值，当时，，在时，，，所以当时，取最小值.
即
（2）因为，移项得
令，则由上式恒成立得当时，单调递增，
所以在恒成立，即在恒成立，
所以 ，即.
14．（2022·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)讨论函数的极值；
(2)当时，若存在q，使得不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解题思路】（1）先求定义域，再求导，分与两种情况，得到函数的单调性和极值情况；
（2）转化为，构造，分与两种情况，证明出时不成立，当时，转化为有解问题，构造函数，，则，求导，得到实数的取值范围.
【解答过程】（1）函数的定义域为，且，
当时，，此时在上单调递增，无极值；
当时，由，得，由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
此时函数的极小值为，无极大值，
综上，当时，函数无极值；当时，函数的极小值为，无极大值；
（2）当时，等价于．
令，
则恒成立，，
若，则恒成立，故单调递增，
且，
故不恒成立，不合题意．
若，则由，得，
由，得，
故在上单调递增，在上单调递减，
故．
所以，即．
所以原问题转化为存在，使得有解．
令，，则，
．
令，显然单调递增，
且，
所以当时，，即，
当时，，即，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，
则．
综上，实数的取值范围是.
15．（2022·山东·高三期中）已知函数，.
(1)若的最大值是1，求的值；
(2)若对其定义域内任意，恒成立，求的取值范围.
【解题思路】（1）先求定义域，再求导，分与两种情况，分类讨论得到当，时，取得最大值，列出方程，求出的值；
（2）转化为在上恒成立问题，构造，二次求导，利用隐零点求出，取对数后，利用同构得到，求出在处取得最大值，列出不等式，求出的取值范围.
【解答过程】（1）的定义域为，.
若，，在定义域内单调递增，无最大值；
若，令,解得：，令，解得：，
故时，单调递增，时，单调递减.
时，取得极大值，也是最大值，故，
；
（2）原式恒成立，即在上恒成立，
即在上恒成立.
设，则.
设，则，
在上单调递增，且，.
有唯一零点，且，
即.
两边同时取对数，得，易知是增函数，
，即.
因为，所以当时，，
当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，也是最大值，
，
，
，
故的取值范围是.
16．（2022·全国·模拟预测）已知函数，（，是自然对数的底数）．
(1)若直线与曲线，都相切，求a的值；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）利用导数的几何意义分别求出曲线，的过原点的切线，列方程即可求得a的值；
（2）先讨论的情况，再讨论的情况，分离参数，将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，利用导数研究函数的单调性和最值，进而得出结果．
【解答过程】（1）解：设直线与曲线，分别切于点，，
易知，，
∴ ，
∴与曲线切于点P的直线方程为，
∵直线过原点，
∴ ，
整理得，
，切线方程为．
易知，，
，
∴ 与曲线切于点Q的直线方程为，
整理得，
，
．
（2）解：由，得，
令，
则，
当时，，递减；
当时，，递增，
，
，
，
当时，，
恒成立．
当时，，
令，，
则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，
，
∴ 实数a的取值范围是．
17．（2022·四川·高三期中（文））已知函数是自然对数的底数）.
(1)若函数在处的切线方程为，求实数的值；
(2)若，使得成立，求实数的取值范围.
【解题思路】（1）首先对函数求导，再求出在处的导数值，根据题目所给直线的斜率即可求解.
（2）首先构造新函数，根据题意的分析，只要即可，然后通过对分类讨论，求出的最小值即可.
【解答过程】（1）由题意，知，则.
因为函数在处的切线方程为，
所以，解得.
（2）令，
则，即，
所以，即
因为，使得成立，
即，使得成立，
所以.
①当时，在上恒成立，函数在区间上单调递增，
所以，
所以.
②当时，令，解得；令，解得，
所以函数在区间上单调递减，在上单调递增，
所以，即，故.
综上所述，实数的取值范围为.
18．（2022·全国·模拟预测）已知函数，.
(1)讨论函数在区间上的最大值；
(2)当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围.
【解题思路】（1）先确定函数的定义域，然后求导，利用导数研究函数的单调性，最后分类讨论即可得函数在区间上的最大值；
（2）先分离参数，将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，再利用导数求函数的最值即可.
【解答过程】（1）由题意可得函数的定义域为.
，
令，得.
所以当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
当，即时，函数在区间上单调递增，
故函数的最大值为.
当，即时，函数在区间上单调递增，在上单调递减，
故函数的最大值为.
综上，当时，函数在区间上的最大值为；
当时，函数在区间上的最大值为.
（2）当时，不等式恒成立，即，
也就是恒成立.
令，则.
，
令，，在上单调递减，
又，，故在上有唯一零点，
不妨设该零点为，则，
则当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减.
故，又，
所以，，所以.
故，解得，故实数t的取值范围为.
另解：
当，不等式恒成立，即，
也就是恒成立.
令，则，则.
，故当时，，单调递增，
当时，，单调递减，故，
故，解得，故实数t的取值范围为.
19．（2022·辽宁抚顺·高三期中）已知函数．
(1)讨论在上的单调性；
(2)若不等式恒成立，求的取值范围．
【解题思路】（1）根据函数求解导数，故按照，确定导函数正负区间，得函数到单调性；
（2）根据不等式，参变分离得恒成立，故可构造函数确定函数的单调性求最小值，则求得的取值范围．
【解答过程】（1）解：因为，，所以．
当时，由，得；由，得．
则在上单调递减，在上单调递增．
当时，由，得；由，得．
则在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）解：不等式恒成立，即不等式恒成立，即等价于恒成立．
设，则．
设，则．
设，则．
由，得，所以在上单调递增，
则，即，故在上单调递增．
因为，所以在上单调递增，
则，得，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则．
故，即的取值范围是．
20．（2022·云南·高三阶段练习）已知函数，其中，设为的导函数.
(1)若，证明：；
(2)若时，恒成立，求的取值范围.
【解题思路】（1）由题设，利用导数研究的单调性并确定区间最值，即可证结论；
（2）由题设及（1）易知在上递增，则，结合讨论、研究的单调性，结合恒成立确定参数范围.
【解答过程】（1）由题设，则，
所以，令，故，
所以在R上单调递增，而，
故上，上，
则上递减，上递增，故，得证.
（2）由，则，
由（1）知：上，故在上递增，
所以，而，
当时，即，趋向时趋向，故使，
所以上，递减，上，递增，
故，不满足恒成立；
当时，即，故在上，
所以上递增，此时恒有，满足恒成立；
综上，时，时恒成立.
21．（2022·福建龙岩·高三期中）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线与直线：垂直，求；
(2)若对，存在，使得有解，求的取值范围．
【解题思路】（1）求导，得到，根据切线与直线垂直得到斜率乘积为-1，列出方程，求出；
（2）问题转化为当时，，，对求导，对导函数因式分解，结合和的取值范围及导函数两零点的大小，对进行分类讨论，求出不同范围下的的最小值，在构造关于的函数，求导研究其单调性，极值，最值情况，从而求出的取值范围.
【解答过程】（1）,
则,
因为曲线在点处的切线与直线：垂直，
所以，解得：；
（2），存在，使得有解，
等价于当时，，，
，
当时，，即在上单调递增，
所以，所以，即；
当时，，易得在上单调递增，
故，即，恒成立，
即，恒成立，
令，则在上单调递增，
所以当时，，所以；
当时，，故在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以此时，恒成立，
①当时，恒成立，此时，
②当时，，可转化为，，
设，，，
则，令，得，
当，，令，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，，
即，
③当时，，可转化为，恒成立，
即，，
设，，
，，
则，
令，，令，，令，，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极小值，也是最小值，
，即，
又，所以，
综上：的取值范围是.
22．（2023·浙江温州·模拟预测）已知，函数的最小值为2，其中，．
(1)求实数a的值；
(2)，有，求的最大值．
【解题思路】(1)根据题意求出函数的解析式，利用导数讨论函数的单调性，求出函数的最小值，列出方程，解之即可；
(2)根据题意可得，即在上恒成立且在上恒成立，利用导数分别研究函数和的单调性，进而求出、，由可得，即可求解.
【解答过程】（1）由题意知，，
则，
令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，
所以，解得，
经检验，符合题意.
故.
（2）由，得
，即，
对于，可得不等式在R上恒成立，
即在R上恒成立，
设，则，
若，则，函数在R上单调递增，
且，符合题意；
若，令，令，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
由，得，即①；
对于，可得不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
设，则，
若，则，不符合题意；
若，令，令，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
由，得，即②.
当时，由①②得，，即，
设，则，，
故存在零点，故当且仅当，时等号成立.
综上，的最大值为1.
23．（2022·江苏·高二期末）已知函数，．设函数与有相同的极值点．
(1)求实数a的值；
(2)若对，，不等式恒成立，求实数k的取值范围；
【解题思路】（1）利用导数得出函数的极值点，再令即可得出的值，再进行验证即可；
（2）首先求出与在上的最值，再对分正负讨论，把已知不等式变形等价转化，即可求出参数的取值范围．
【解答过程】（1）解：因为，
所以，
由得，由得，
所以在上单调递增，在单调递减，从而的极大值为，
又，所以，
依题意，是函数的极值点，所以，解得，
所以，
则当或时，，当或时，，
所以在和上单调递增，在和上单调递减；
所以函数在处取得极小值，
即当时，函数取到极小值，符合题意，故1；
（2）解：由（1）知，由于，，，
显然，
故时，，，
又，，，故，
所以当时，，，
①当时，问题等价于，
所以恒成立，即，
，，故符合题意；
②当时，问题等价于，
即恒成立，即，
因为，．
综上或.
24．（2022·山东·高三期中）已知函数
(1)当时，求的极值；
(2)若 且 恒成立，求实数a的取值范围.
【解题思路】（1）求定义域，求导，根据导函数的正负求出函数的极值情况；
（2）不等式变形为，构造，求导后得到，对分类讨论，求出每种情况下的实数a的取值范围，即得.
【解答过程】（1）当时，，定义域为，
则
令，得，或．
当x变化时，的变化情况如下：
x
+ 0 - 0 +
单调递增 单调递减 单调递减
因此，当时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为；
（2）因为等价于，
令，
则，
（ⅰ）若，对于函数，有，
所以恒成立，
故当时，不等式恒成立；
（ⅱ）若，
当时，，
所以，
故不等式恒成立；
现探究当时的情况：
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极小值点，
要使不等式成立，只需，
解得：，
故当时，不等式恒成立；
（ⅲ）若，
当时，，
所以，
故不等式恒成立；
现探究当时的情况：
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极小值点，
要使不等式成立，只需，
即．
设，则化为，
因为，所以在上为增函数，
于是，由及，得，
故当时，不等式恒成立；
综上，实数a的取值范围为．
25．（2022·北京高三阶段练习）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在处取得极小值，求的值；
(3)若存在正实数，使得对任意的，都有，求的取值范围．
【解题思路】（1）由导数的几何意义求解；
（2）由求得值，并验证此时是极小值点；
（3）求出导函数，，然后根据的正负或0分类，注意由导函数的连续性得出在（存在正实数）上与同号，从而得函数的单调性，得函数值的正负．
【解答过程】（1），，又，
∴切线方程为；
（2）由（1），函数在处取得极小值，则，即，，
设，则，，由的图象的连续性知在附近是正值，
因此在附近是递增的，又，
所以在附近从左到右，由负变正，在左侧递减，在右侧递增，是极小值，符合题意；
所以．
（3），，
当，即时，由的图象的连续性知必存在，使得对任意，，对应递增，因此，不合题意，
当，即时，由的图象的连续性知必存在，使得对任意，，对应递减，因此，满足题意，
时，，时，，，恒成立，在上递增，，不合题意，
综上，的取值范围是．
26．（2022·上海高二期末）已知函数 为实常数）．
(1)若，求证：在上是增函数；
(2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的值；
(3)若存在，使得成立，求实数的取值范围．
【解题思路】(1)利用导数大于零即可证明；(2)利用导数讨论函数的单调性即可求解给定区间内的最值；(3)利用导数讨论单调性与最值，即可解决能成立问题.
【解答过程】（1）由题可知函数的定义域，
因为,所以，所以，
令解得，
所以在上是增函数.
（2）因为,所以，所以，
令解得，令解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数有最小值为，
因为，
所以当时，函数有最大值为.
（3）由得，即，
因为，所以，所以，
且当时，所以在恒成立，所以，
即存在时，，
令，，
令，
令，解得，
令，解得，
所以在单调递减，单调递增，
所以，
所以时，恒成立，
所以，
所以实数的取值范围是.
27．（2023·北京·高三专题练习）已知是函数的一个极值点．
(1)求值；
(2)判断的单调性；
(3)是否存在实数，使得关于的不等式的解集为 直接写出的取值范围．
【解题思路】（1）求导得到导函数，根据计算得到答案.
（2）求导得到，根据导数的正负得到单调区间.
（3）先证明，，计算得到，且，得到答案.
【解答过程】（1），则，
，解得.
，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
故是函数的极大值点，满足.
（2），
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
（3），
当，易知，，故.
故，满足条件.
当时，设，故，
故，即，
当时，设，，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
故，故.
，
即可以无限接近.
综上所述：.
28．（2022·上海市高二期末）已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数在区间上的最大值为12，求实数的值；
(3)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．
【解题思路】（1）先求导，对和进行分类讨论，结合二次函数性质，由导数正负确定原函数增减，即可求解；
（2）由于与1，2的大小关系不确定，故需分为，，三类情况分类讨论，由导数正负确定原函数增减，进而确定在上，解出对应值；
（3）采用分离参数法得，，令，求得，再令，利用二阶导确定一阶导的单调性和正负，进而确定原函数的单调性和正负，进而得解.
【解答过程】（1）由得，当时，，故在上单增；
当时，令，解得，
时，，单增；
时，，单减；
时，，单增；
综上所述，当时，在上单增；当时，在单增；在单减；在当单增；
（2）由（1）可知，当时，在上单增，故当时，，解得，故；
当时，令，解得，
和时，，单增；
时，，单减；
故最大值在或处取到，，
解得（舍去），，解得舍去；
当，即时，时，，单增；时，，单减，
故，解得，故；
当时，即时，时，，单减，
故，解得（舍去），
综上所述，或
（3）要使在区间上恒成立，即对于任意恒成立，分离参数得，，令，
则，令，
则，故在单增，，
故，即在成立，故在单增，
，所以.
29．（2022·全国·模拟预测）设函数，为的导函数.
(1)当时，
①若函数的最大值为0，求实数的值；
②若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围.
(2)当时，设，若，其中，证明：.
【解题思路】(1)① 当时，对求导，得到函数单调性，即可求得函数的最值.
② 要求恒成立时的取值范围，等价于，构造新的函数，将问题转化为求新构造函数的最大值，问题即可解决.
(2)当时，，求导即可得到的函数表达式，对求导，得到函数的图像，设，则要证明，只需要证明，构造新函数，求导研究函数的单调性，证明在上恒成立即可.
【解答过程】（1）当时，.
①易知，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
故，所以.
②解法一，不等式.
设（），，
则由① 知，所以存在实数，使得不等式成立，
等价于存在实数，使得成立.
易知在上单调递减，所以，
所以，即实数的取值范围为.
解法二，不等式.
设，
则存在实数，使得不等式成立，等价于存在实数，使得成立.易知，
当时，易知，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，即实数的取值范围为.
（2）当时，，，
所以，所以，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
且当时，，当时，，故可作出的大致图象如图所示.
不妨设，由图易知.要证，只需证.
因为在上单调递减，所以只需证，
又，所以只需证对任意的恒成立.
设，
则.
设，
则，因为当时，，，
所以所以在上单调递减，所以，
又当时，，
所以，所以在上单调递增，所以，
即在上恒成立，又，
所以，原不等式得证.
30．（2022·天津市高三阶段练习）已知函数.
(1)设，求函数的极值；
(2)设，求证：存在唯一的，使得函数的图象在点处的切线与函数的图象也相切；
(3)设，对于任意，总存在，使成立，求实数的取值范围.
【解题思路】(1)由题意可得，令，得，再根据导数的正负确定函数的单调性从而即可得函数的极值；
(2)由题意可得在处的切线方程为，只需证明此直线与曲线相切，假设此直线与相切于点，将问题转化为证明方程在上存在唯一解即可，构造函数，利用导数证明函数在上单调且只有一个零点即可；
(3)由题意可得在上恒成立，利用导数得,所以即转化为在上恒成立，令，只需在上恒成立，利用导数即可解决.
【解答过程】（1）解：因为，
所以，
令，解得，
所以当时， ，单调递减；当时， ，单调递增；
所以函数只有极小值，极小值
（2）证明：因为，
所以，
又因为，
所以在处的切线方程为，
假设此直线与曲线相切于点，
因为，
所以切线的斜率且，
所以，
所以，
化简为(>1)，
下面证明此方程在上存在唯一解.
令，
则，
令，
则，
所以当时，单调递增，
又因为，，
又为在(1,2)上连续，
所以在(1,2)上存在唯一零点，设为，
则有，即，
当时，，即，单调递减；
当时，，即，单调递增；
所以，，
所以在内存在唯一零点.
所以存在唯一的，使得函数的图象在点处的切线与函数的图象也相切；
（3）解：因为，
所以
令，则有，
又因为，
所以有，
又因为，在上单调递增，
所以，
所以在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以,
所以在上恒成立，
令，
则，且在上恒成立，
因为，
当时，，在上单调递减，，不合题意；
当时，令，得，
当，即时，在上单调递减，存在，不合题意；
当，即时，在上单调递增，，满足题意.
综上所述，实数的取值范围为：.专题5.7 导数中的恒成立、存在性问题大题专项训练（30道）
【人教A版2019选择性必修第二册】
姓名：___________班级：___________考号：___________
1．（2022·广东·高三阶段练习）已知.
(1)若，求函数的单调区间和极值；
(2)若对都有成立，求实数a的取值范围.
2．（2022·四川·高三阶段练习（理））已知函数，
(1)求极大值；
(2)若恒成立，求k的取值范围．
3．（2022·江苏·高三阶段练习）已知，函数．
(1)证明存在唯一极大值点；
(2)若存在，使得对任意成立，求的取值范围．
4．（2022·河北·模拟预测）已知.
(1)当时，求的单调性；
(2)若恒大于0，求的取值范围.
5．（2022·江苏·高二期末）已知函数，.
(1)若曲线在点处的切线经过点，求a的值；
(2)当时，恒成立，求a的取值范围．
6．（2022·安徽·高三阶段练习（理））已知函数.
(1)若时，取得极值，求的单调区间；
(2)若函数，求使恒成立的实数的取值范围.
7．（2022·河北·高三期中）已知函数.
(1)若，求的单调区间；
(2)记函数，若恒成立，试求实数的取值范围.
8．（2022·黑龙江·高三阶段练习）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若为整数，且恒成立，求的最大值.
9．（2022·北京高三阶段练习）设函数.
(1)若曲线在点处的切线斜率为，求的值；
(2)若存在两个极值点，且对任意恒成立，求实数的取值范围.
10．（2022·广西贵港·高三阶段练习）已知函数.
(1)证明不等式：，；
(2)若，，使得，求证：.
11．（2022·河南·高二期末（文））设函数.
(1)时，求的最小值；
(2)若在恒成立，求的取值范围.
12．（2022·陕西汉中·模拟预测（理））已知函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围.
13．（2022·江苏省高三阶段练习） 已知函数满足．
(1)求的解析式，并求在上的值域；
(2)若对且，都有成立，求实数k的取值范围．
14．（2022·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)讨论函数的极值；
(2)当时，若存在q，使得不等式恒成立，求实数的取值范围．
15．（2022·山东·高三期中）已知函数，.
(1)若的最大值是1，求的值；
(2)若对其定义域内任意，恒成立，求的取值范围.
16．（2022·全国·模拟预测）已知函数，（，是自然对数的底数）．
(1)若直线与曲线，都相切，求a的值；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围．
17．（2022·四川·高三期中（文））已知函数是自然对数的底数）.
(1)若函数在处的切线方程为，求实数的值；
(2)若，使得成立，求实数的取值范围.
18．（2022·全国·模拟预测）已知函数，.
(1)讨论函数在区间上的最大值；
(2)当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围.
19．（2022·辽宁抚顺·高三期中）已知函数．
(1)讨论在上的单调性；
(2)若不等式恒成立，求的取值范围．
20．（2022·云南·高三阶段练习）已知函数，其中，设为的导函数.
(1)若，证明：；
(2)若时，恒成立，求的取值范围.
21．（2022·福建龙岩·高三期中）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线与直线：垂直，求；
(2)若对，存在，使得有解，求的取值范围．
22．（2023·浙江温州·模拟预测）已知，函数的最小值为2，其中，．
(1)求实数a的值；
(2)，有，求的最大值．
23．（2022·江苏·高二期末）已知函数，．设函数与有相同的极值点．
(1)求实数a的值；
(2)若对，，不等式恒成立，求实数k的取值范围；
24．（2022·山东·高三期中）已知函数
(1)当时，求的极值；
(2)若 且 恒成立，求实数a的取值范围.
25．（2022·北京高三阶段练习）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在处取得极小值，求的值；
(3)若存在正实数，使得对任意的，都有，求的取值范围．
26．（2022·上海高二期末）已知函数 为实常数）．
(1)若，求证：在上是增函数；
(2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的值；
(3)若存在，使得成立，求实数的取值范围．
27．（2023·北京·高三专题练习）已知是函数的一个极值点．
(1)求值；
(2)判断的单调性；
(3)是否存在实数，使得关于的不等式的解集为 直接写出的取值范围．
28．（2022·上海市高二期末）已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数在区间上的最大值为12，求实数的值；
(3)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．
29．（2022·全国·模拟预测）设函数，为的导函数.
(1)当时，
①若函数的最大值为0，求实数的值；
②若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围.
(2)当时，设，若，其中，证明：.
30．（2022·天津市高三阶段练习）已知函数.
(1)设，求函数的极值；
(2)设，求证：存在唯一的，使得函数的图象在点处的切线与函数的图象也相切；
(3)设，对于任意，总存在，使成立，求实数的取值范围.
