八年级数学上期末大串讲+练专题复习专题二十六 分式方程的解法、增根、无解等大串讲（含解析）

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八年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题二十六 分式方程的解法、增根、无解等大串讲
类型一、分式方程的解法串讲
解分式方程的一般步骤：
1）（方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
典例
【例1-1】解方程：
（1）；
（2）．
【例1-2】解下列分式方程：
．
【例1-3】阅读下面材料，解答后面的问题：
解方程：﹣＝0
解：设y＝，则原方程化为：y﹣＝0，方程两边同时乘以y得：y2﹣4＝0，解得：y＝±2，经检验：y＝±2
都是方程y﹣＝0的解，
∴当y＝2时，＝2，解得x＝﹣1；当y＝﹣2时，＝﹣2，解得：x＝．
经检验：x＝﹣1或x＝都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣1或x＝．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：
（1）若在方程中﹣＝4，设 　　＝y，则原方程可化为 　y+＝4　，原方程的解为 　x＝或x＝﹣　；
（2）模仿上述换元法解方程：﹣﹣1＝0．
针对练习1
1．分式方程的解为（　　）
A．x＝0 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．无解
2．嘉淇解分式方程的过程如下：
解：去分母，得6＝2x﹣（3x﹣3）①
去括号，得6＝2x﹣3x﹣3②
移项、合并同类项，得x＝﹣9③
因为x＝﹣9时，各分母均不为0，
所以，原分式方程的解是x＝﹣9．④
以上步骤中，最开始出错的一步是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
3．解分式方程：
（1）；
（2）．
4．阅读下面材料，解答后面的问题：
解方程：﹣＝0
解：设y＝，则原方程化为：y﹣＝0，方程两边同时乘以y得：y2﹣4＝0，解得：y＝±2，经检验：y＝±2
都是方程y﹣＝0的解，
∴当y＝2时，＝2，解得x＝﹣1；当y＝﹣2时，＝﹣2，解得：x＝．
经检验：x＝﹣1或x＝都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣1或x＝．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：
（1）若在方程中﹣＝4，设 　　＝y，则原方程可化为 　y+＝4　，原方程的解为 　x＝或x＝﹣　；
（2）模仿上述换元法解方程：﹣﹣1＝0．
5．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
解方程（）2﹣6（）+5＝0
解：令＝y，代入原方程后，得：
y2﹣6y+5＝0
（y﹣5）（y﹣1）＝0
解得：y1＝5，y2＝1
∵＝y
∴＝5或＝1
①当＝5时，方程可变为：
x＝5（x﹣1）
解得x＝
②当＝1时，方程可变为：
x＝x﹣1
此时，方程无解
检验：将x＝代入原方程，
最简公分母不为0，且方程左边＝右面
∴x＝是原方程的根
综上所述：原方程的根为：x＝
根据以上材料，解关于x的方程x2++x+＝0．
类型二、分式方程的增根串讲
增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。
典例
【例2-1】解关于x的方程﹣＝时产生了增根，请求出所有满足条件的k的值．
【例2-2】关于x的分式方程．
（1）若方程的增根为x＝2，求m的值；
（2）若方程有增根，求m的值．
针对练习2
1．若关于x的方程有增根，则m的值是（　　）
A．﹣5 B．7 C．5 D．﹣3
2．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　）
A．m＝2或m＝6 B．m＝2 C．m＝6 D．m＝2或m＝﹣6
3．已知关于x的方程有增根，求m的值．
4．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：．小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x＝2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
5．已知关于x的方程．
（1）当k＝1时，求该方程的解；
（2）若方程有增根，求k的值．
类型三、分式方程无解串讲
分式方程无解可以从以下两种情况去考虑：
转化成的整式方程无解；
分式方程转化成整式方程有解，但这个解使最简公分母为0
典例
【例3-1】（1）当m为何值时，方程+＝会产生增根．
（2）当m为何值时，方程+＝无解．
（3）已知关于x的方程﹣2＝的解为正数，求m的取值范围．
【例3-2】（1）当a为何值时，方程有增根？
（2）当a为何值时，方程无解？
针对练习3
1．“若关于x的方程无解，求a的值．”尖尖和丹丹的做法如下：
尖尖：去分母得：ax＝12+3x﹣9，移项得：ax﹣3x＝12﹣9，合并同类项得：（a﹣3）x＝3，∵原方程无解，∴a﹣3＝0，∴a＝3． 丹丹：去分母得：ax＝12+3x﹣9，移项，合并同类项得：（a﹣3）x＝3，解得：x＝，∵原方程无解，∴x为增根，∴3x﹣9＝0，解得x＝3，∴＝3，解得a＝4．
下列说法正确的是（　　）
A．尖尖对，丹丹错
B．尖尖错，丹丹对
C．两人都错
D．两人的答案合起来才对
2．若关于x的分式方程无解，则m的值是（　　）
A．m＝2或m＝6 B．m＝2 C．m＝6 D．m＝2或m＝﹣6
3．已知关于x的分式方程+＝．
（1）若方程的增根为x＝1，求m的值；
（2）若方程无解，求m的值．
4．已知关于x的分式方程．
（1）若分式方程有增根，求a的值；
（2）若分式方程无解，求a的值．
5．已知关于x的分式方程．
（1）若分式方程的根是x＝5，求a的值；
（2）若分式方程有增根，求a的值；
（3）若分式方程无解，求a的值．
类型四、分式方程有解串讲
分式方程有解可以从以下两种情况去考虑：
转化成的整式方程有解；
分式方程转化成整式方程有解，且这个解使最简公分母不为0
典例
【例4-1】若关于y的分式方程有解，且关于x的一元一次不等式组有解且至多有2个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【例4-2】关于x的分式方程有解，则满足 ．
针对练习4
1．分式方程有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．且
2．若关于的分式方程有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】D
3．若关于x的分式方程有解，则m的值不等于（ ）
A．2 B．1 C．3 D．
4．若关于x的一元一次不等式组有解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
类型五、分式方程有正数解串讲
分式方程有正数解可以从以下两种情况去考虑：
含参数表示出来的方程解的式子大于0
（2）分式方程转化成整式方程有解，且这个解使最简公分母不为0
典例
【例5-1】已知关于x的方程+＝3．
（1）当m取何值时，此方程的解为x＝3；
（2）当m取何值时，此方程会产生增根；
（3）当此方程的解是正数时，求m的取值范围．
【例5-2】（1）当m为何值时，方程+＝会产生增根．
（2）当m为何值时，方程+＝无解．
（3）已知关于x的方程﹣2＝的解为正数，求m的取值范围．
针对练习5
1．已知关于x的分式方程．
（1）若分式方程有增根，求m的值；
（2）若分式方程的解是正数，求m的取值范围．
2．关于x的分式方程．
（1）若此方程有增根，求a的值；
（2）若此方程解为正数，求a的取值范围．
3．（1）若解关于x的分式方程+＝会产生增根，求m的值．
（2）若方程＝﹣1的解是正数，求a的取值范围．
类型六、分式方程有负数解串讲
分式方程有负数解可以从以下两种情况去考虑：
含参数表示出来的方程解的式子小于0
分式方程转化成整式方程有解，且这个解使最简公分母不为0
典例
【例6-1】若关于x的分式方程的解为负数，求a的取值范围．
【例6-2】若关于x的方程有非负数解，求m得取值范围．
【例6-3】若关于x的分式方程的解是负数，当m取最大整数时，求m2+2m+1的平方根．
针对练习6
1．已知关于x的分式方程．
（1）若分式方程有增根，求m的值；
（2）若分式方程的解是负数，求m的取值范围．
2．已知关于x的分式方程
（1）若方程有增根，求k的值；
（2）若方程的解为负数，求k的取值范围．
3．已知关于x的分式方程+＝．
（1）若方程有增根，求k的值．
（2）若方程的解为负数，求k的取值范围．
4．（1）若关于x的方程＝3的解是正数，求m的取值范围；
（2）关于x的方程＝1解是负数，求a的取值范围；
（3）已知关于x的方程+＝有增根，求k的值；
（4）若关于x的分式方程﹣＝1无解，求a的值．
5．已知关于x的分式方程．
（1）若这个方程的解是负数，求m取值范围；
（2）若这个方程无解，则m＝　3或10或﹣4　.（直接写出答案）
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专题二十六 分式方程的解法、增根、无解等大串讲
类型一、分式方程的解法串讲
解分式方程的一般步骤：
（1）（方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
典例
【例1-1】解方程：
（1）；
（2）．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：2（x﹣2）＝3（x﹣3），
解得：x＝5，
检验：把x＝5代入得：（x﹣2）（x﹣3）≠0，
∴分式方程的解为x＝5；
（2）分式方程整理得：＝﹣﹣2，
去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2x+4，
解得：x＝2，
检验：把x＝2代入得：x﹣2＝0，
∴x＝2是增根，分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
【例1-2】解下列分式方程：
．
【分析】按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答．
【解答】解：，
﹣＝0，
2（x+2）﹣6＝0，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，（x+2）（x﹣2）≠0，
∴x＝1是原方程的根．
【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
【例1-3】阅读下面材料，解答后面的问题：
解方程：﹣＝0
解：设y＝，则原方程化为：y﹣＝0，方程两边同时乘以y得：y2﹣4＝0，解得：y＝±2，经检验：y＝±2
都是方程y﹣＝0的解，
∴当y＝2时，＝2，解得x＝﹣1；当y＝﹣2时，＝﹣2，解得：x＝．
经检验：x＝﹣1或x＝都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣1或x＝．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：
（1）若在方程中﹣＝4，设 　　＝y，则原方程可化为 　y+＝4　，原方程的解为 　x＝或x＝﹣　；
（2）模仿上述换元法解方程：﹣﹣1＝0．
【分析】（1）根据换元法，可得答案；
（2）根据分式的加减，可得：﹣＝0，根据换元法，可得答案．
【解答】解：（1）设＝y，则原方程化为：y﹣＝4，
方程两边同时乘以y得：y2﹣4y﹣5＝0，解得：y＝﹣1或5，
经检验：y＝﹣1和5都是方程y+＝4的解．
当y＝﹣1时，＝﹣1，解得x＝；
当y＝5时，＝5，解得：x＝﹣．
经检验：x＝和x＝﹣是原分式方程的解，
故答案为：，y+＝4，x＝或x＝﹣；
（2）原方程化为：﹣＝0，
设y＝，则原方程化为：y﹣＝0，
方程两边同时乘以y得：y2﹣1＝0，解得：y＝±1，
经检验：y＝±1都是方程y﹣＝0的解．
当y＝1时，＝1，该方程无解；
当y＝﹣1时，＝﹣1，解得：x＝﹣．
经检验：x＝﹣是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣．
【点评】本题考查了解分式方程，利用换元法是解题关键．
针对练习1
1．分式方程的解为（　　）
A．x＝0 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．无解
【分析】去分母，去括号，移项，化系数为1，检验可得结论．
【解答】解：去分母，得4（x+2）﹣16＝6（x﹣2），
4x+8﹣16＝6x﹣12，
4x﹣6x＝﹣12+16﹣8
﹣2x＝﹣4
∴x＝2，
经检验，x＝2是增根，
∴原分式方程无解．
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的求解，要始终注意分母不为0这个条件．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
2．嘉淇解分式方程的过程如下：
解：去分母，得6＝2x﹣（3x﹣3）①
去括号，得6＝2x﹣3x﹣3②
移项、合并同类项，得x＝﹣9③
因为x＝﹣9时，各分母均不为0，
所以，原分式方程的解是x＝﹣9．④
以上步骤中，最开始出错的一步是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】去括号时，如果括号前面是减号，要把括号里的每一项都变号，则可判定最开始出错的一步是②．
【解答】解：解分式方程的过程如下：
去分母，得6＝2x﹣（3x﹣3），
去括号，得6＝2x﹣3x+3，
移项、合并同类项，得x＝﹣3，
因为x＝﹣3时，各分母均不为0，
所以，原分式方程的解是x＝﹣3．
所以最开始出错的一步是②．
故选：B．
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解答本题的关键．
3．解分式方程：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先去分母，再解一元一次方程，检验是否是增根即可得到答案；
（2）先去分母，再解一元一次方程，检验是否是增根即可得到答案．
【解答】解：（1）方程两边乘x﹣2，得：
1﹣x＝﹣2﹣2（x﹣2），
解得x＝1，
检验：当x＝1时，x﹣2≠0，
∴原分式方程的解为x＝1；
（2）方程两边乘x（x+1）（x﹣1），得：
5（x﹣1）﹣（x+1）＝0，
解得，
检验：当时，x（x+1）（x﹣1）≠0，
∴原分式方程的解为．
【点评】本题考查解分式方程，解题的关键是注意检验是否为增根．
4．阅读下面材料，解答后面的问题：
解方程：﹣＝0
解：设y＝，则原方程化为：y﹣＝0，方程两边同时乘以y得：y2﹣4＝0，解得：y＝±2，经检验：y＝±2
都是方程y﹣＝0的解，
∴当y＝2时，＝2，解得x＝﹣1；当y＝﹣2时，＝﹣2，解得：x＝．
经检验：x＝﹣1或x＝都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣1或x＝．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：
（1）若在方程中﹣＝4，设 　　＝y，则原方程可化为 　y+＝4　，原方程的解为 　x＝或x＝﹣　；
（2）模仿上述换元法解方程：﹣﹣1＝0．
【分析】（1）根据换元法，可得答案；
（2）根据分式的加减，可得：﹣＝0，根据换元法，可得答案．
【解答】解：（1）设＝y，则原方程化为：y﹣＝4，
方程两边同时乘以y得：y2﹣4y﹣5＝0，解得：y＝﹣1或5，
经检验：y＝﹣1和5都是方程y+＝4的解．
当y＝﹣1时，＝﹣1，解得x＝；
当y＝5时，＝5，解得：x＝﹣．
经检验：x＝和x＝﹣是原分式方程的解，
故答案为：，y+＝4，x＝或x＝﹣；
（2）原方程化为：﹣＝0，
设y＝，则原方程化为：y﹣＝0，
方程两边同时乘以y得：y2﹣1＝0，解得：y＝±1，
经检验：y＝±1都是方程y﹣＝0的解．
当y＝1时，＝1，该方程无解；
当y＝﹣1时，＝﹣1，解得：x＝﹣．
经检验：x＝﹣是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣．
【点评】本题考查了解分式方程，利用换元法是解题关键．
5．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
解方程（）2﹣6（）+5＝0
解：令＝y，代入原方程后，得：
y2﹣6y+5＝0
（y﹣5）（y﹣1）＝0
解得：y1＝5，y2＝1
∵＝y
∴＝5或＝1
①当＝5时，方程可变为：
x＝5（x﹣1）
解得x＝
②当＝1时，方程可变为：
x＝x﹣1
此时，方程无解
检验：将x＝代入原方程，
最简公分母不为0，且方程左边＝右面
∴x＝是原方程的根
综上所述：原方程的根为：x＝
根据以上材料，解关于x的方程x2++x+＝0．
【分析】先变形，设x+＝a，则原方程化为a2+a﹣2＝0，求出a的值，再代入求出x的值，最后进行检验即可．
【解答】解：x2++x+＝0，
（x+）2+x+﹣2＝0，
设x+＝a，则原方程化为：a2+a﹣2＝0，
解得：a＝﹣2或1，
当a＝﹣2时，x+＝﹣2，
x2+2x+1＝0，
解得：x＝﹣1，
当a＝1时，x+＝1，
x2﹣x+1＝0，
此方程无解；
经检验x＝﹣1是原方程的解，
所以原方程的解为x＝﹣1．
【点评】本题考查了解分式方程的应用，能正确换元是解此题的关键．
类型二、分式方程的增根
增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。
典例
【例2-1】解关于x的方程﹣＝时产生了增根，请求出所有满足条件的k的值．
【分析】根据等式的性质，可得整式方程，根据方程的增跟适合整式方程，可得关于k的方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：方程去分母后得：（k+2）x＝﹣3，分以下两种情况：
令x＝1，k+2＝﹣3，∴k＝﹣5
令x＝﹣2，﹣2（k+2）＝﹣3，∴k＝﹣，
综上所述，k的值为﹣5，或﹣．
【点评】本题考查了分式方程的增根，利用分式方程的增根得出关于k的方程是解题关键．
【例2-2】关于x的分式方程．
（1）若方程的增根为x＝2，求m的值；
（2）若方程有增根，求m的值．
【分析】（1）根据分式方程的性质先去分母，再移项并合并同类项，结合题意，通过求解一元一次方程，即可得到答案；
（2）根据分式方程增根的性质，首先得方程的增根为x＝﹣1或x＝2，再通过计算即可得到答案．
【解答】解：（1）∵，
去分母得：2（x+1）+mx＝3（x﹣2），
移项并合并同类项，得：（m﹣1）x+8＝0，
当方程的增根为x＝2时，（m﹣1）×2+8＝0，
∴m＝﹣3；
（2）当方程有增根时，方程的增根为x＝﹣1或x＝2，
当x＝2时，m＝﹣3，
当x＝﹣1时，（m﹣1）×（﹣1）+8＝0，
解得：m＝9，
∴m＝9或m＝﹣3．
【点评】本题考查了分式方程的知识，掌握分式方程的性质是关键．
针对练习2
1．若关于x的方程有增根，则m的值是（　　）
A．﹣5 B．7 C．5 D．﹣3
【分析】先求出增根，把分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程，求出m．
【解答】解：∵分式方程有增根，
∴x﹣3＝0，
解得x＝3，
，
﹣1＝，
2x﹣（x﹣3）＝1﹣m，
x+3＝1﹣m，
把x＝3代入原方程得m＝﹣5，
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握增根的产生的原因，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值是解题的关键．
2．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　）
A．m＝2或m＝6 B．m＝2 C．m＝6 D．m＝2或m＝﹣6
【分析】根据题意可得：x＝±2，然后把x的值代入到整式方程中进行计算即可解答．
【解答】解：，
x+m﹣x（2+x）＝4﹣x2，
解得：x＝m﹣4，
∵分式方程有增根，
∴4﹣x2＝0，
∴x＝±2，
当x＝2时，m﹣4＝2，
∴m＝6，
当x＝﹣2时，m﹣4＝﹣2，
∴m＝2，
∴m的值是6或2，
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后，代入到整式方程中进行计算是解题的关键．
3．已知关于x的方程有增根，求m的值．
【分析】先化为整式方程，将x＝3代入，即可求解．
【解答】解：去分母，整理得（m+3）x＝4m+8，
解得：，
∵关于x的方程有增根，
∴x＝3，
∴，
解得m＝1．
【点评】本题考查了分式方程的增根问题，解题的关键是掌握分式方程的解法．
4．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：．小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x＝2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
【分析】设？为m，利用分式方程的增根解答即可．
【解答】解：设？为m，则，
m+3（x﹣2）＝﹣1，
把x＝2代入得
m+3（2﹣2）＝﹣1，
∴m＝﹣1．
所以，原分式方程中“？”代表的数是﹣1．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
5．已知关于x的方程．
（1）当k＝1时，求该方程的解；
（2）若方程有增根，求k的值．
【分析】（1）把k＝1代入方程计算即可求出解；
（2）由分式方程有增根求出x的值，分式方程去分母后代入计算即可求出k的值．
【解答】解：（1）把k＝1代入方程得：﹣＝，
去分母得：1﹣5（x+1）＝7（x﹣1），
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解；
（2）分式方程去分母得：k﹣5（x+1）＝7（x﹣1），
由分式方程有增根，得到x﹣1＝0或x+1＝0，即x＝±1，
把x＝1代入方程得：k﹣10＝0，解得：k＝10；
把x＝﹣1代入方程得：k＝﹣14．
故k的值为10或﹣14．
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
类型三、分式方程无解
分式方程无解可以从以下两种情况去考虑：
转化成的整式方程无解；
分式方程转化成整式方程有解，但这个解使最简公分母为0
典例
【例3-1】（1）当m为何值时，方程+＝会产生增根．
（2）当m为何值时，方程+＝无解．
（3）已知关于x的方程﹣2＝的解为正数，求m的取值范围．
【分析】（1）根据分式方程增根的定义进行解答即可；
（2）根据分式方程无解的两种进行解答即可；
（3）先解分式方程，再根据解为正数，得出m的取值范围．
【解答】解：（1）∵方程+＝会产生增根，
∴x2﹣1＝0，
∴x＝±1，
分式方程化为整式方程后得，2（x﹣1）﹣5（x+1）＝m，
当x＝1时，m＝﹣10；
当x＝﹣1时，m＝﹣4；
∴当m＝﹣10或﹣4时，方程+＝会产生增根；
（2）分式方程化为整式方程后得，3（x+2）+m（x﹣2）＝12，整理得，（3+m）x＝2m+6，
当3+m≠0时，x＝2，经检验x＝2是分式方程的增根，
当m＝﹣3时，方程有无数个解，
∴当m≠﹣3时，方程+＝无解；
（3）分式方程化为整式方程后得，x﹣2（x﹣3）＝m，
整理得，﹣x＝m﹣6，
∴x＝6﹣m，
∵关于x的方程﹣2＝的解为正数，
∴6﹣m＞0且6﹣m≠3，
m＜6，且m≠3，
∴m的取值范围m＜6，且m≠3；
【点评】本题考查了分式方程的增根，掌握分式方程有增根的条件是解题的关键．
【例3-2】（1）当a为何值时，方程有增根？
（2）当a为何值时，方程无解？
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，根据方程有增根，求出x的值，即可求出a的值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到x＝﹣1，代入整式方程即可求出a的值．
【解答】解：（1）分式方程去分母得：x﹣2＝2x﹣6+a，
由分式方程有增根得到x﹣3＝0，即x＝3，代入整式方程得：3﹣2＝6﹣6+a，即a＝1；
（2）去分母得：3a+1＝ax+a，
当a＝0时，原分式方程无解；
当其有增根时，原分式方程无解，即x+1＝0，即x＝﹣1，
代入整式方程得：3a+1＝﹣a+a，即a＝﹣．
故a＝0或a＝﹣．
【点评】此题考查了分式方程的增根，以及分式方程的解，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
针对练习3
1．“若关于x的方程无解，求a的值．”尖尖和丹丹的做法如下：
尖尖：去分母得：ax＝12+3x﹣9，移项得：ax﹣3x＝12﹣9，合并同类项得：（a﹣3）x＝3，∵原方程无解，∴a﹣3＝0，∴a＝3． 丹丹：去分母得：ax＝12+3x﹣9，移项，合并同类项得：（a﹣3）x＝3，解得：x＝，∵原方程无解，∴x为增根，∴3x﹣9＝0，解得x＝3，∴＝3，解得a＝4．
下列说法正确的是（　　）
A．尖尖对，丹丹错
B．尖尖错，丹丹对
C．两人都错
D．两人的答案合起来才对
【分析】先化简分式方程为（a﹣3）x＝3，根据题意可得x为增根或a﹣3＝0，分别求出对应的a的值即可．
【解答】解：去分母得：ax＝12+3x﹣9，
移项，合并同类项得：
（a﹣3）x＝3，
∵原方程无解，
∴x为增根或a﹣3＝0，
当3x﹣9＝0，解得x＝3，此时＝3，解得a＝4；
当a﹣3＝0，解得a＝3；
综上所述：a的值为3或4，
故选：D．
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程无解的时候满足的条件是解题的关键．
2．若关于x的分式方程无解，则m的值是（　　）
A．m＝2或m＝6 B．m＝2 C．m＝6 D．m＝2或m＝﹣6
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到最简公分母为0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【解答】解：去分母得：﹣x﹣m+x（x+2）＝（x+2）（x﹣2），
由分式方程无解，得到x＝2或x＝﹣2，
把x＝2代入整式方程得：m＝6；
把x＝﹣2代入整式方程得：m＝2．
故选：A．
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
3．已知关于x的分式方程+＝．
（1）若方程的增根为x＝1，求m的值；
（2）若方程无解，求m的值．
【分析】先去分母，整理得（m+1）x＝﹣5，
（1）根据方程有增根，且增根为x＝1，求解即可；
（2）根据方程无解，分情况讨论：当x＝﹣2，x＝1，m+1＝0分别求解即可．
【解答】解：去分母，得2（x+2）+mx＝x﹣1，
整理，得（m+1）x＝﹣5，
（1）将x＝1代入（m+1）x＝﹣5，
解得m＝﹣6；
（2）∵方程无解，
当x＝1时，m＝﹣6；
将x＝﹣2代入（m+1）x＝﹣5，
解得m＝，
当m+1＝0时，m＝﹣1，
∴满足条件的m的值有或﹣6或﹣1．
【点评】本题考查了分式方程的增根和无解，理解分式方程有增根和无解的含义是解题的关键．
4．已知关于x的分式方程．
（1）若分式方程有增根，求a的值；
（2）若分式方程无解，求a的值．
【分析】（2）原方程整理得（a+3）x＝10，由分式有增根，则x（x﹣2）＝0，得到x＝0或x＝2，分两种情况分别求解即可；
（3）由（2）可知，（a+3）x＝10，分a+3＝0和a+3≠0两种情况分别求解即可．
【解答】解：（1）两边都乘以x（x﹣2）得，x（x﹣a）﹣5（x﹣2）＝x（x﹣2），
整理得，（a+3）x＝10，
由分式有增根，则x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x＝2，
把x＝0代入（a+3）x＝10，a的值不存在，
把x＝2代入2（a+3）＝10，解得a＝2，
综上可知，a＝2；
（2）由（1）可知，（a+3）x＝10，
当a+3＝0时，方程无解，即a＝﹣3，
当a+3≠0时，要使方程无解，则分式方程有增根，由（2）知a＝2，
综上可知，a＝﹣3或a＝2．
【点评】本题考查了分式方程的增根和无解，理解分式方程有增根和无解的含义是解题的关键．
5．已知关于x的分式方程．
（1）若分式方程的根是x＝5，求a的值；
（2）若分式方程有增根，求a的值；
（3）若分式方程无解，求a的值．
【分析】（1）把方程的解代入方程，解之即可得到答案；
（2）原方程整理得（a+3）x＝10，由分式有增根，则x（x﹣2）＝0，得到x＝0或x＝2，分两种情况分别求解即可；
（3）由（2）可知，（a+3）x＝10，分a+3＝0和a+3≠0两种情况分别求解即可．
【解答】解：（1）把x＝5代入得，，
解得a＝﹣1；
（2），
两边都乘以x（x﹣2）得，x（x﹣a）﹣5（x﹣2）＝x（x﹣2），
整理得，（a+3）x＝10，
由分式有增根，则x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x＝2，
把x＝0代入（a+3）x＝10，a的值不存在，
把x＝2代入2（a+3）＝10，解得a＝2，
综上可知，a＝2；
（3）由（2）可知，（a+3）x＝10，
当a+3＝0时，方程无解，即a＝﹣3，
当a+3≠0时，要使方程无解，则分式方程有增根，由（2）知a＝2，
综上可知，a＝﹣3或a＝2．
【点评】此题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
类型四、分式方程有解
分式方程有解可以从以下两种情况去考虑：
转化成的整式方程有解；
分式方程转化成整式方程有解，且这个解使最简公分母不为0
典例
【例4-1】若关于y的分式方程有解，且关于x的一元一次不等式组有解且至多有2个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【答案】26
【分析】根据分式方程有解，确定，根据有解且至多有2个整数解，，确定计算即可．
【详解】∵解分式方程，
解得：，
∵，
∴，
∵的解集为；的解集为，
∵有解且至多有2个整数解，
∴，
解得，
故a的整数解为7，8，9，10，
∵，
故符合题意a的整数解为7，9，10，
∴，
故答案为：26．
【点睛】本题考查了解分式方程，不等式组的整数解，正确理解题意是解题的关键．
【例4-2】关于x的分式方程有解，则满足 ．
【答案】且
【分析】本题考查了分式方程的含参问题，解题的关键重在结合题干的限定，同时不要忘记分母不能为0，故先去分母得到，再通过去括号、移项、合并同类项得到，再根据分式方程有意义的条件即可得到答案．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
解得：，
∵该方程有解，
∴且，
∴且，
∴且，
故答案为：且．
针对练习4
1．分式方程有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．且
【答案】D
【分析】先求出m与x的关系，再根据分式方程有解的条件判断即可．
【详解】解：
方程两边同时乘以得：，
∴，
∵分式方程有解，
∴，
∴．
∵，
∴
∵分式方程有解，
∴且
∴且
∴，
∴，
综上可知，且，
故选D
【点睛】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，解题的关键是找出增根．
2．若关于的分式方程有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】D
【分析】先解分式方程得到，再根据分式方程有解，进行求解即可．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
∵关于的分式方程有解，
∴，
∴，
∴且，
故选D．
【点睛】本题主要考查了分式方程有解的问题，正确解方程得到是解题的关键．
3．若关于x的分式方程有解，则m的值不等于（ ）
A．2 B．1 C．3 D．
【答案】D
【分析】解分式方程，根据分式方程有解，求得m的取值范围即可．
【详解】解：，
去分母得：，
解得：，
分式方程有解，
，
即，
解得，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了分式方程的解，关键是明确分式方程有解的条件是分母不为0．
4．若关于x的一元一次不等式组有解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【答案】7
【分析】本题考查分式方程的解、一元一次不等式组的解；熟练掌握分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，对分式方程切勿遗漏增根的情况是解题的关键．由关于的一元一次不等式组有解可得，再由分式方程求解可得为非负整数，考虑时是增根，则可求整数的值为，，1，3，7，其和为7．
【详解】解：不等式组的解为，
关于的一元一次不等式组有解，
，
，
方程的两边同时乘以，得
，
解得：，
解为非负整数，
、、、、、，
，
，
整数的值为，，1，3，7，其和为7．
故答案为：7．
类型五、分式方程有正数解
分式方程有正数解可以从以下两种情况去考虑：
含参数表示出来的方程解的式子大于0
（2）分式方程转化成整式方程有解，且这个解使最简公分母不为0
典例
【例5-1】已知关于x的方程+＝3．
（1）当m取何值时，此方程的解为x＝3；
（2）当m取何值时，此方程会产生增根；
（3）当此方程的解是正数时，求m的取值范围．
【分析】（1）把x＝3代入方程+＝3即可得出m的值；
（2）根据增根的定义，得出增根x＝2，从而得出m的值；
（3）把分式方程化为整式方程，根据解为正数，得出m的取值范围．
【解答】解：（1）把x＝3代入方程+＝3，得
m＝﹣3；
（2）方程的增根为x＝2，
2x+m＝3x﹣6，
所以m＝﹣4；
（3）去分母得，2x+m＝3x﹣6，
解得x＝m+6，
因为x＞0，
所以m+6＞0，
解得m＞﹣6，
因为x≠2，
所以m≠﹣4．
【点评】本题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式，掌握方程和不等式的解法是解题的关键．
【例5-2】（1）当m为何值时，方程+＝会产生增根．
（2）当m为何值时，方程+＝无解．
（3）已知关于x的方程﹣2＝的解为正数，求m的取值范围．
【分析】（1）根据分式方程增根的定义进行解答即可；
（2）根据分式方程无解的两种进行解答即可；
（3）先解分式方程，再根据解为正数，得出m的取值范围．
【解答】解：（1）∵方程+＝会产生增根，
∴x2﹣1＝0，
∴x＝±1，
分式方程化为整式方程后得，2（x﹣1）﹣5（x+1）＝m，
当x＝1时，m＝﹣10；
当x＝﹣1时，m＝﹣4；
∴当m＝﹣10或﹣4时，方程+＝会产生增根；
（2）分式方程化为整式方程后得，3（x+2）+m（x﹣2）＝12，整理得，（3+m）x＝2m+6，
当3+m≠0时，x＝2，经检验x＝2是分式方程的增根，
当m＝﹣3时，方程有无数个解，
∴当m≠﹣3时，方程+＝无解；
（3）分式方程化为整式方程后得，x﹣2（x﹣3）＝m，
整理得，﹣x＝m﹣6，
∴x＝6﹣m，
∵关于x的方程﹣2＝的解为正数，
∴6﹣m＞0且6﹣m≠3，
m＜6，且m≠3，
∴m的取值范围m＜6，且m≠3；
【点评】本题考查了分式方程的增根，掌握分式方程有增根的条件是解题的关键．
针对练习5
1．已知关于x的分式方程．
（1）若分式方程有增根，求m的值；
（2）若分式方程的解是正数，求m的取值范围．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，
（1）由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，代入整式方程计算即可求出m的值；
（2）表示出分式方程的解，由分式方程的解是正数，求出m的范围即可．
【解答】解：去分母得：2﹣x﹣m＝2x﹣4，
（1）由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：m＝0；
（2）解得：x＝，
根据分式方程的解为正数，得到＞0，且≠2，
解得：m＜6且m≠0．
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
2．关于x的分式方程．
（1）若此方程有增根，求a的值；
（2）若此方程解为正数，求a的取值范围．
【分析】（1）去分母，然后代入增根，进一步可得a的值；
（2）先解分式方程，根据此方程解为正数，可得＞0且≠1，进一步可得a的取值范围．
【解答】解：（1）去分母，得a+x﹣3＝5（x﹣1），
将增根x＝1代入，得a+1﹣3＝0，
解得a＝2；
（2）去分母，得a+x﹣3＝5（x﹣1），
解得x＝，
∵此方程解为正数，
∴＞0且≠1，
解得a＞﹣2且a≠2．
【点评】本题考查了分式方程的增根，分式方程的解，熟练掌握解分式方程的增根是解题的关键．
3．（1）若解关于x的分式方程+＝会产生增根，求m的值．
（2）若方程＝﹣1的解是正数，求a的取值范围．
【分析】（1）根据增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
（2）先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求a的取值范围．
【解答】解：（1）方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得
2（x+2）+mx＝3（x﹣2）
∵最简公分母为（x+2）（x﹣2），
∴原方程增根为x＝±2，
∴把x＝2代入整式方程，得m＝﹣4．
把x＝﹣2代入整式方程，得m＝6．
综上，可知m＝﹣4或6．
（2）解：去分母，得2x+a＝2﹣x
解得：x＝，
∵解为正数，
∴，
∴2﹣a＞0，
∴a＜2，且x≠2，
∴a≠﹣4
∴a＜2且a≠﹣4．
【点评】本题考查了分式方程的增根、分式方程的解、一元一次不等式，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
类型六、分式方程有负数解
分式方程有负数解可以从以下两种情况去考虑：
含参数表示出来的方程解的式子小于0
分式方程转化成整式方程有解，且这个解使最简公分母不为0
典例
【例6-1】若关于x的分式方程的解为负数，求a的取值范围．
【分析】分式方程去分母后转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，根据解为负数列出不等式，求出不等式的解集得到a的范围，且将x＝﹣1，2代入求出a的值，即可确定出a的范围．
【解答】解：分式方程去分母得：（x+1）（x﹣1）﹣（x﹣2）2＝2x+a，
整理得：x2﹣1﹣x2+4x﹣4＝2x+a，
解得：x＝，
根据题意得：＜0，
解得：a＜﹣5，
再将x＝2代入方程得：a＝﹣1；将x＝﹣1代入得：a＝﹣7，
则a的取值范围为a＜﹣5且a≠﹣7．
【点评】此题考查了分式方程的解，弄清题意是解本题的关键．
【例6-2】若关于x的方程有非负数解，求m得取值范围．
【分析】先去分母把分式方程化成整式方程，再结合题意得出关于m的不等式组，解不等式组即可得出m的取值范围．
【解答】解：去分母得：x﹣2（x﹣3）＝m，
解得：x＝6﹣m，
∵x≥0且x≠3，
∴6﹣m≥0且6﹣m≠3，
解得：m≤6且m≠3，
∴m得取值范围是m≤6且m≠3．
【点评】本题考查了分式方程的解，根据题意得出关于m的不等式组是解决问题的关键．
【例6-3】若关于x的分式方程的解是负数，当m取最大整数时，求m2+2m+1的平方根．
【分析】通过解分式方程解出分式方程的解，再确定符合条件的m可取的最大整数解，再计算出此题最后结果即可．
【解答】解：解分式方程，3x﹣2x﹣2＝m
得x＝2+m，
若它的解是负数，
即2+m＜0，且2+m≠﹣1时，
得m＜﹣2且m≠﹣3，
可得m取最大整数﹣4，
当m＝﹣4时，
m2+2m+1的平方根是：＝±3．
【点评】此题考查了对分式方程及不等式的应用能力，关键是能正确求解分式方程与不等式，并根据题意正确确定问题的答案．
针对练习6
1．已知关于x的分式方程．
（1）若分式方程有增根，求m的值；
（2）若分式方程的解是负数，求m的取值范围．
【分析】（1）由分式方程有增根，得到x＝1，代入整式方程计算即可求出m的值；
（2）表示出分式方程的解，由分式方程的解是负数，求出m的范围即可．
【解答】解：（1）分式方程有增根，则方程的增根为x＝1，
原方程去分母并整理得5x﹣m+2＝0，
将x＝1代入得5﹣m+2＝0，
解得m＝7；
（2）由（1）得5x﹣m+2＝0，
解这个方程得，
∵方程的解是负数，
∴，
解得m＜2，
∴当m＜2时，分式方程的解是负数．
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
2．已知关于x的分式方程
（1）若方程有增根，求k的值；
（2）若方程的解为负数，求k的取值范围．
【分析】（1）根据题意可得x＝±1，然后把x的值代入整式方程中进行计算即可解答；
（2）根据题意可得＜0且≠±1，然后进行计算即可解答．
【解答】解：（1），
4（x﹣1）+3（x+1）＝k，
解得：x＝，
∵分式方程有增根，
∴x2﹣1＝0，
∴x＝±1，
当x＝1时，＝1，
解得：k＝6，
当x＝﹣1时，＝﹣1，
解得：k＝﹣8，
∴k的值为6或﹣8；
（2）∵方程的解为负数，
∴x＜0且x≠±1，
∴＜0且≠±1，
∴k＜﹣1且k≠6且k≠﹣8，
∴k的取值范围为：k＜﹣1且k≠﹣8．
【点评】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后，代入整式方程中进行计算是解题的关键．
3．已知关于x的分式方程+＝．
（1）若方程有增根，求k的值．
（2）若方程的解为负数，求k的取值范围．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根，得到最简公分母为0，代入整式方程计算即可求出k的值．
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x，根据解为负数求出k的范围即可；
【解答】解：（1）分式方程去分母得：4（x﹣1）+3（x+1）＝k，
由这个方程有增根，得到x＝1或x＝﹣1，
将x＝1代入整式方程得：k＝6，
将x＝﹣1代入整式方程得：k＝﹣8，
则k的值为6或﹣8．
（2）分式方程去分母得：4（x﹣1）+3（x+1）＝k，
去括号合并得：7x﹣1＝k，即x＝，
根据题意得：＜0，且≠1且≠﹣1，
解得：k＜﹣1，且k≠﹣8．
【点评】此题考查了分式方程的解，以及分式方程的增根，弄清题意是解本题的关键．
4．（1）若关于x的方程＝3的解是正数，求m的取值范围；
（2）关于x的方程＝1解是负数，求a的取值范围；
（3）已知关于x的方程+＝有增根，求k的值；
（4）若关于x的分式方程﹣＝1无解，求a的值．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为非负数确定出m的范围即可；
（2）表示出分式方程的解，由分式方程的解为负数，列出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可确定出a的范围；
（3）先解分式方程，再分式方程的增根的定义求得k．
（4）分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解，得到有增根或整式方程无解，确定出a的范围即可．
【解答】解：（1）去分母得：2x+m＝3x﹣6，
解得x＝m+6，
由分式方程的解为正数，
得到m+6＞0，且m+6≠2，
解得m＞﹣6且m≠﹣4；
（2）去分母得：a＝x+1，
解得x＝a﹣1，
∵方程有解，且解为负数，
∴，
∴a＜1且a≠0；
（3）去分母得：x+1+k（x﹣1）＝（k﹣1）（x+1），
解得x＝k﹣1，
∵关于x的方程+＝有增根，
∴x＝k﹣1＝0或x＝k﹣1＝1或x＝k﹣1＝﹣1．
∴k的值为1或2或0．
（4）分式方程去分母得：x（x﹣a）﹣3（x﹣1）＝x（x﹣1），
解得（a+2）x＝3，
由分式方程无解，即a+2＝0或＝1，
解得a＝﹣2或1．
【点评】本题考查分式方程的解，分式方程的增根，熟练掌握解分式方程的步骤，掌握分式方程的增根是解决本题的关键．
5．已知关于x的分式方程．
（1）若这个方程的解是负数，求m取值范围；
（2）若这个方程无解，则m＝　3或10或﹣4　.（直接写出答案）
【分析】（1）先把方程化为整式方程，再根据题意求解；
（2）根据：“分式方程无解，则整式方程无解，或是增根”求解．
【解答】解：（1）方程两边同乘以（x+3）（x﹣3）得：2（x+3）+mx＝5（x﹣3），
解得：x＝
由题意得：＜0，≠±3，
解得：m＞3且m≠10；
（2）由（1）得：2（x+3）+mx＝5（x﹣3），
由题意得：m﹣3＝0或＝±3，
解得：m＝3或m＝10或m＝﹣4，
故答案为：3或10或﹣4．
【点评】本题考查了分式方程，化分式方程为整式方程是解题的关键．
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