八年级数学上期末大串讲+练专题复习专题二十七 分式方程的应用大串讲（含解析）
文档属性
| 名称 | 八年级数学上期末大串讲+练专题复习专题二十七 分式方程的应用大串讲（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-11 21:11:56 | ||
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文档简介
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八年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题二十七 分式方程的应用大串讲
类型一、工程问题
工程问题 基本公式：工作量=工时×工效
【例1-1】某地下管道，若由甲队单独铺设，恰好在规定时间内完成；若由乙队单独铺设，需要超过规定时间15天才能完成，如果先由甲、乙两队合做10天，再由乙队单独铺设正好按时完成．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为5000元，乙队每天的施工费用为3000元，为了缩短工期以减少对居民交通的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成，那么该工程施工费用是多少？
【例1-2】某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用30天时间完成整个工程．当一号施工队工作10天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前8天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程．
（1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？
（2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？
针对练习1
1 .正所谓“道路通达，百业兴旺”，某村决定对村里的部分道路进行整改，将工程交由甲、乙两个工程队来完成．已知甲工程队每天比乙工程队多修0.4km，如果甲工程队修6.4km所用的天数是乙工程队修9.6km所用天数的一半．
（1）求甲，乙两个工程队每天各修路多少km？
（2）现计划再修建长度为24km的道路，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为2.4万元，乙队每天所需费用为1.5万元，求在总费用不超过33.6万元的情况下，至少安排乙工程队施工多少天？
2．甲．乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天．求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？
3．甲、乙二人组装一批机械零件承担，甲乙二人对话信息如下：
甲说：我每小时比乙少做6个；
乙说：你做60个与我做90个所用时间相等．
求甲、乙每小时各组装零件多少个．
4．2021年12月，我市某区千亩“三月红”柑橘挂满枝头，采摘人员的需求也随之增多，为了尽快抢收成熟柑橘，某脱贫攻坚办公室紧急组织了一支志愿者服务队．某村种植合作社共需要采摘柑橘240吨，村民采摘40吨后，志愿者服务队加入一起采摘．已知志愿者服务队采摘的速度是村民采摘速度的1.5倍，从村民开始采摘到全部采摘完毕，一共用了15天．
（1）求村民每天采摘柑橘多少吨？
（2）已知合作社每天需要支出给村民劳务费2000元，志愿者服务队是义务劳动，不需支出劳务费，只需每天支出饮食费500元，问志愿者服务队加入后可帮助合作社节省多少元？
类型二、行程问题
行程问题：（1）路程=速度x时间
顺水速度= 静水速度+水流速度 逆水速度=静水速度-水流速度
【例2-1】核酸检测时需要先采集样本，采集样本结束后，再统一把样本送检测中心检验，且采集的样本和送达的样本的时间必须在4小时内完成，超过4小时送达，样本就会失效．已知A、B两个采样点到检测中心的路程分别为30km、36km，经过了解获得A、B两个采样点的送检车有如下信息：
信息一：B采样点送检车的平均速度是A采样点送检车的平均速度1.2倍；
信息二：A、B两个采样点送检车行驶的时间之和为2小时．
（1）A、B两个采样点送检车的平均速度分别是多少？
（2）若B采样点从开始采集样本到送检车出发用了2.6小时，判断样本送达检测中心后会不会失效？
【例2-2】“艺绽新时代，技炫新未来！”第五届中国杂技艺术节于2022年11月8日—13日在濮阳隆重举行．某校初二年级的学生从学校出发乘大巴去市文化官参加“第五届中国杂技艺术节”活动，市文化宫距离该校12千米，1号车出发3分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达，已知2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.2倍，求2号车的平均速度（千米/分钟）．
【例2-3】面对新一轮疫情，芜湖市开展围绕家庭战“疫”健身活动，周末张华和张明兄弟两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知张华骑行的速度是张明的1.2倍．
（1）若张明先骑行2千米，张华才开始从A地出发，则张华出发半小时恰好追上张明，求张华骑行的速度；
（2）若张明先骑行20分钟，张华才开始从A地出发，则两人恰好同时到达B地，求张华骑行的速度．
针对练习2
1．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A﹣B﹣C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝12米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，则小敏通过AB路段时的速度是（ ）
A．0.5米/秒 B．1米/秒 C．1.5米/秒 D．2米/秒
2．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一封信件用慢马送到1000里外的城市，需要的时间比规定时间多2天；若用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍．小明认为规定的时间为7天，小亮认为规定的时间为8天，关于两个人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．小明的观点正确 B．小亮的观点正确
C．两人的观点都不正确 D．无法确定
3．马小虎的家距离学校1800米，一天马小虎从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校200米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度．设马小虎的速度为x米/分．
（1）依题意，填写下表：
路程 速度 时间
小虎 1600 x
爸爸 1600 2x
（2）根据上表，列方程解决问题．
4．甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米．甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲、乙两同学同时从家里出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟．
（1）求乙骑自行车的速度；
（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？
类型三、营销类问题
总价=数量x单价
【例3-1】某中学为了止学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动，据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的1.5倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少5捆．
（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格；
（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元，学校决定在菜苗基地购买A、B两种菜苗共100捆，所花的费用不超过2400元，求在菜苗基地购买A种菜苗至少多少捆．
【例3-2】端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．求乙种粽子的单价是多少元？
【例3-3】2023年4月24日，在“中国航天日”主场活动启动仪式上，国家航天局和中国科学院联合发布了中国首次火星探测火星全球影像图．我国航天事业的飞速发展激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A、B两款物理实验套装，其中A款套装单价是B款套装单价的1.2倍，用9600元购买的A款套装数量比用7200元购买的B款套装数量多5套，问A、B两款套装的单价分别是多少元？
针对练习3
1．学期末，班主任为获得“文明学生”和“劳动积极分子”称号的学生准备了A，B两种礼物．已知A，B两种礼物的总价分别为450元和420元，且A种礼物比B种礼物多10份，A，B两种礼物的单价分别是这一批礼物平均单价的和1.2倍，则这一批礼物的平均单价是（ ）
A．15元 B．元 C．10元 D．元
2．为深入践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，我国绿色发展成就显著，在今年的植树造林活动期间，某苗圃公司第一天卖出一批小叶榄仁树苗共收款8000元，第二天又卖出同样的树苗收款17000元，所卖数量是第一天的2倍，售价比第一天每棵多了5元，第二天每棵树苗售价是 85 元．
3．2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空．某中学组织毕业班的同学观看现场直播，学校准备为同学们购进A、B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款文化衫和用400元购进B款文化衫的数量相同．
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元购进两种文化衫，应至少购进B款文化衫多少件．
4．列方程解应用题．
某商店老板第一次用1000元购进了一批口罩，很快销售完毕；第二次购进时发现每个口罩的进价比第一次上涨了2.5元．老板用2500元购进了第二批口罩，所购进口罩的数量是第一批购进口罩数量的2倍，同样很快销售完毕，两批口罩的售价均为15元．
（1）求第二次购进了多少个口罩？
（2）商店老板第一次购进的口罩有30元的损耗，第二次购进的口罩有125元的损耗，问商店老板在这两笔生意中共盈利多少元？
类型四、商品利润问题
售价-进价=利润 进价x利润率=利润 标价x折扣=售价
【例4-1】现有甲、乙两种糖混合而成的什锦糖50千克，两种糖的千克数和单价如表．商店以糖果的平均价格作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高1元，需加入甲种糖 10 千克．
甲种糖果 乙种糖果
千克数 20 30
单价（元/千克） 25 15
【例4-2】2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空．某中学组织毕业班的同学观看现场直播，学校准备为同学们购进A、B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款文化衫和用400元购进B款文化衫的数量相同．
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元购进两种文化衫，应至少购进B款文化衫多少件．
【例4-3】在今年新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1.5元，且用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同．
（1）A、B两种型号口罩的单价各是多少元？
（2）根据疫情发展情况，该公司还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过3600元，则增加购买A型口罩的数量最多是多少个？
针对练习4
1．某物美超市同时卖出了两个进价不同的冰墩墩A和B，售价均为90元，按成本计算，超市人员发现冰墩墩A盈利了50%，而冰墩墩B却亏损了40%，则这次超市是（ ）
A．不赚不赔 B．赚了 C．赔了 D．无法判断
2．2月开学季来临，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的开学大礼包．已知2月上旬A、B、C三种主题大礼包售价之比为2～4～5，销量之比为7～1～2．开学后不久，根据市场需求，在2月下旬文具店老板店对三种主题大礼包售价进行了调整，其中B主题大礼包售价比2月上旬降低了，C主题大礼包在2月上旬售价的基础上打八折，从而使得B、C两种主题大礼包销售额相较于2月上旬有所增加，A主题大礼包销售额相较于2月上旬有所下降．若A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额之比为4～7～5，且A主题大礼包减少的销售额占2月下旬三种主题大礼包总销售额的，则2月下旬B、C两种主题大礼包的销量之比为 6：5 ．
3．为深入践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，我国绿色发展成就显著，在今年的植树造林活动期间，某苗圃公司第一天卖出一批小叶榄仁树苗共收款8000元，第二天又卖出同样的树苗收款17000元，所卖数量是第一天的2倍，售价比第一天每棵多了5元，第二天每棵树苗售价是 85 元．
4．一商店用800元买进玩具若干个，其中有2个损坏无法出售，剩余的以每个比进价多10元的价格出售，若剩余的全部卖完，则这批玩具共赚100元．则这批玩具每个进价是 40 元．
类型五、最优方案问题
用代数式表示出不同的方案，利用不等式确定最优方案
【例5-1】疫情防控，人人有责．某公司为了解决员工的口罩问题上，准备采购A、B两种型号的口罩，A种口罩每件单价比B种口罩每件多100元，用2000元购进A种口罩和用1200元购进B种口罩的数量相同．
（1）A种口罩每件的单价和B种口罩的单价各是多少元？
（2）公司计划用4000元的资金购进A、B两种型号的口罩共20件，其中A种口罩数量不得低于B种口罩数量的一半，该公司有几种采购方案，哪种购买方式最划算？
【例5-2】某区在进行雨水、污水管道改造工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算，甲工程队单独完成该项工程需120天．若由乙先单独做20天，余下的工程由甲、乙合做36天可完成．
（1）求乙单独完成该项工程需要多少天？
（2）甲队施工一天，需付1.5万元工程费，乙队施工一天，需付2.5万元工程费，若该工程计划在90天内完成，在不超过工程计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱，还是由甲、乙全程共同完成更省钱，说明理由．
【例5-2】永州市万达广场筹建之初的一项挖土工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，每施工一天，需付甲工程队工程款2.4万元，付乙工程队工程款1.8万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
（方案一）甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完成：
（方案二）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用6天；
（方案三）若由甲、乙两队合作做5天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工．
（1）请你求出完成这项工程的规定时间；
（2）如果你是工程领导小组的组长，为了节省工程款，同时又能如期完工，你将选择哪一种方案？说明理由．
针对练习5
1．为响应对口扶贫，深圳某单位和西部某乡结对帮扶，采购该乡农副产品助力乡村振兴．已知1件A产品价格比1件B产品价格少20元，300元购买A产品件数与400元购买B产品件数相同．
（1）A产品和B产品每件分别是多少元？
（2）深圳该对口单位动员职工采购该乡A、B两种农副产品，根据统计：职工响应积极，两种预计共购买150件，A的数量不少于B的2倍，当采购A、B两种农副产品为多少时，购买总费用最大？并求购买总费用的最大值．
2．为落实“双减政策”某学校购进“红色教育”和“传统文化”两种经典读本，花费分别是12000元和5000元，已知“红色教育”经典读本的订购单价是“传统文化”经典读本的订购单价的1.2倍，并且订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多500本．
（1）求该学校订购的两种经典读本的单价分别是多少元；
（2）该学校拟计划再订购这两种经典读本共1000本，其中“红色教育”经典读本订购数量不低于600本且总费用不超过11500元，求该学校订购这两种读本的最低总费用．
3．某公司举行周年庆典，决定订购一批印有公司logo的记事本赠送给客户，购买甲种记事本共花费3000元，购买乙种记事本共花费2100元，购买甲种记事本的数量是购买乙种记事本数量的2倍，且购买一个乙种记事本比购买一个甲种记事本多花20元．
（1）求购买一个甲种记事本，一个乙种记事本各需多少元？
（2）由于公司业务的扩大，公司决定再次购买甲、乙两种记事本共40个，且乙种记事本不少于23个，预算金额不超过2400元，购买时恰逢该店对两种记事本的售价进行调整，甲种记事本售价比第一次购买时提高了10%，乙种记事本售价比第一次购买时降低了10%，请问该公司有哪几种方案购买这批记事本？
4．羽毛球运动由于高强度、低对抗、适龄广的特点，成为男女老少喜爱的运动之一．某商家购进了耐打型羽毛球和竞技型羽毛球进行销售，已知一筒竞技型羽毛球比一筒耐打型羽毛球的进价多40元，其中购买耐打型羽毛球花费5000元，购买竞技型羽毛球花费4500元，且购买耐打型羽毛球数量是购买竞技型羽毛球数量的2倍．
（1）求一筒竞技型羽毛球的进价是多少元．
（2）商家第一次购进的羽毛球很快售完，决定再次购进同种类型的耐打型羽毛球和竞技型羽毛球共120筒，但耐打型羽毛球的进价比第一次购买时提高了18%，而竞技型的进价在第一次购买时进价的基础上打95折，如果商家此次购买耐打型羽毛球和竞技型羽毛球的总费用不超过8140元，那么此次最多可购买多少筒竞技型羽毛球？
类型六、图形图表问题
从图形图表上挖掘信息，建立等量关系
【例6-1】刘峰和李明相约周末去科技馆看展览，根据他们的谈话内容，试求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米？
【例6-2】近期，受俄乌局势影响，国内汽油价格不断上涨．请你根据下面的信息（如图），计算今年4月份汽油的价格．
【例6-3】某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下：
燃油车 纯电新能源车
油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时
油价：8元/升 电价：0.6元/千瓦时
（1）设两款车的续航里程均为a千米，请用含a的代数式表示燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用；
（2）若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元．
①请分别求出这两款车的每千米行驶费用；
②若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为4800元和8100元．问：每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
针对练习6
1．春节即将到来，家家户户贴春联，挂灯笼，欢天喜地迎新年．某百货超市计划购进春联和灯笼这两种商品．请你根据下面的信息（如图），计算每个灯笼和每副春联的进价．
2．为进一步推进美丽乡村建设，某县准备修建一条县级公路．开工时政府部门要求工程队每天的平均进度要比原计划提高20%，结果提前20天完成了任务．
（1）设这条县级公路长为akm，该工程队原计划平均每天修建公路x km，请用含a，x的代数式填表；
平均每天修建公路/km 完成全部工程所需天数/天
原计划 x
实际 （1+20%）x
（2）若这条要修建的公路长度为50km，该工程队实际平均每天修建公路多少千米？
3．根据素材，完成活动任务：
素材一 为鼓励学生积极参加学校劳动，养成劳动习惯，培养劳动品质某校“方志实践”劳动基地打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地．已知围栏的横杠长为15dm，竖杠长为8dm，一副围栏由2个横杠，5个竖杠制作而成．
素材二 项目化学习小组到市场了解到：现木材市场的这种规格的围栏材料每根长为40dm，价格为50元/根．为了深度参与学校蔬菜基地的建立，项目化小组打算自己购买材料，制作搭建蔬菜基地的围栏同时为了围栏的牢固性，用料不能是拼接而成．
解决问题
任务要求 解决办法
任务一 一根40dm长的围栏材料有哪些裁剪方法呢？（余料作废） 方法①：当只裁剪8dm长的竖杠时，最多可裁剪 5 根；方法②：当先裁剪下1根15dm长的横杠时，余下部分最多能裁剪8dm长的竖杠 3 根；方法③：当先裁剪下2根15dm长的横杠时，余下部分最多能裁剪8dm长的竖杠 1 根．
任务二 基地负责老师告诉项目化学习小组：搭建蔬菜基地需要用到的围栏长为75dm（即需要制作5副围栏，需要的用料为：25个竖杠，10个横杠），请完成裁剪并计算费用． 项目化小组打算用“任务一”中的方法②和方法③完成裁剪任务．请计算：分别用“任务一”中的方法②和方法③各裁剪多少根40dm长的围栏材料，才能刚好得到所需要的相应数量的用料？并求出购买围栏材料的费用．
任务三 某安装技术人员告诉项目化小组同学：我们在单位时间内可以安装m根竖杠或（7﹣m）根横杠．现需知道技术人员的安装效率． 任务二中的5副围栏安装完毕时，项目化小组发现技术人员安装竖杠所需的时间与安装横杠所需的时间相同，则m＝ 5 ．
八年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题二十七 分式方程的应用大串讲
类型一、工程问题
工程问题 基本公式：工作量=工时×工效
【例1-1】某地下管道，若由甲队单独铺设，恰好在规定时间内完成；若由乙队单独铺设，需要超过规定时间15天才能完成，如果先由甲、乙两队合做10天，再由乙队单独铺设正好按时完成．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为5000元，乙队每天的施工费用为3000元，为了缩短工期以减少对居民交通的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成，那么该工程施工费用是多少？
【分析】（1）设这项工程的规定时间是x天，根据甲、乙队先合做10天，余下的工程由甲队单独需要10天完成，可得出方程解答即可；
（2）先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可．
【解答】解：（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意得：
（+）×10+＝1．
解得：x＝30．
经检验x＝30是原分式方程的解．
答：这项工程的规定时间是30天．
（2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷（+）＝18（天），
则该工程施工费用是：18×（5000+3000）＝144000（元），
答：该工程的费用为144000元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位1”，注意仔细审题，运用方程思想解答．
【例1-2】某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用30天时间完成整个工程．当一号施工队工作10天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前8天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程．
（1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？
（2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？
【分析】（1）设二号施工队单独施工需要x天，根据题意列方程即可得到结论；
（2）根据题意列式计算即可．
【解答】解：（1）设二号施工队单独施工需要x天，
根据题意得：，
解得：x＝45，
经检验，x＝45是原分式方程的解．
答：若由二号施工队单独施工，完成整个工期需要45天．
（2）根据题意得：（天），
答：若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要18天．
【点评】本题考查了分式方程的应用，正确的理解题意是解题的关键．
针对练习1
1 .正所谓“道路通达，百业兴旺”，某村决定对村里的部分道路进行整改，将工程交由甲、乙两个工程队来完成．已知甲工程队每天比乙工程队多修0.4km，如果甲工程队修6.4km所用的天数是乙工程队修9.6km所用天数的一半．
（1）求甲，乙两个工程队每天各修路多少km？
（2）现计划再修建长度为24km的道路，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为2.4万元，乙队每天所需费用为1.5万元，求在总费用不超过33.6万元的情况下，至少安排乙工程队施工多少天？
【分析】（1）设乙工程队每天修路x km，则甲工程队每天修路（x+0.4）km，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合甲工程队修6.4km所用的天数是乙工程队修9.6km所用天数的一半，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可求出乙工程队每天修路长度，再将其代入（x+0.4）中，即可求出甲工程队每天修路长度；
（2）设安排乙工程队施工m天，则安排甲工程队施工天，利用总费用＝甲工程队每天所需费用×甲工程队工作时间+乙工程队每天所需费用×乙工程队工作时间，结合总费用不超过33.6万元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙工程队每天修路x km，则甲工程队每天修路（x+0.4）km，
根据题意得：＝×，
解得：x＝1.2，
经检验，x＝1.2是所列方程的解，且符合题意，
∴x+0.4＝1.2+0.4＝1.6．
答：甲工程队每天修路1.6km，乙工程队每天修路1.2km；
（2）设安排乙工程队施工m天，则安排甲工程队施工天，
根据题意得：2.4×+1.5m≤33.6，
解得：m≥8，
∴m的最小值为8．
答：至少安排乙工程队施工8天．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
2．甲．乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天．求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？
【分析】设乙每天加工零件x个，则甲每天加工零件1.5x个，根据两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天列出方程，解方程并检验即可．
【解答】解：设乙每天加工零件x个，则甲每天加工零件1.5x个，
由题意得，，
解得：x＝40，
经检验：x＝40是原分式方程的解且符合题意，1.5x＝60，
答：甲每天加工零件60个，乙每天加工零件40个．
【点评】此题考查了分式方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．
3．甲、乙二人组装一批机械零件承担，甲乙二人对话信息如下：
甲说：我每小时比乙少做6个；
乙说：你做60个与我做90个所用时间相等．
求甲、乙每小时各组装零件多少个．
【分析】设甲每小时做x个零件，乙每小时做（x+6）个零件，根据甲做60个与乙做90个所用时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结果．
【解答】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x+6）个零件，
由题意得：，
解得：x＝12，
经检验：x＝12是分式方程的解，且符合题意，
∴分式方程的解为：x＝12，
∴x+6＝18
答：甲每小时做12个零件，乙每小时做18个零件．
【点评】本题主要考查了分式方程的实际应用；熟练掌握工作时间等于工作量除以工作效率是解题的关键．
4．2021年12月，我市某区千亩“三月红”柑橘挂满枝头，采摘人员的需求也随之增多，为了尽快抢收成熟柑橘，某脱贫攻坚办公室紧急组织了一支志愿者服务队．某村种植合作社共需要采摘柑橘240吨，村民采摘40吨后，志愿者服务队加入一起采摘．已知志愿者服务队采摘的速度是村民采摘速度的1.5倍，从村民开始采摘到全部采摘完毕，一共用了15天．
（1）求村民每天采摘柑橘多少吨？
（2）已知合作社每天需要支出给村民劳务费2000元，志愿者服务队是义务劳动，不需支出劳务费，只需每天支出饮食费500元，问志愿者服务队加入后可帮助合作社节省多少元？
【分析】（1）设村民每天采摘柑橘x吨，则志愿服务队每天采摘柑橘1.5x吨，由题意：从村民开始采摘到全部采摘完毕，一共用了15天．列出分式方程，解方程即可；
（2）求出原计划村民需要的天数和志愿队工作的天数，再求出实际花费的费用，即可解决问题．
【解答】解：（1）设村民每天采摘柑橘x吨，则志愿服务队每天采摘柑橘1.5x吨，
依题意得：+＝15，
解得：x＝8，
经检验，x＝8是原分式方程的解，且符合题意，
则1.5x＝1.5×8＝12，
答：村民每天采摘柑橘8吨．
（2）原计划村民需＝30（天）才能完成，则需花费2000×30＝60000（元）．
志愿队工作了＝10（天），村民工作了+10＝15（天），
∴实际花费为：2000×15+500×10＝35000（元），
共节省了：60000﹣35000＝25000（元），
答：志愿者服务队加入后可帮助合作社节省25000元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
类型二、行程问题
行程问题：（1）路程=速度x时间
顺水速度= 静水速度+水流速度 逆水速度=静水速度-水流速度
【例2-1】核酸检测时需要先采集样本，采集样本结束后，再统一把样本送检测中心检验，且采集的样本和送达的样本的时间必须在4小时内完成，超过4小时送达，样本就会失效．已知A、B两个采样点到检测中心的路程分别为30km、36km，经过了解获得A、B两个采样点的送检车有如下信息：
信息一：B采样点送检车的平均速度是A采样点送检车的平均速度1.2倍；
信息二：A、B两个采样点送检车行驶的时间之和为2小时．
（1）A、B两个采样点送检车的平均速度分别是多少？
（2）若B采样点从开始采集样本到送检车出发用了2.6小时，判断样本送达检测中心后会不会失效？
【分析】（1）根据B采样点送检车的平均速度是A采样点送检车的平均速度1.2倍，设A采样点送检车的平均速度是x km/h，则B采样点送检车的平均速度是1.2x km/h，根据A、B两个采样点送检车行驶的时间之和为2小时，由此可算出A、B采样点送检车的平均速度；
（2）最后根据（1）中求出的B采样点送检车的平均速度，利用路程与速度关系算出时间，由此即可求解．
【解答】解：（1）设A采样点送检车的平均速度是x km/h，则B采样点送检车的平均速度是1.2x km/h，
根据题意可知，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意，
∴A采样点送检车的平均速度是30km/h，B采样点送检车的平均速度是36km/h；
（2）由（1）可知B采样点送检车的平均速度是36km/h，
∴B采集点送检车的行驶时间为36÷36＝1h，
2.6+1＝3.6h＜4h，
∴B采集点送达检测中心的样本不会失效．
【点评】本题主要考查分式方程的应用，路程问题，理解A采样点送检车的平均速度与B采样点送检车的平均速度，A、B两个采样点送检车行驶的时间关系，求出各自的速度和时间是解题的关键．
【例2-2】“艺绽新时代，技炫新未来！”第五届中国杂技艺术节于2022年11月8日—13日在濮阳隆重举行．某校初二年级的学生从学校出发乘大巴去市文化官参加“第五届中国杂技艺术节”活动，市文化宫距离该校12千米，1号车出发3分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达，已知2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.2倍，求2号车的平均速度（千米/分钟）．
【分析】设1号车的平均速度为x千米/分钟，则2号车的平均速度为1.2x千米/分钟，根据题干条件列出方程求解即可．
【解答】解：设1号车的平均速度为x千米/分钟，则2号车的平均速度为1.2x千米/分钟，
根据题意得：，
解得：，
经检验 是原方程的根，
（千米/分钟），
答：2号车的平均速度为0.8千米/分钟．
【点评】本题考查了分式方程的实际应用及解分式方程，解题的关键是从实际问题中提取出等量关系和熟练掌握分式方程的解法．
【例2-3】面对新一轮疫情，芜湖市开展围绕家庭战“疫”健身活动，周末张华和张明兄弟两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知张华骑行的速度是张明的1.2倍．
（1）若张明先骑行2千米，张华才开始从A地出发，则张华出发半小时恰好追上张明，求张华骑行的速度；
（2）若张明先骑行20分钟，张华才开始从A地出发，则两人恰好同时到达B地，求张华骑行的速度．
【分析】（1）设张明骑行的速度是x千米/小时，则张华骑行的速度是1.2x千米/小时，利用路程＝速度×时间，结合张华出发半小时恰好追上张明，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入1.2x中，即可求出张华骑行的速度；
（2）设张明骑行的速度是y千米/小时，则张华骑行的速度是1.2y千米/小时，利用时间＝路程÷速度，结合张明比张华多用20分钟，可列出关于y的分式方程，解之经检验后，可得出y的值，再将其代入1.2y中，即可求出张华骑行的速度．
【解答】解：（1）设张明骑行的速度是x千米/小时，则张华骑行的速度是1.2x千米/小时，
根据题意得：2+0.5x＝0.5×1.2x，
解得：x＝20，
∴1.2x＝1.2×20＝24．
答：张华骑行的速度是24千米/小时；
（2）设张明骑行的速度是y千米/小时，则张华骑行的速度是1.2y千米/小时，
根据题意得：﹣＝，
解得：y＝15，
经检验，y＝15是所列方程的解，且符合题意，
∴1.2y＝1.2×15＝18．
答：张华骑行的速度是18千米/小时．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．
针对练习2
1．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A﹣B﹣C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝12米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，则小敏通过AB路段时的速度是（ ）
A．0.5米/秒 B．1米/秒 C．1.5米/秒 D．2米/秒
【分析】设小敏通过AB路段时的速度是x米/秒，则小敏通过BC路段时的速度是1.2x米/秒，利用时间＝路程÷速度，结合小敏共用22秒通过AC路段，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设小敏通过AB路段时的速度是x米/秒，则小敏通过BC路段时的速度是1.2x米/秒，
依题意得：+＝22，
解得：x＝1，
经检验，x＝1是原方程的解，且符合题意，
∴小敏通过AB路段时的速度是1米/秒．
故选：B．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
2．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一封信件用慢马送到1000里外的城市，需要的时间比规定时间多2天；若用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍．小明认为规定的时间为7天，小亮认为规定的时间为8天，关于两个人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．小明的观点正确 B．小亮的观点正确
C．两人的观点都不正确 D．无法确定
【分析】首先设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+2）天，由题意得等量关系：慢马速度×2＝快马速度，根据等量关系，可得方程，再解方程可得答案．
【解答】解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+2）天，由题意得：
，
解得：x＝8，经检验x＝8是原方程的根且符合题意；
∴规定的时间为8天，
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
3．马小虎的家距离学校1800米，一天马小虎从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校200米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度．设马小虎的速度为x米/分．
（1）依题意，填写下表：
路程 速度 时间
小虎 1600 x
爸爸 1600 2x
（2）根据上表，列方程解决问题．
【分析】（1）由爸爸追上马小虎时，两人的路程相同，可得出此时马小虎走过的路程为1600米，集合马小虎的速度，可求出马小虎所用的时间；
（2）结合爸爸追上马小虎时，爸爸比马小虎少用10分钟，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵爸爸追上马小虎时，爸爸走过的路程为1600米，
∴马小虎走过的路程为1600米；
又∵马小虎的速度为x米/分，
∴马小虎所用的时间为分钟．
故答案为：1600，；
（2）根据题意得：﹣＝10，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是所列方程的解，且符合题意．
答：马小虎的速度为80米/分．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
4．甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米．甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲、乙两同学同时从家里出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟．
（1）求乙骑自行车的速度；
（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？
【分析】（1）设乙骑自行车的速度为x米/分钟，则甲步行速度是x米/分钟，公交车的速度是2x米/分钟，根据题意列方程即可得到结论；
（2）300×2＝600米即可得到结果．
【解答】解：（1）设乙骑自行车的速度为x米/分钟，则甲步行速度是x米/分钟，公交车的速度是2x米/分钟，
根据题意得+＝﹣2，
解得：x＝300米/分钟，
经检验x＝300是方程的根，
答：乙骑自行车的速度为300米/分钟；
（2）∵300×2＝600米，
答：当甲到达学校时，乙同学离学校还有600米．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，根据题意得到乙的运动速度是解题关键．
类型三、营销类问题
总价=数量x单价
【例3-1】某中学为了止学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动，据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的1.5倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少5捆．
（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格；
（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元，学校决定在菜苗基地购买A、B两种菜苗共100捆，所花的费用不超过2400元，求在菜苗基地购买A种菜苗至少多少捆．
【分析】（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，根据用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少5捆，列方程可得菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元；
（2）设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗（100﹣m）捆，由本次购买花费不超过2400元得：20m+30（100﹣m）≤2250解即可得答案．
【解答】解：（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，
根据题意得：﹣＝5，
解得x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，
答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元；
（2）设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗（100﹣m）捆，
20m+30（100﹣m）≤2400，
解得：m≥60，
∴所花的费用不超过2400元，在菜苗基地购买A种菜苗至少60捆．
答：菜苗基地购买A种菜苗至少60捆．
【点评】本题考查分式方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式．
【例3-2】端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．求乙种粽子的单价是多少元？
【分析】设乙种粽子的单价是x元，则甲种粽子的单价是2x元，利用数量＝总价÷单价，结合用1200元购进甲种粽子的数量比用800元购进乙种粽子的数量少50个，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：设乙种粽子的单价是x元，则甲种粽子的单价是2x元，
根据题意得：﹣＝50，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是所列方程的解，且符合题意．
答：乙种粽子的单价是4元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【例3-3】2023年4月24日，在“中国航天日”主场活动启动仪式上，国家航天局和中国科学院联合发布了中国首次火星探测火星全球影像图．我国航天事业的飞速发展激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A、B两款物理实验套装，其中A款套装单价是B款套装单价的1.2倍，用9600元购买的A款套装数量比用7200元购买的B款套装数量多5套，问A、B两款套装的单价分别是多少元？
【分析】设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是1.2x元，根据用9600元购买的A款套装数量比用7200元购买的B款套装数量多5套，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是1.2x元，
由题意得：﹣＝5，
解得：x＝160，
经检验，x＝160是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x＝1.2×160＝192，
答：A款套装的单价是192元，B款套装的单价是160元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键,。
针对练习3
1．学期末，班主任为获得“文明学生”和“劳动积极分子”称号的学生准备了A，B两种礼物．已知A，B两种礼物的总价分别为450元和420元，且A种礼物比B种礼物多10份，A，B两种礼物的单价分别是这一批礼物平均单价的和1.2倍，则这一批礼物的平均单价是（ ）
A．15元 B．元 C．10元 D．元
【分析】设这一批礼物平均单价是x元，则A礼物的单价是0.9x元，B礼物的单价是1.2x元，利用数量＝总价÷单价，结合A种礼物比B种礼物多10份，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设这一批礼物平均单价是x元，则A礼物的单价是0.9x元，B礼物的单价是1.2x元，
依题意得：﹣＝10，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意．
答：这一批礼物平均单价是15元．
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
2．为深入践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，我国绿色发展成就显著，在今年的植树造林活动期间，某苗圃公司第一天卖出一批小叶榄仁树苗共收款8000元，第二天又卖出同样的树苗收款17000元，所卖数量是第一天的2倍，售价比第一天每棵多了5元，第二天每棵树苗售价是 85 元．
【分析】设第二天每棵树苗售价为x元，根据第二天所卖数量是第一天的2倍，列分式方程，求解即可．
【解答】解：设第二天每棵树苗售价为x元，
根据题意，得，
解得x＝85，
经检验，x＝85是原分式方程的根，且符合题意，
故答案为：85．
【点评】本题考查了分式方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键．
3．2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空．某中学组织毕业班的同学观看现场直播，学校准备为同学们购进A、B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款文化衫和用400元购进B款文化衫的数量相同．
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元购进两种文化衫，应至少购进B款文化衫多少件．
【分析】（1）设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件（x+10）元，利用数量＝总价÷单价，结合用500元购进A款文化衫和用400元购进B款文化衫的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可求出B款文化衫的单价，再将其代入（x+10）中，即可求出A款文化衫的单价；
（2）设购进B款文化衫y件，则购进A款文化衫（300﹣y）件，利用总价＝单价×数量，结合总价不多于14800元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件（x+10）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意，
∴x+10＝40+10＝50．
答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；
（2）设购进B款文化衫y件，则购进A款文化衫（300﹣y）件，
根据题意得：50（300﹣y）+40y≤14800，
解得：y≥20．
答：应至少购进B款文化衫20件．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
4．列方程解应用题．
某商店老板第一次用1000元购进了一批口罩，很快销售完毕；第二次购进时发现每个口罩的进价比第一次上涨了2.5元．老板用2500元购进了第二批口罩，所购进口罩的数量是第一批购进口罩数量的2倍，同样很快销售完毕，两批口罩的售价均为15元．
（1）求第二次购进了多少个口罩？
（2）商店老板第一次购进的口罩有30元的损耗，第二次购进的口罩有125元的损耗，问商店老板在这两笔生意中共盈利多少元？
【分析】（1）设第一次购进了x个口罩，则第二次购进了2x个口罩，利用单价＝总价÷数量，结合第二次购进时发现每个口罩的进价比第一次上涨了2.5元，可列出关于x的分式方程，解之可求出第一次购进口罩的数量，再将其代入2x中，即可求出第二次购进口罩的数量；
（2）利用商店老板在这两笔生意中的总利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价﹣两次购进口罩的损耗，即可求出结论．
【解答】解：（1）设第一次购进了x个口罩，则第二次购进了2x个口罩，
根据题意得：﹣＝2.5，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是所列方程的解，且符合题意，
∴2x＝2×100＝200．
答：第二次购进了200个口罩；
（2）根据题意得：15×（100+200）﹣1000﹣2500﹣30﹣125
＝15×300﹣1000﹣2500﹣30﹣125
＝4500﹣1000﹣2500﹣30﹣125
＝845（元）．
答：商店老板在这两笔生意中共盈利845元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算．
类型四、商品利润问题
售价-进价=利润 进价x利润率=利润 标价x折扣=售价
【例4-1】现有甲、乙两种糖混合而成的什锦糖50千克，两种糖的千克数和单价如表．商店以糖果的平均价格作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高1元，需加入甲种糖 10 千克．
甲种糖果 乙种糖果
千克数 20 30
单价（元/千克） 25 15
【分析】设需加入甲种糖x千克，利用单价＝总价÷数量，结合要使什锦糖的单价每千克提高1元，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：设需加入甲种糖x千克，
根据题意得：﹣＝1，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是所列方程的解，且符合题意，
∴需加入甲种糖10千克．
故答案为：10．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【例4-2】2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空．某中学组织毕业班的同学观看现场直播，学校准备为同学们购进A、B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款文化衫和用400元购进B款文化衫的数量相同．
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元购进两种文化衫，应至少购进B款文化衫多少件．
【分析】（1）设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件（x+10）元，利用数量＝总价÷单价，结合用500元购进A款文化衫和用400元购进B款文化衫的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可求出B款文化衫的单价，再将其代入（x+10）中，即可求出A款文化衫的单价；
（2）设购进B款文化衫y件，则购进A款文化衫（300﹣y）件，利用总价＝单价×数量，结合总价不多于14800元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件（x+10）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意，
∴x+10＝40+10＝50．
答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；
（2）设购进B款文化衫y件，则购进A款文化衫（300﹣y）件，
根据题意得：50（300﹣y）+40y≤14800，
解得：y≥20．
答：应至少购进B款文化衫20件．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【例4-3】在今年新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1.5元，且用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同．
（1）A、B两种型号口罩的单价各是多少元？
（2）根据疫情发展情况，该公司还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过3600元，则增加购买A型口罩的数量最多是多少个？
【分析】（1）设A型口罩的单价为x元，则B型口罩的单价为（x﹣1.5）元，根据“用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同”列出方程并解答；
（2）设增加购买A型口罩的数量是m个，根据“增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过3600元”列出不等式．
【解答】解：（1）设A型口罩的单价为x元，则B型口罩的单价为（x﹣1.5）元，
根据题意，得：＝．
解方程，得：x＝4．
经检验：x＝4是原方程的根，且符合题意．
所以x﹣1.5＝2.5．
答：A型口罩的单价为4元，则B型口罩的单价为2.5元；
（2）设增加购买A型口罩的数量是m个，
根据题意，得：2.5×2m+4m≤3600．
解不等式，得：m≤400．
因为m为正整数，所以正整数m的最大值为400．
答：增加购买A型口罩的数量最多是400个．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
针对练习4
1．某物美超市同时卖出了两个进价不同的冰墩墩A和B，售价均为90元，按成本计算，超市人员发现冰墩墩A盈利了50%，而冰墩墩B却亏损了40%，则这次超市是（ ）
A．不赚不赔 B．赚了 C．赔了 D．无法判断
【分析】根据利润率＝利润÷成本，从而可求出相应的成本，即可求解．
【解答】解：设冰墩墩A的成本为x元，依题意得：
，
解得：x＝60，
经检验：x＝60是原方程的根，
设冰墩墩B的成本为y元，依题意得：
，
解得：y＝150，
经检验：y＝150是原方程的解，
90﹣60+（90﹣150）＝﹣30（元），
故这次超市赔了．
故选：C．
【点评】本题主要考查分式方程的应用，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系．
2．2月开学季来临，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的开学大礼包．已知2月上旬A、B、C三种主题大礼包售价之比为2～4～5，销量之比为7～1～2．开学后不久，根据市场需求，在2月下旬文具店老板店对三种主题大礼包售价进行了调整，其中B主题大礼包售价比2月上旬降低了，C主题大礼包在2月上旬售价的基础上打八折，从而使得B、C两种主题大礼包销售额相较于2月上旬有所增加，A主题大礼包销售额相较于2月上旬有所下降．若A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额之比为4～7～5，且A主题大礼包减少的销售额占2月下旬三种主题大礼包总销售额的，则2月下旬B、C两种主题大礼包的销量之比为 6：5 ．
【分析】设2月上旬A、B、C三种主题大礼包售价为2x，4x，5x，销量为7y，y，2y，2月下旬A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额分别为4a，7a，5a，根据“2月下旬A主题大礼包减少的销售额占2月下旬三种主题大礼包总销售额的”列出方程，然后分别求出2月下旬B、C两种主题大礼包销售额，进而求出2月下旬B、C两种主题大礼包销售量，即可解答．
【解答】解：设2月上旬A、B、C三种主题大礼包售价为2x，4x，5x，销量为7y，y，2y，2月下旬A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额分别为4a，7a，5a，
根据题意，得，
解得a＝2xy，
∴2月下旬B、C两种主题大礼包销售额分别为4x y+7a＝18xy，5x 2y+5a＝20xy，
∴2月下旬B、C两种主题大礼包销售之比为：＝6：5．
故答案为：6：5．
【点评】本题考查了分式方程方程是应用，读懂题意，找出等量关系式是解题的关键．
3．为深入践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，我国绿色发展成就显著，在今年的植树造林活动期间，某苗圃公司第一天卖出一批小叶榄仁树苗共收款8000元，第二天又卖出同样的树苗收款17000元，所卖数量是第一天的2倍，售价比第一天每棵多了5元，第二天每棵树苗售价是 85 元．
【分析】设第二天每棵树苗售价为x元，根据第二天所卖数量是第一天的2倍，列分式方程，求解即可．
【解答】解：设第二天每棵树苗售价为x元，
根据题意，得，
解得x＝85，
经检验，x＝85是原分式方程的根，且符合题意，
故答案为：85．
【点评】本题考查了分式方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键．
4．一商店用800元买进玩具若干个，其中有2个损坏无法出售，剩余的以每个比进价多10元的价格出售，若剩余的全部卖完，则这批玩具共赚100元．则这批玩具每个进价是 40 元．
【分析】设每个玩具的进价为x元，根据这批玩具共赚100元，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设每个玩具的进价为x元，
由题意得：（﹣2）（x+10）﹣800＝100，
解得：x1＝40，x2＝﹣100，
经检验，x1＝40，x2＝﹣100是原方程的解，但x2＝﹣100不合题意，舍去，
∴x＝40
即这批玩具每个进价是40元，
故答案为：40．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
类型五、最优方案问题
【例5-1】疫情防控，人人有责．某公司为了解决员工的口罩问题上，准备采购A、B两种型号的口罩，A种口罩每件单价比B种口罩每件多100元，用2000元购进A种口罩和用1200元购进B种口罩的数量相同．
（1）A种口罩每件的单价和B种口罩的单价各是多少元？
（2）公司计划用4000元的资金购进A、B两种型号的口罩共20件，其中A种口罩数量不得低于B种口罩数量的一半，该公司有几种采购方案，哪种购买方式最划算？
【分析】（1）设A种口罩每件的单价为x元，则B种口罩的单价为（x﹣100）元．由题意：用2000元购进A种口罩和用1200元购进B种口罩的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）设A种口罩购进y件，则B种口罩购进（20﹣y）件．由题意：公司计划用4000元的资金购进A、B两种型号的口罩共20件，其中A种口罩数量不得低于B种口罩数量的一半，列出一元一次不等式组，解不等式组，取正整数解，再计算结果．
【解答】解：（1）设A种口罩每件的单价为x元，则B种口罩的单价为（x﹣100）元．
由题意，得：，
解得：x＝250．
经检验：x＝250是原方程的解，且符合题意，
则x﹣100＝150（元）．
答：A种口罩每件的单价为250元，则B种口罩的单价为150元．
（2）设A种口罩购进y件，则B种口罩购进（20﹣y）件．
由题意，得：
解得：．∵y为正整数，∴y＝7或8或9或10．∴该公司4种采购方案：
方案一：A种口罩购进7件，B种口罩购进13件，费用为：250×7+150×13＝3700元；
方案二：A种口罩购进8件，B种口罩购进12件，费用为：250×8+150×12＝3800元；
方案三：A种口罩购进9件，B种口罩购进11件，费用为：250×9+150×11＝3900元；
方案四：A种口罩购进10件，B种口罩购进10件，费用为：250×10+150×10＝4000元；
∴共有4种方案，其中方案一：A种口罩购进7件，B种口罩购进13件最划算．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组．
【例5-2】某区在进行雨水、污水管道改造工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算，甲工程队单独完成该项工程需120天．若由乙先单独做20天，余下的工程由甲、乙合做36天可完成．
（1）求乙单独完成该项工程需要多少天？
（2）甲队施工一天，需付1.5万元工程费，乙队施工一天，需付2.5万元工程费，若该工程计划在90天内完成，在不超过工程计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱，还是由甲、乙全程共同完成更省钱，说明理由．
【分析】（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，由题意：甲工程队单独完成该项工程需120天．若由乙先单独做20天，余下的工程由甲、乙合做36天可完成．列出分式方程，解方程即可；
（2）求出甲、乙两队施工天数得出需要施工费用，即可分析得出．
【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天．
由题意得：×20+（+）×36＝1，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合题意，
答：乙队单独完成这项工程需要80天．
（2）由甲、乙全程共同完成更省钱．理由如下：
由乙队独做需费用：2.5×80＝200（万元）；
甲队独做工期超过90天，不符合要求；
设甲、乙两队合作，完成这项工程需y天，
由题意得：y（+）＝1，
解得：y＝48，
需要施工费用 为（1.5+2.5）×48＝192（万元），
∵192＜200，
∴由甲、乙全程共同完成更省钱．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
【例5-2】永州市万达广场筹建之初的一项挖土工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，每施工一天，需付甲工程队工程款2.4万元，付乙工程队工程款1.8万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
（方案一）甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完成：
（方案二）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用6天；
（方案三）若由甲、乙两队合作做5天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工．
（1）请你求出完成这项工程的规定时间；
（2）如果你是工程领导小组的组长，为了节省工程款，同时又能如期完工，你将选择哪一种方案？说明理由．
【分析】（1）设完成这项工程的规定时间为x天，则甲工程队需x天完成这项工程，乙工程队需（x+6）天完成这项工程，由题意：由甲、乙两队合作做5天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工．即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论；
（2）根据总费用＝每天需付费用×工作天数，分别求出方案一、三需付的工程款，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设完成这项工程的规定时间为x天，则甲工程队需x天完成这项工程，乙工程队需（x+6）天完成这项工程，
根据题意得：5×（+）+＝1，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意．
答：完成这项工程的规定时间为30天．
（2）选择方案三，理由如下：
方案一需付工程款：2.4×30＝72（万元）；
方案二不能如期完工，不符合题意；
方案三需付工程款：2.4×5+1.8×30＝66（万元）．
∵72＞66，
∴选择方案三．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据数量关系列式计算．
针对练习5
1．为响应对口扶贫，深圳某单位和西部某乡结对帮扶，采购该乡农副产品助力乡村振兴．已知1件A产品价格比1件B产品价格少20元，300元购买A产品件数与400元购买B产品件数相同．
（1）A产品和B产品每件分别是多少元？
（2）深圳该对口单位动员职工采购该乡A、B两种农副产品，根据统计：职工响应积极，两种预计共购买150件，A的数量不少于B的2倍，当采购A、B两种农副产品为多少时，购买总费用最大？并求购买总费用的最大值．
【分析】（1）设A产品每件x元，则B产品每件（x+20）元，然后根据300元购买A产品件数与400元购买B产品件数相同列出方程求解即可；
（2）设购买A产品a件，则购买B产品（150﹣a）件，所需费用为w元，根据总费用＝A的费用+B的费用，列出w关于a的一次函数关系，再结合，A的数量不少于B的2倍，求出a的取值范围，最后利用一次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）设A产品每件x元，则B产品每件（x+20）元，
由题意得，
解得，x＝60，
经检验，x＝60是原分式方程的解，
∴x+20＝80，
答：A产品每件60元，则B产品每件80元；
（2）设购买A产品a件，则购买B产品（150﹣a）件，所需费用为w元，
∴w＝60a+80（150﹣a）＝﹣20a+12000，
∵A的数量不少于B的2倍，
∴a≥2（150﹣a），
∴a≥100，
∵﹣20＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴当a＝100时，w取得最大值，此时w＝﹣20×100+12000＝10000，
∴当购买A产品100件，则购买B产品50件，购买总费用最大，最大值为10000元．
答：购买A产品100件，则购买B产品50件，购买总费用最大，最大值为10000元．
【点评】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的方程，不等式和函数关系式是解题的关键．
2．为落实“双减政策”某学校购进“红色教育”和“传统文化”两种经典读本，花费分别是12000元和5000元，已知“红色教育”经典读本的订购单价是“传统文化”经典读本的订购单价的1.2倍，并且订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多500本．
（1）求该学校订购的两种经典读本的单价分别是多少元；
（2）该学校拟计划再订购这两种经典读本共1000本，其中“红色教育”经典读本订购数量不低于600本且总费用不超过11500元，求该学校订购这两种读本的最低总费用．
【分析】（1）设“传统文化”经典读本的单价是x元，则“红色教育”经典读本的单价是1.2x元，由题意：订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多500本．列出分式方程，解方程即可；
（2）设订购“红色教育”经典读本a本，则订购“传统文化”经典读本（1000﹣a）本，由题意：“红色教育”经典读本订购数量不低于600本且总费用不超过11500元，列出一元一次不等式组，解得600≤a≤750，再设订购两种读本的总费用为w元，由题意得出w关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）设“传统文化”经典读本的单价是x元，则“红色教育”经典读本的单价是1.2x元，
由题意得：﹣＝500，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原分式方程的解，
∴1.2x＝12，
答：“红色教育”的订购单价是12元，“传统文化”经典读本的单价是10元；
（2）设订购“红色教育”经典读本a本，则订购“传统文化”经典读本（1000﹣a）本，
由题意得：，
解得：600≤a≤750，
设订购两种读本的总费用为w元，
由题意得：w＝12a+10（1000﹣a）＝2a+10000，
∵2＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝600时，w有最小值为2×600+10000＝11200，
此时，1000﹣600＝400，符合题意，
答：订购这两种经典读本的总费用最低为11200元．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组和一次函数关系式．
3．某公司举行周年庆典，决定订购一批印有公司logo的记事本赠送给客户，购买甲种记事本共花费3000元，购买乙种记事本共花费2100元，购买甲种记事本的数量是购买乙种记事本数量的2倍，且购买一个乙种记事本比购买一个甲种记事本多花20元．
（1）求购买一个甲种记事本，一个乙种记事本各需多少元？
（2）由于公司业务的扩大，公司决定再次购买甲、乙两种记事本共40个，且乙种记事本不少于23个，预算金额不超过2400元，购买时恰逢该店对两种记事本的售价进行调整，甲种记事本售价比第一次购买时提高了10%，乙种记事本售价比第一次购买时降低了10%，请问该公司有哪几种方案购买这批记事本？
【分析】（1）设购买一个甲种记事本需要x元，则购买一个乙种记事本需要（x+20）元，根据数量＝总价÷单价结合用3000元购买甲种记事本的数量是用2100元购买乙种记事本数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设该公司购进乙种记事本m个，则购进甲种记事本（40﹣m）个，根据总价＝单价×数量结合预算金额不超过2400元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数即可得出m的值，进而可找出各购买方案．
【解答】解：（1）设购买一个甲种记事本需要x元，则购买一个乙种记事本需要（x+20）元，
依题意，得：＝2×，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
∴x+20＝70．
答：购买一个甲种记事本需要50元，购买一个乙种记事本需要70元．
（2）设该公司购进乙种记事本m个，则购进甲种记事本（40﹣m）个，
依题意，得：，
解得：23≤m≤25．
又∵m为正整数，
∴m＝23，24或25，
∴该公司有三种购买方案：①购进甲种记事本17个，乙种记事本23个；②购进甲种记事本16个，乙种记事本24个；③购进甲种记事本15个，乙种记事本25个．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
4．羽毛球运动由于高强度、低对抗、适龄广的特点，成为男女老少喜爱的运动之一．某商家购进了耐打型羽毛球和竞技型羽毛球进行销售，已知一筒竞技型羽毛球比一筒耐打型羽毛球的进价多40元，其中购买耐打型羽毛球花费5000元，购买竞技型羽毛球花费4500元，且购买耐打型羽毛球数量是购买竞技型羽毛球数量的2倍．
（1）求一筒竞技型羽毛球的进价是多少元．
（2）商家第一次购进的羽毛球很快售完，决定再次购进同种类型的耐打型羽毛球和竞技型羽毛球共120筒，但耐打型羽毛球的进价比第一次购买时提高了18%，而竞技型的进价在第一次购买时进价的基础上打95折，如果商家此次购买耐打型羽毛球和竞技型羽毛球的总费用不超过8140元，那么此次最多可购买多少筒竞技型羽毛球？
【分析】（1）设一筒耐打型羽毛球的进价为x元，根据题意列出方程即可求解；
（2）设购买竞技型羽毛球a筒，根据题意列出不等式即可求解．
【解答】解：（1）设一筒耐打型羽毛球的进价为x元，则一筒竞技型羽毛球的进价为（x+40）元，
根据题意得，
解得x＝50，
经检验x＝50是原方程的解，
∴x+40＝90（元），
则一筒竞技型羽毛球的进价是90元．
（2）设购买竞技型羽毛球a筒，购买耐打型羽毛球（120﹣a）筒，
（1+18%）×50×（120﹣a）+95%×90×a≤8140，
解得a≤40，
答：最多可购买40筒竞技型羽毛球．
【点评】本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用．正确理解题意是解题关键．
类型六、图形图表问题
从图形图表上挖掘信息，建立等量关系
【例6-1】刘峰和李明相约周末去科技馆看展览，根据他们的谈话内容，试求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米？
【分析】设刘峰骑自行车的速度为每小时x千米，则李明乘车的速度为每小时3x千米，根据他们的行驶时间相差0.5小时列出方程并解答即可．
【解答】解：设刘峰骑自行车每小时行x千米，则李明乘公交车每小时行3x千米，
由题意得：＝+，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，
∴3x＝60，
答：刘峰骑自行车每小时行20千米，则李明乘公交车每小时行60千米．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
【例6-2】近期，受俄乌局势影响，国内汽油价格不断上涨．请你根据下面的信息（如图），计算今年4月份汽油的价格．
【分析】设去年10月份汽油价格每升为x元，则今年4月份的汽油价格每升为（1+20%）x元，由题意：用450元给汽车加油，今年4月份的加油量比去年少10升，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设去年10月份汽油价格每升为x元，则今年4月份的汽油价格每升为（1+20%）x元，
由题意得：﹣＝10，
解得：x＝7.5，
经检验，x＝7.5是原方程的解，且符合题意，
则（1+20%）x＝（1+20%）×7.5＝9，
答：今年4月份的汽油价格每升为9元．
【点评】本题考查分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【例6-3】某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下：
燃油车 纯电新能源车
油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时
油价：8元/升 电价：0.6元/千瓦时
（1）设两款车的续航里程均为a千米，请用含a的代数式表示燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用；
（2）若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元．
①请分别求出这两款车的每千米行驶费用；
②若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为4800元和8100元．问：每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
【分析】（1）根据表中的信息，可以表示出燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用；
（2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.55元和表中的信息，列出分式方程，解方程，即可解决问题；
②设每年行驶里程为x千米时，由年费用＝年行驶费用+年其它费用，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）燃油车每千米行驶费用为＝（元），纯电新能源车每千米行驶费用为＝（元），
答：燃油车每千米行驶费用为元，纯电新能源车每千米行驶费用为元；
（2）①由题意得：﹣＝0.55，
解得：a＝600，
经检验，a＝600是分式方程的解，且符合题意，
∴＝0.64（元），＝0.09（元），
答：燃油车每千米行驶费用为0.64元，纯电新能源车每千米行驶费用为0.09元；
②设每年行驶里程为x千米时，买新能源车的年费用更低，
由题意得：0.64x+4800＞0.09x+8100，
解得：x＞6000，
答：当每年行驶里程大于6000千米时，买新能源车的年费用更低．
【点评】本题考查分式方程的应用、列代数式以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）正确列出代数式；（2）①找准等量关系，正确列出分式方程；②找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
针对练习6
1．春节即将到来，家家户户贴春联，挂灯笼，欢天喜地迎新年．某百货超市计划购进春联和灯笼这两种商品．请你根据下面的信息（如图），计算每个灯笼和每副春联的进价．
【分析】设每副春联的进价是x元，则每个灯笼的进价是（x+15）元，根据题意得：，进行计算即可得．
【解答】解：设每副春联的进价是x元，则每个灯笼的进价是（x+15）元，
根据题意得：，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是所列方程的解，且符合题意，
∴x+15＝20+15＝35，
答：每个灯笼的进价是35元，每副春联的进价是20元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系列出方程．
2．为进一步推进美丽乡村建设，某县准备修建一条县级公路．开工时政府部门要求工程队每天的平均进度要比原计划提高20%，结果提前20天完成了任务．
（1）设这条县级公路长为akm，该工程队原计划平均每天修建公路x km，请用含a，x的代数式填表；
平均每天修建公路/km 完成全部工程所需天数/天
原计划 x
实际 （1+20%）x
（2）若这条要修建的公路长度为50km，该工程队实际平均每天修建公路多少千米？
【分析】（1）实际每天铺设管廊（1+20%）x米，根据工作时间＝总工作量÷工作效率可得完成全部工程所需天数；
（2）根据时间比原计划提前20天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论．
【解答】解：（1）如下表；
平均每天修建公路/km 完成全部工程所需天数/天
原计划 x
实际 （1+20%）x
故答案为：（1+20%）x，；
（ 2）由题意可列方程，
﹣＝20，
解得x＝
经检验：x＝是原分式方程的解，
∴（1+20%）x＝×1.2＝0.5，
．
答：该工程队实际平均每天修建公路0.5km．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
3．根据素材，完成活动任务：
素材一 为鼓励学生积极参加学校劳动，养成劳动习惯，培养劳动品质某校“方志实践”劳动基地打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地．已知围栏的横杠长为15dm，竖杠长为8dm，一副围栏由2个横杠，5个竖杠制作而成．
素材二 项目化学习小组到市场了解到：现木材市场的这种规格的围栏材料每根长为40dm，价格为50元/根．为了深度参与学校蔬菜基地的建立，项目化小组打算自己购买材料，制作搭建蔬菜基地的围栏同时为了围栏的牢固性，用料不能是拼接而成．
解决问题
任务要求 解决办法
任务一 一根40dm长的围栏材料有哪些裁剪方法呢？（余料作废） 方法①：当只裁剪8dm长的竖杠时，最多可裁剪 5 根；方法②：当先裁剪下1根15dm长的横杠时，余下部分最多能裁剪8dm长的竖杠 3 根；方法③：当先裁剪下2根15dm长的横杠时，余下部分最多能裁剪8dm长的竖杠 1 根．
任务二 基地负责老师告诉项目化学习小组：搭建蔬菜基地需要用到的围栏长为75dm（即需要制作5副围栏，需要的用料为：25个竖杠，10个横杠），请完成裁剪并计算费用． 项目化小组打算用“任务一”中的方法②和方法③完成裁剪任务．请计算：分别用“任务一”中的方法②和方法③各裁剪多少根40dm长的围栏材料，才能刚好得到所需要的相应数量的用料？并求出购买围栏材料的费用．
任务三 某安装技术人员告诉项目化小组同学：我们在单位时间内可以安装m根竖杠或（7﹣m）根横杠．现需知道技术人员的安装效率． 任务二中的5副围栏安装完毕时，项目化小组发现技术人员安装竖杠所需的时间与安装横杠所需的时间相同，则m＝ 5 ．
【分析】根据围栏材料不同裁剪方法，分别计算出需要的竖杠或横杠；利用方法②与方法③列出方程组求解即可；利用在单位时间内可以安装m根竖杠或（7﹣m）根横杠，所用的时间相同，建立分式方程，求解即可．
【解答】解：任务一：40÷8＝5（根），
方法①：当只裁剪8dm长的竖杠时，最多可裁剪5根．
，
方法②：当先裁剪下1根15dm长的横杠时，余下部分最多能裁剪8dm长的竖杠3根．
，
方法③：当先裁剪下2根15dm长的横杠时，余下部分最多能裁剪8dm长的竖杠1根．
任务二：设方法②需裁剪x根，方法③需裁剪y根，依据题意得：
，解得：．
50×（8+1）＝450（元）．
答：方法②和方法③各裁剪8根与1根40dm长的围栏材料，才能刚好得到所需要的相应数量的用料，购买围栏材料的费用共需45元．
任务三：依据题意得，解得：m＝5．
【点评】本题考查了二元一次方程组与分式方程的应用，解题的关键是仔细审题，正确列出方程．
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八年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题二十七 分式方程的应用大串讲
类型一、工程问题
工程问题 基本公式：工作量=工时×工效
【例1-1】某地下管道，若由甲队单独铺设，恰好在规定时间内完成；若由乙队单独铺设，需要超过规定时间15天才能完成，如果先由甲、乙两队合做10天，再由乙队单独铺设正好按时完成．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为5000元，乙队每天的施工费用为3000元，为了缩短工期以减少对居民交通的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成，那么该工程施工费用是多少？
【例1-2】某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用30天时间完成整个工程．当一号施工队工作10天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前8天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程．
（1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？
（2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？
针对练习1
1 .正所谓“道路通达，百业兴旺”，某村决定对村里的部分道路进行整改，将工程交由甲、乙两个工程队来完成．已知甲工程队每天比乙工程队多修0.4km，如果甲工程队修6.4km所用的天数是乙工程队修9.6km所用天数的一半．
（1）求甲，乙两个工程队每天各修路多少km？
（2）现计划再修建长度为24km的道路，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为2.4万元，乙队每天所需费用为1.5万元，求在总费用不超过33.6万元的情况下，至少安排乙工程队施工多少天？
2．甲．乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天．求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？
3．甲、乙二人组装一批机械零件承担，甲乙二人对话信息如下：
甲说：我每小时比乙少做6个；
乙说：你做60个与我做90个所用时间相等．
求甲、乙每小时各组装零件多少个．
4．2021年12月，我市某区千亩“三月红”柑橘挂满枝头，采摘人员的需求也随之增多，为了尽快抢收成熟柑橘，某脱贫攻坚办公室紧急组织了一支志愿者服务队．某村种植合作社共需要采摘柑橘240吨，村民采摘40吨后，志愿者服务队加入一起采摘．已知志愿者服务队采摘的速度是村民采摘速度的1.5倍，从村民开始采摘到全部采摘完毕，一共用了15天．
（1）求村民每天采摘柑橘多少吨？
（2）已知合作社每天需要支出给村民劳务费2000元，志愿者服务队是义务劳动，不需支出劳务费，只需每天支出饮食费500元，问志愿者服务队加入后可帮助合作社节省多少元？
类型二、行程问题
行程问题：（1）路程=速度x时间
顺水速度= 静水速度+水流速度 逆水速度=静水速度-水流速度
【例2-1】核酸检测时需要先采集样本，采集样本结束后，再统一把样本送检测中心检验，且采集的样本和送达的样本的时间必须在4小时内完成，超过4小时送达，样本就会失效．已知A、B两个采样点到检测中心的路程分别为30km、36km，经过了解获得A、B两个采样点的送检车有如下信息：
信息一：B采样点送检车的平均速度是A采样点送检车的平均速度1.2倍；
信息二：A、B两个采样点送检车行驶的时间之和为2小时．
（1）A、B两个采样点送检车的平均速度分别是多少？
（2）若B采样点从开始采集样本到送检车出发用了2.6小时，判断样本送达检测中心后会不会失效？
【例2-2】“艺绽新时代，技炫新未来！”第五届中国杂技艺术节于2022年11月8日—13日在濮阳隆重举行．某校初二年级的学生从学校出发乘大巴去市文化官参加“第五届中国杂技艺术节”活动，市文化宫距离该校12千米，1号车出发3分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达，已知2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.2倍，求2号车的平均速度（千米/分钟）．
【例2-3】面对新一轮疫情，芜湖市开展围绕家庭战“疫”健身活动，周末张华和张明兄弟两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知张华骑行的速度是张明的1.2倍．
（1）若张明先骑行2千米，张华才开始从A地出发，则张华出发半小时恰好追上张明，求张华骑行的速度；
（2）若张明先骑行20分钟，张华才开始从A地出发，则两人恰好同时到达B地，求张华骑行的速度．
针对练习2
1．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A﹣B﹣C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝12米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，则小敏通过AB路段时的速度是（ ）
A．0.5米/秒 B．1米/秒 C．1.5米/秒 D．2米/秒
2．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一封信件用慢马送到1000里外的城市，需要的时间比规定时间多2天；若用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍．小明认为规定的时间为7天，小亮认为规定的时间为8天，关于两个人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．小明的观点正确 B．小亮的观点正确
C．两人的观点都不正确 D．无法确定
3．马小虎的家距离学校1800米，一天马小虎从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校200米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度．设马小虎的速度为x米/分．
（1）依题意，填写下表：
路程 速度 时间
小虎 1600 x
爸爸 1600 2x
（2）根据上表，列方程解决问题．
4．甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米．甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲、乙两同学同时从家里出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟．
（1）求乙骑自行车的速度；
（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？
类型三、营销类问题
总价=数量x单价
【例3-1】某中学为了止学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动，据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的1.5倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少5捆．
（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格；
（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元，学校决定在菜苗基地购买A、B两种菜苗共100捆，所花的费用不超过2400元，求在菜苗基地购买A种菜苗至少多少捆．
【例3-2】端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．求乙种粽子的单价是多少元？
【例3-3】2023年4月24日，在“中国航天日”主场活动启动仪式上，国家航天局和中国科学院联合发布了中国首次火星探测火星全球影像图．我国航天事业的飞速发展激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A、B两款物理实验套装，其中A款套装单价是B款套装单价的1.2倍，用9600元购买的A款套装数量比用7200元购买的B款套装数量多5套，问A、B两款套装的单价分别是多少元？
针对练习3
1．学期末，班主任为获得“文明学生”和“劳动积极分子”称号的学生准备了A，B两种礼物．已知A，B两种礼物的总价分别为450元和420元，且A种礼物比B种礼物多10份，A，B两种礼物的单价分别是这一批礼物平均单价的和1.2倍，则这一批礼物的平均单价是（ ）
A．15元 B．元 C．10元 D．元
2．为深入践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，我国绿色发展成就显著，在今年的植树造林活动期间，某苗圃公司第一天卖出一批小叶榄仁树苗共收款8000元，第二天又卖出同样的树苗收款17000元，所卖数量是第一天的2倍，售价比第一天每棵多了5元，第二天每棵树苗售价是 85 元．
3．2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空．某中学组织毕业班的同学观看现场直播，学校准备为同学们购进A、B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款文化衫和用400元购进B款文化衫的数量相同．
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元购进两种文化衫，应至少购进B款文化衫多少件．
4．列方程解应用题．
某商店老板第一次用1000元购进了一批口罩，很快销售完毕；第二次购进时发现每个口罩的进价比第一次上涨了2.5元．老板用2500元购进了第二批口罩，所购进口罩的数量是第一批购进口罩数量的2倍，同样很快销售完毕，两批口罩的售价均为15元．
（1）求第二次购进了多少个口罩？
（2）商店老板第一次购进的口罩有30元的损耗，第二次购进的口罩有125元的损耗，问商店老板在这两笔生意中共盈利多少元？
类型四、商品利润问题
售价-进价=利润 进价x利润率=利润 标价x折扣=售价
【例4-1】现有甲、乙两种糖混合而成的什锦糖50千克，两种糖的千克数和单价如表．商店以糖果的平均价格作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高1元，需加入甲种糖 10 千克．
甲种糖果 乙种糖果
千克数 20 30
单价（元/千克） 25 15
【例4-2】2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空．某中学组织毕业班的同学观看现场直播，学校准备为同学们购进A、B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款文化衫和用400元购进B款文化衫的数量相同．
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元购进两种文化衫，应至少购进B款文化衫多少件．
【例4-3】在今年新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1.5元，且用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同．
（1）A、B两种型号口罩的单价各是多少元？
（2）根据疫情发展情况，该公司还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过3600元，则增加购买A型口罩的数量最多是多少个？
针对练习4
1．某物美超市同时卖出了两个进价不同的冰墩墩A和B，售价均为90元，按成本计算，超市人员发现冰墩墩A盈利了50%，而冰墩墩B却亏损了40%，则这次超市是（ ）
A．不赚不赔 B．赚了 C．赔了 D．无法判断
2．2月开学季来临，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的开学大礼包．已知2月上旬A、B、C三种主题大礼包售价之比为2～4～5，销量之比为7～1～2．开学后不久，根据市场需求，在2月下旬文具店老板店对三种主题大礼包售价进行了调整，其中B主题大礼包售价比2月上旬降低了，C主题大礼包在2月上旬售价的基础上打八折，从而使得B、C两种主题大礼包销售额相较于2月上旬有所增加，A主题大礼包销售额相较于2月上旬有所下降．若A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额之比为4～7～5，且A主题大礼包减少的销售额占2月下旬三种主题大礼包总销售额的，则2月下旬B、C两种主题大礼包的销量之比为 6：5 ．
3．为深入践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，我国绿色发展成就显著，在今年的植树造林活动期间，某苗圃公司第一天卖出一批小叶榄仁树苗共收款8000元，第二天又卖出同样的树苗收款17000元，所卖数量是第一天的2倍，售价比第一天每棵多了5元，第二天每棵树苗售价是 85 元．
4．一商店用800元买进玩具若干个，其中有2个损坏无法出售，剩余的以每个比进价多10元的价格出售，若剩余的全部卖完，则这批玩具共赚100元．则这批玩具每个进价是 40 元．
类型五、最优方案问题
用代数式表示出不同的方案，利用不等式确定最优方案
【例5-1】疫情防控，人人有责．某公司为了解决员工的口罩问题上，准备采购A、B两种型号的口罩，A种口罩每件单价比B种口罩每件多100元，用2000元购进A种口罩和用1200元购进B种口罩的数量相同．
（1）A种口罩每件的单价和B种口罩的单价各是多少元？
（2）公司计划用4000元的资金购进A、B两种型号的口罩共20件，其中A种口罩数量不得低于B种口罩数量的一半，该公司有几种采购方案，哪种购买方式最划算？
【例5-2】某区在进行雨水、污水管道改造工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算，甲工程队单独完成该项工程需120天．若由乙先单独做20天，余下的工程由甲、乙合做36天可完成．
（1）求乙单独完成该项工程需要多少天？
（2）甲队施工一天，需付1.5万元工程费，乙队施工一天，需付2.5万元工程费，若该工程计划在90天内完成，在不超过工程计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱，还是由甲、乙全程共同完成更省钱，说明理由．
【例5-2】永州市万达广场筹建之初的一项挖土工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，每施工一天，需付甲工程队工程款2.4万元，付乙工程队工程款1.8万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
（方案一）甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完成：
（方案二）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用6天；
（方案三）若由甲、乙两队合作做5天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工．
（1）请你求出完成这项工程的规定时间；
（2）如果你是工程领导小组的组长，为了节省工程款，同时又能如期完工，你将选择哪一种方案？说明理由．
针对练习5
1．为响应对口扶贫，深圳某单位和西部某乡结对帮扶，采购该乡农副产品助力乡村振兴．已知1件A产品价格比1件B产品价格少20元，300元购买A产品件数与400元购买B产品件数相同．
（1）A产品和B产品每件分别是多少元？
（2）深圳该对口单位动员职工采购该乡A、B两种农副产品，根据统计：职工响应积极，两种预计共购买150件，A的数量不少于B的2倍，当采购A、B两种农副产品为多少时，购买总费用最大？并求购买总费用的最大值．
2．为落实“双减政策”某学校购进“红色教育”和“传统文化”两种经典读本，花费分别是12000元和5000元，已知“红色教育”经典读本的订购单价是“传统文化”经典读本的订购单价的1.2倍，并且订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多500本．
（1）求该学校订购的两种经典读本的单价分别是多少元；
（2）该学校拟计划再订购这两种经典读本共1000本，其中“红色教育”经典读本订购数量不低于600本且总费用不超过11500元，求该学校订购这两种读本的最低总费用．
3．某公司举行周年庆典，决定订购一批印有公司logo的记事本赠送给客户，购买甲种记事本共花费3000元，购买乙种记事本共花费2100元，购买甲种记事本的数量是购买乙种记事本数量的2倍，且购买一个乙种记事本比购买一个甲种记事本多花20元．
（1）求购买一个甲种记事本，一个乙种记事本各需多少元？
（2）由于公司业务的扩大，公司决定再次购买甲、乙两种记事本共40个，且乙种记事本不少于23个，预算金额不超过2400元，购买时恰逢该店对两种记事本的售价进行调整，甲种记事本售价比第一次购买时提高了10%，乙种记事本售价比第一次购买时降低了10%，请问该公司有哪几种方案购买这批记事本？
4．羽毛球运动由于高强度、低对抗、适龄广的特点，成为男女老少喜爱的运动之一．某商家购进了耐打型羽毛球和竞技型羽毛球进行销售，已知一筒竞技型羽毛球比一筒耐打型羽毛球的进价多40元，其中购买耐打型羽毛球花费5000元，购买竞技型羽毛球花费4500元，且购买耐打型羽毛球数量是购买竞技型羽毛球数量的2倍．
（1）求一筒竞技型羽毛球的进价是多少元．
（2）商家第一次购进的羽毛球很快售完，决定再次购进同种类型的耐打型羽毛球和竞技型羽毛球共120筒，但耐打型羽毛球的进价比第一次购买时提高了18%，而竞技型的进价在第一次购买时进价的基础上打95折，如果商家此次购买耐打型羽毛球和竞技型羽毛球的总费用不超过8140元，那么此次最多可购买多少筒竞技型羽毛球？
类型六、图形图表问题
从图形图表上挖掘信息，建立等量关系
【例6-1】刘峰和李明相约周末去科技馆看展览，根据他们的谈话内容，试求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米？
【例6-2】近期，受俄乌局势影响，国内汽油价格不断上涨．请你根据下面的信息（如图），计算今年4月份汽油的价格．
【例6-3】某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下：
燃油车 纯电新能源车
油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时
油价：8元/升 电价：0.6元/千瓦时
（1）设两款车的续航里程均为a千米，请用含a的代数式表示燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用；
（2）若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元．
①请分别求出这两款车的每千米行驶费用；
②若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为4800元和8100元．问：每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
针对练习6
1．春节即将到来，家家户户贴春联，挂灯笼，欢天喜地迎新年．某百货超市计划购进春联和灯笼这两种商品．请你根据下面的信息（如图），计算每个灯笼和每副春联的进价．
2．为进一步推进美丽乡村建设，某县准备修建一条县级公路．开工时政府部门要求工程队每天的平均进度要比原计划提高20%，结果提前20天完成了任务．
（1）设这条县级公路长为akm，该工程队原计划平均每天修建公路x km，请用含a，x的代数式填表；
平均每天修建公路/km 完成全部工程所需天数/天
原计划 x
实际 （1+20%）x
（2）若这条要修建的公路长度为50km，该工程队实际平均每天修建公路多少千米？
3．根据素材，完成活动任务：
素材一 为鼓励学生积极参加学校劳动，养成劳动习惯，培养劳动品质某校“方志实践”劳动基地打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地．已知围栏的横杠长为15dm，竖杠长为8dm，一副围栏由2个横杠，5个竖杠制作而成．
素材二 项目化学习小组到市场了解到：现木材市场的这种规格的围栏材料每根长为40dm，价格为50元/根．为了深度参与学校蔬菜基地的建立，项目化小组打算自己购买材料，制作搭建蔬菜基地的围栏同时为了围栏的牢固性，用料不能是拼接而成．
解决问题
任务要求 解决办法
任务一 一根40dm长的围栏材料有哪些裁剪方法呢？（余料作废） 方法①：当只裁剪8dm长的竖杠时，最多可裁剪 5 根；方法②：当先裁剪下1根15dm长的横杠时，余下部分最多能裁剪8dm长的竖杠 3 根；方法③：当先裁剪下2根15dm长的横杠时，余下部分最多能裁剪8dm长的竖杠 1 根．
任务二 基地负责老师告诉项目化学习小组：搭建蔬菜基地需要用到的围栏长为75dm（即需要制作5副围栏，需要的用料为：25个竖杠，10个横杠），请完成裁剪并计算费用． 项目化小组打算用“任务一”中的方法②和方法③完成裁剪任务．请计算：分别用“任务一”中的方法②和方法③各裁剪多少根40dm长的围栏材料，才能刚好得到所需要的相应数量的用料？并求出购买围栏材料的费用．
任务三 某安装技术人员告诉项目化小组同学：我们在单位时间内可以安装m根竖杠或（7﹣m）根横杠．现需知道技术人员的安装效率． 任务二中的5副围栏安装完毕时，项目化小组发现技术人员安装竖杠所需的时间与安装横杠所需的时间相同，则m＝ 5 ．
八年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题二十七 分式方程的应用大串讲
类型一、工程问题
工程问题 基本公式：工作量=工时×工效
【例1-1】某地下管道，若由甲队单独铺设，恰好在规定时间内完成；若由乙队单独铺设，需要超过规定时间15天才能完成，如果先由甲、乙两队合做10天，再由乙队单独铺设正好按时完成．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为5000元，乙队每天的施工费用为3000元，为了缩短工期以减少对居民交通的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成，那么该工程施工费用是多少？
【分析】（1）设这项工程的规定时间是x天，根据甲、乙队先合做10天，余下的工程由甲队单独需要10天完成，可得出方程解答即可；
（2）先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可．
【解答】解：（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意得：
（+）×10+＝1．
解得：x＝30．
经检验x＝30是原分式方程的解．
答：这项工程的规定时间是30天．
（2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷（+）＝18（天），
则该工程施工费用是：18×（5000+3000）＝144000（元），
答：该工程的费用为144000元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位1”，注意仔细审题，运用方程思想解答．
【例1-2】某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用30天时间完成整个工程．当一号施工队工作10天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前8天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程．
（1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？
（2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？
【分析】（1）设二号施工队单独施工需要x天，根据题意列方程即可得到结论；
（2）根据题意列式计算即可．
【解答】解：（1）设二号施工队单独施工需要x天，
根据题意得：，
解得：x＝45，
经检验，x＝45是原分式方程的解．
答：若由二号施工队单独施工，完成整个工期需要45天．
（2）根据题意得：（天），
答：若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要18天．
【点评】本题考查了分式方程的应用，正确的理解题意是解题的关键．
针对练习1
1 .正所谓“道路通达，百业兴旺”，某村决定对村里的部分道路进行整改，将工程交由甲、乙两个工程队来完成．已知甲工程队每天比乙工程队多修0.4km，如果甲工程队修6.4km所用的天数是乙工程队修9.6km所用天数的一半．
（1）求甲，乙两个工程队每天各修路多少km？
（2）现计划再修建长度为24km的道路，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为2.4万元，乙队每天所需费用为1.5万元，求在总费用不超过33.6万元的情况下，至少安排乙工程队施工多少天？
【分析】（1）设乙工程队每天修路x km，则甲工程队每天修路（x+0.4）km，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合甲工程队修6.4km所用的天数是乙工程队修9.6km所用天数的一半，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可求出乙工程队每天修路长度，再将其代入（x+0.4）中，即可求出甲工程队每天修路长度；
（2）设安排乙工程队施工m天，则安排甲工程队施工天，利用总费用＝甲工程队每天所需费用×甲工程队工作时间+乙工程队每天所需费用×乙工程队工作时间，结合总费用不超过33.6万元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙工程队每天修路x km，则甲工程队每天修路（x+0.4）km，
根据题意得：＝×，
解得：x＝1.2，
经检验，x＝1.2是所列方程的解，且符合题意，
∴x+0.4＝1.2+0.4＝1.6．
答：甲工程队每天修路1.6km，乙工程队每天修路1.2km；
（2）设安排乙工程队施工m天，则安排甲工程队施工天，
根据题意得：2.4×+1.5m≤33.6，
解得：m≥8，
∴m的最小值为8．
答：至少安排乙工程队施工8天．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
2．甲．乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天．求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？
【分析】设乙每天加工零件x个，则甲每天加工零件1.5x个，根据两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天列出方程，解方程并检验即可．
【解答】解：设乙每天加工零件x个，则甲每天加工零件1.5x个，
由题意得，，
解得：x＝40，
经检验：x＝40是原分式方程的解且符合题意，1.5x＝60，
答：甲每天加工零件60个，乙每天加工零件40个．
【点评】此题考查了分式方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．
3．甲、乙二人组装一批机械零件承担，甲乙二人对话信息如下：
甲说：我每小时比乙少做6个；
乙说：你做60个与我做90个所用时间相等．
求甲、乙每小时各组装零件多少个．
【分析】设甲每小时做x个零件，乙每小时做（x+6）个零件，根据甲做60个与乙做90个所用时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结果．
【解答】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x+6）个零件，
由题意得：，
解得：x＝12，
经检验：x＝12是分式方程的解，且符合题意，
∴分式方程的解为：x＝12，
∴x+6＝18
答：甲每小时做12个零件，乙每小时做18个零件．
【点评】本题主要考查了分式方程的实际应用；熟练掌握工作时间等于工作量除以工作效率是解题的关键．
4．2021年12月，我市某区千亩“三月红”柑橘挂满枝头，采摘人员的需求也随之增多，为了尽快抢收成熟柑橘，某脱贫攻坚办公室紧急组织了一支志愿者服务队．某村种植合作社共需要采摘柑橘240吨，村民采摘40吨后，志愿者服务队加入一起采摘．已知志愿者服务队采摘的速度是村民采摘速度的1.5倍，从村民开始采摘到全部采摘完毕，一共用了15天．
（1）求村民每天采摘柑橘多少吨？
（2）已知合作社每天需要支出给村民劳务费2000元，志愿者服务队是义务劳动，不需支出劳务费，只需每天支出饮食费500元，问志愿者服务队加入后可帮助合作社节省多少元？
【分析】（1）设村民每天采摘柑橘x吨，则志愿服务队每天采摘柑橘1.5x吨，由题意：从村民开始采摘到全部采摘完毕，一共用了15天．列出分式方程，解方程即可；
（2）求出原计划村民需要的天数和志愿队工作的天数，再求出实际花费的费用，即可解决问题．
【解答】解：（1）设村民每天采摘柑橘x吨，则志愿服务队每天采摘柑橘1.5x吨，
依题意得：+＝15，
解得：x＝8，
经检验，x＝8是原分式方程的解，且符合题意，
则1.5x＝1.5×8＝12，
答：村民每天采摘柑橘8吨．
（2）原计划村民需＝30（天）才能完成，则需花费2000×30＝60000（元）．
志愿队工作了＝10（天），村民工作了+10＝15（天），
∴实际花费为：2000×15+500×10＝35000（元），
共节省了：60000﹣35000＝25000（元），
答：志愿者服务队加入后可帮助合作社节省25000元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
类型二、行程问题
行程问题：（1）路程=速度x时间
顺水速度= 静水速度+水流速度 逆水速度=静水速度-水流速度
【例2-1】核酸检测时需要先采集样本，采集样本结束后，再统一把样本送检测中心检验，且采集的样本和送达的样本的时间必须在4小时内完成，超过4小时送达，样本就会失效．已知A、B两个采样点到检测中心的路程分别为30km、36km，经过了解获得A、B两个采样点的送检车有如下信息：
信息一：B采样点送检车的平均速度是A采样点送检车的平均速度1.2倍；
信息二：A、B两个采样点送检车行驶的时间之和为2小时．
（1）A、B两个采样点送检车的平均速度分别是多少？
（2）若B采样点从开始采集样本到送检车出发用了2.6小时，判断样本送达检测中心后会不会失效？
【分析】（1）根据B采样点送检车的平均速度是A采样点送检车的平均速度1.2倍，设A采样点送检车的平均速度是x km/h，则B采样点送检车的平均速度是1.2x km/h，根据A、B两个采样点送检车行驶的时间之和为2小时，由此可算出A、B采样点送检车的平均速度；
（2）最后根据（1）中求出的B采样点送检车的平均速度，利用路程与速度关系算出时间，由此即可求解．
【解答】解：（1）设A采样点送检车的平均速度是x km/h，则B采样点送检车的平均速度是1.2x km/h，
根据题意可知，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意，
∴A采样点送检车的平均速度是30km/h，B采样点送检车的平均速度是36km/h；
（2）由（1）可知B采样点送检车的平均速度是36km/h，
∴B采集点送检车的行驶时间为36÷36＝1h，
2.6+1＝3.6h＜4h，
∴B采集点送达检测中心的样本不会失效．
【点评】本题主要考查分式方程的应用，路程问题，理解A采样点送检车的平均速度与B采样点送检车的平均速度，A、B两个采样点送检车行驶的时间关系，求出各自的速度和时间是解题的关键．
【例2-2】“艺绽新时代，技炫新未来！”第五届中国杂技艺术节于2022年11月8日—13日在濮阳隆重举行．某校初二年级的学生从学校出发乘大巴去市文化官参加“第五届中国杂技艺术节”活动，市文化宫距离该校12千米，1号车出发3分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达，已知2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.2倍，求2号车的平均速度（千米/分钟）．
【分析】设1号车的平均速度为x千米/分钟，则2号车的平均速度为1.2x千米/分钟，根据题干条件列出方程求解即可．
【解答】解：设1号车的平均速度为x千米/分钟，则2号车的平均速度为1.2x千米/分钟，
根据题意得：，
解得：，
经检验 是原方程的根，
（千米/分钟），
答：2号车的平均速度为0.8千米/分钟．
【点评】本题考查了分式方程的实际应用及解分式方程，解题的关键是从实际问题中提取出等量关系和熟练掌握分式方程的解法．
【例2-3】面对新一轮疫情，芜湖市开展围绕家庭战“疫”健身活动，周末张华和张明兄弟两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知张华骑行的速度是张明的1.2倍．
（1）若张明先骑行2千米，张华才开始从A地出发，则张华出发半小时恰好追上张明，求张华骑行的速度；
（2）若张明先骑行20分钟，张华才开始从A地出发，则两人恰好同时到达B地，求张华骑行的速度．
【分析】（1）设张明骑行的速度是x千米/小时，则张华骑行的速度是1.2x千米/小时，利用路程＝速度×时间，结合张华出发半小时恰好追上张明，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入1.2x中，即可求出张华骑行的速度；
（2）设张明骑行的速度是y千米/小时，则张华骑行的速度是1.2y千米/小时，利用时间＝路程÷速度，结合张明比张华多用20分钟，可列出关于y的分式方程，解之经检验后，可得出y的值，再将其代入1.2y中，即可求出张华骑行的速度．
【解答】解：（1）设张明骑行的速度是x千米/小时，则张华骑行的速度是1.2x千米/小时，
根据题意得：2+0.5x＝0.5×1.2x，
解得：x＝20，
∴1.2x＝1.2×20＝24．
答：张华骑行的速度是24千米/小时；
（2）设张明骑行的速度是y千米/小时，则张华骑行的速度是1.2y千米/小时，
根据题意得：﹣＝，
解得：y＝15，
经检验，y＝15是所列方程的解，且符合题意，
∴1.2y＝1.2×15＝18．
答：张华骑行的速度是18千米/小时．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．
针对练习2
1．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A﹣B﹣C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝12米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，则小敏通过AB路段时的速度是（ ）
A．0.5米/秒 B．1米/秒 C．1.5米/秒 D．2米/秒
【分析】设小敏通过AB路段时的速度是x米/秒，则小敏通过BC路段时的速度是1.2x米/秒，利用时间＝路程÷速度，结合小敏共用22秒通过AC路段，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设小敏通过AB路段时的速度是x米/秒，则小敏通过BC路段时的速度是1.2x米/秒，
依题意得：+＝22，
解得：x＝1，
经检验，x＝1是原方程的解，且符合题意，
∴小敏通过AB路段时的速度是1米/秒．
故选：B．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
2．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一封信件用慢马送到1000里外的城市，需要的时间比规定时间多2天；若用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍．小明认为规定的时间为7天，小亮认为规定的时间为8天，关于两个人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．小明的观点正确 B．小亮的观点正确
C．两人的观点都不正确 D．无法确定
【分析】首先设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+2）天，由题意得等量关系：慢马速度×2＝快马速度，根据等量关系，可得方程，再解方程可得答案．
【解答】解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+2）天，由题意得：
，
解得：x＝8，经检验x＝8是原方程的根且符合题意；
∴规定的时间为8天，
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
3．马小虎的家距离学校1800米，一天马小虎从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校200米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度．设马小虎的速度为x米/分．
（1）依题意，填写下表：
路程 速度 时间
小虎 1600 x
爸爸 1600 2x
（2）根据上表，列方程解决问题．
【分析】（1）由爸爸追上马小虎时，两人的路程相同，可得出此时马小虎走过的路程为1600米，集合马小虎的速度，可求出马小虎所用的时间；
（2）结合爸爸追上马小虎时，爸爸比马小虎少用10分钟，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵爸爸追上马小虎时，爸爸走过的路程为1600米，
∴马小虎走过的路程为1600米；
又∵马小虎的速度为x米/分，
∴马小虎所用的时间为分钟．
故答案为：1600，；
（2）根据题意得：﹣＝10，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是所列方程的解，且符合题意．
答：马小虎的速度为80米/分．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
4．甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米．甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲、乙两同学同时从家里出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟．
（1）求乙骑自行车的速度；
（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？
【分析】（1）设乙骑自行车的速度为x米/分钟，则甲步行速度是x米/分钟，公交车的速度是2x米/分钟，根据题意列方程即可得到结论；
（2）300×2＝600米即可得到结果．
【解答】解：（1）设乙骑自行车的速度为x米/分钟，则甲步行速度是x米/分钟，公交车的速度是2x米/分钟，
根据题意得+＝﹣2，
解得：x＝300米/分钟，
经检验x＝300是方程的根，
答：乙骑自行车的速度为300米/分钟；
（2）∵300×2＝600米，
答：当甲到达学校时，乙同学离学校还有600米．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，根据题意得到乙的运动速度是解题关键．
类型三、营销类问题
总价=数量x单价
【例3-1】某中学为了止学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动，据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的1.5倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少5捆．
（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格；
（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元，学校决定在菜苗基地购买A、B两种菜苗共100捆，所花的费用不超过2400元，求在菜苗基地购买A种菜苗至少多少捆．
【分析】（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，根据用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少5捆，列方程可得菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元；
（2）设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗（100﹣m）捆，由本次购买花费不超过2400元得：20m+30（100﹣m）≤2250解即可得答案．
【解答】解：（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，
根据题意得：﹣＝5，
解得x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，
答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元；
（2）设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗（100﹣m）捆，
20m+30（100﹣m）≤2400，
解得：m≥60，
∴所花的费用不超过2400元，在菜苗基地购买A种菜苗至少60捆．
答：菜苗基地购买A种菜苗至少60捆．
【点评】本题考查分式方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式．
【例3-2】端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．求乙种粽子的单价是多少元？
【分析】设乙种粽子的单价是x元，则甲种粽子的单价是2x元，利用数量＝总价÷单价，结合用1200元购进甲种粽子的数量比用800元购进乙种粽子的数量少50个，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：设乙种粽子的单价是x元，则甲种粽子的单价是2x元，
根据题意得：﹣＝50，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是所列方程的解，且符合题意．
答：乙种粽子的单价是4元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【例3-3】2023年4月24日，在“中国航天日”主场活动启动仪式上，国家航天局和中国科学院联合发布了中国首次火星探测火星全球影像图．我国航天事业的飞速发展激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A、B两款物理实验套装，其中A款套装单价是B款套装单价的1.2倍，用9600元购买的A款套装数量比用7200元购买的B款套装数量多5套，问A、B两款套装的单价分别是多少元？
【分析】设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是1.2x元，根据用9600元购买的A款套装数量比用7200元购买的B款套装数量多5套，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是1.2x元，
由题意得：﹣＝5，
解得：x＝160，
经检验，x＝160是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x＝1.2×160＝192，
答：A款套装的单价是192元，B款套装的单价是160元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键,。
针对练习3
1．学期末，班主任为获得“文明学生”和“劳动积极分子”称号的学生准备了A，B两种礼物．已知A，B两种礼物的总价分别为450元和420元，且A种礼物比B种礼物多10份，A，B两种礼物的单价分别是这一批礼物平均单价的和1.2倍，则这一批礼物的平均单价是（ ）
A．15元 B．元 C．10元 D．元
【分析】设这一批礼物平均单价是x元，则A礼物的单价是0.9x元，B礼物的单价是1.2x元，利用数量＝总价÷单价，结合A种礼物比B种礼物多10份，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设这一批礼物平均单价是x元，则A礼物的单价是0.9x元，B礼物的单价是1.2x元，
依题意得：﹣＝10，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意．
答：这一批礼物平均单价是15元．
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
2．为深入践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，我国绿色发展成就显著，在今年的植树造林活动期间，某苗圃公司第一天卖出一批小叶榄仁树苗共收款8000元，第二天又卖出同样的树苗收款17000元，所卖数量是第一天的2倍，售价比第一天每棵多了5元，第二天每棵树苗售价是 85 元．
【分析】设第二天每棵树苗售价为x元，根据第二天所卖数量是第一天的2倍，列分式方程，求解即可．
【解答】解：设第二天每棵树苗售价为x元，
根据题意，得，
解得x＝85，
经检验，x＝85是原分式方程的根，且符合题意，
故答案为：85．
【点评】本题考查了分式方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键．
3．2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空．某中学组织毕业班的同学观看现场直播，学校准备为同学们购进A、B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款文化衫和用400元购进B款文化衫的数量相同．
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元购进两种文化衫，应至少购进B款文化衫多少件．
【分析】（1）设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件（x+10）元，利用数量＝总价÷单价，结合用500元购进A款文化衫和用400元购进B款文化衫的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可求出B款文化衫的单价，再将其代入（x+10）中，即可求出A款文化衫的单价；
（2）设购进B款文化衫y件，则购进A款文化衫（300﹣y）件，利用总价＝单价×数量，结合总价不多于14800元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件（x+10）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意，
∴x+10＝40+10＝50．
答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；
（2）设购进B款文化衫y件，则购进A款文化衫（300﹣y）件，
根据题意得：50（300﹣y）+40y≤14800，
解得：y≥20．
答：应至少购进B款文化衫20件．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
4．列方程解应用题．
某商店老板第一次用1000元购进了一批口罩，很快销售完毕；第二次购进时发现每个口罩的进价比第一次上涨了2.5元．老板用2500元购进了第二批口罩，所购进口罩的数量是第一批购进口罩数量的2倍，同样很快销售完毕，两批口罩的售价均为15元．
（1）求第二次购进了多少个口罩？
（2）商店老板第一次购进的口罩有30元的损耗，第二次购进的口罩有125元的损耗，问商店老板在这两笔生意中共盈利多少元？
【分析】（1）设第一次购进了x个口罩，则第二次购进了2x个口罩，利用单价＝总价÷数量，结合第二次购进时发现每个口罩的进价比第一次上涨了2.5元，可列出关于x的分式方程，解之可求出第一次购进口罩的数量，再将其代入2x中，即可求出第二次购进口罩的数量；
（2）利用商店老板在这两笔生意中的总利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价﹣两次购进口罩的损耗，即可求出结论．
【解答】解：（1）设第一次购进了x个口罩，则第二次购进了2x个口罩，
根据题意得：﹣＝2.5，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是所列方程的解，且符合题意，
∴2x＝2×100＝200．
答：第二次购进了200个口罩；
（2）根据题意得：15×（100+200）﹣1000﹣2500﹣30﹣125
＝15×300﹣1000﹣2500﹣30﹣125
＝4500﹣1000﹣2500﹣30﹣125
＝845（元）．
答：商店老板在这两笔生意中共盈利845元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算．
类型四、商品利润问题
售价-进价=利润 进价x利润率=利润 标价x折扣=售价
【例4-1】现有甲、乙两种糖混合而成的什锦糖50千克，两种糖的千克数和单价如表．商店以糖果的平均价格作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高1元，需加入甲种糖 10 千克．
甲种糖果 乙种糖果
千克数 20 30
单价（元/千克） 25 15
【分析】设需加入甲种糖x千克，利用单价＝总价÷数量，结合要使什锦糖的单价每千克提高1元，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：设需加入甲种糖x千克，
根据题意得：﹣＝1，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是所列方程的解，且符合题意，
∴需加入甲种糖10千克．
故答案为：10．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【例4-2】2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空．某中学组织毕业班的同学观看现场直播，学校准备为同学们购进A、B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款文化衫和用400元购进B款文化衫的数量相同．
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元购进两种文化衫，应至少购进B款文化衫多少件．
【分析】（1）设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件（x+10）元，利用数量＝总价÷单价，结合用500元购进A款文化衫和用400元购进B款文化衫的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可求出B款文化衫的单价，再将其代入（x+10）中，即可求出A款文化衫的单价；
（2）设购进B款文化衫y件，则购进A款文化衫（300﹣y）件，利用总价＝单价×数量，结合总价不多于14800元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件（x+10）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意，
∴x+10＝40+10＝50．
答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；
（2）设购进B款文化衫y件，则购进A款文化衫（300﹣y）件，
根据题意得：50（300﹣y）+40y≤14800，
解得：y≥20．
答：应至少购进B款文化衫20件．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【例4-3】在今年新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1.5元，且用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同．
（1）A、B两种型号口罩的单价各是多少元？
（2）根据疫情发展情况，该公司还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过3600元，则增加购买A型口罩的数量最多是多少个？
【分析】（1）设A型口罩的单价为x元，则B型口罩的单价为（x﹣1.5）元，根据“用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同”列出方程并解答；
（2）设增加购买A型口罩的数量是m个，根据“增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过3600元”列出不等式．
【解答】解：（1）设A型口罩的单价为x元，则B型口罩的单价为（x﹣1.5）元，
根据题意，得：＝．
解方程，得：x＝4．
经检验：x＝4是原方程的根，且符合题意．
所以x﹣1.5＝2.5．
答：A型口罩的单价为4元，则B型口罩的单价为2.5元；
（2）设增加购买A型口罩的数量是m个，
根据题意，得：2.5×2m+4m≤3600．
解不等式，得：m≤400．
因为m为正整数，所以正整数m的最大值为400．
答：增加购买A型口罩的数量最多是400个．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
针对练习4
1．某物美超市同时卖出了两个进价不同的冰墩墩A和B，售价均为90元，按成本计算，超市人员发现冰墩墩A盈利了50%，而冰墩墩B却亏损了40%，则这次超市是（ ）
A．不赚不赔 B．赚了 C．赔了 D．无法判断
【分析】根据利润率＝利润÷成本，从而可求出相应的成本，即可求解．
【解答】解：设冰墩墩A的成本为x元，依题意得：
，
解得：x＝60，
经检验：x＝60是原方程的根，
设冰墩墩B的成本为y元，依题意得：
，
解得：y＝150，
经检验：y＝150是原方程的解，
90﹣60+（90﹣150）＝﹣30（元），
故这次超市赔了．
故选：C．
【点评】本题主要考查分式方程的应用，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系．
2．2月开学季来临，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的开学大礼包．已知2月上旬A、B、C三种主题大礼包售价之比为2～4～5，销量之比为7～1～2．开学后不久，根据市场需求，在2月下旬文具店老板店对三种主题大礼包售价进行了调整，其中B主题大礼包售价比2月上旬降低了，C主题大礼包在2月上旬售价的基础上打八折，从而使得B、C两种主题大礼包销售额相较于2月上旬有所增加，A主题大礼包销售额相较于2月上旬有所下降．若A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额之比为4～7～5，且A主题大礼包减少的销售额占2月下旬三种主题大礼包总销售额的，则2月下旬B、C两种主题大礼包的销量之比为 6：5 ．
【分析】设2月上旬A、B、C三种主题大礼包售价为2x，4x，5x，销量为7y，y，2y，2月下旬A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额分别为4a，7a，5a，根据“2月下旬A主题大礼包减少的销售额占2月下旬三种主题大礼包总销售额的”列出方程，然后分别求出2月下旬B、C两种主题大礼包销售额，进而求出2月下旬B、C两种主题大礼包销售量，即可解答．
【解答】解：设2月上旬A、B、C三种主题大礼包售价为2x，4x，5x，销量为7y，y，2y，2月下旬A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额分别为4a，7a，5a，
根据题意，得，
解得a＝2xy，
∴2月下旬B、C两种主题大礼包销售额分别为4x y+7a＝18xy，5x 2y+5a＝20xy，
∴2月下旬B、C两种主题大礼包销售之比为：＝6：5．
故答案为：6：5．
【点评】本题考查了分式方程方程是应用，读懂题意，找出等量关系式是解题的关键．
3．为深入践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，我国绿色发展成就显著，在今年的植树造林活动期间，某苗圃公司第一天卖出一批小叶榄仁树苗共收款8000元，第二天又卖出同样的树苗收款17000元，所卖数量是第一天的2倍，售价比第一天每棵多了5元，第二天每棵树苗售价是 85 元．
【分析】设第二天每棵树苗售价为x元，根据第二天所卖数量是第一天的2倍，列分式方程，求解即可．
【解答】解：设第二天每棵树苗售价为x元，
根据题意，得，
解得x＝85，
经检验，x＝85是原分式方程的根，且符合题意，
故答案为：85．
【点评】本题考查了分式方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键．
4．一商店用800元买进玩具若干个，其中有2个损坏无法出售，剩余的以每个比进价多10元的价格出售，若剩余的全部卖完，则这批玩具共赚100元．则这批玩具每个进价是 40 元．
【分析】设每个玩具的进价为x元，根据这批玩具共赚100元，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设每个玩具的进价为x元，
由题意得：（﹣2）（x+10）﹣800＝100，
解得：x1＝40，x2＝﹣100，
经检验，x1＝40，x2＝﹣100是原方程的解，但x2＝﹣100不合题意，舍去，
∴x＝40
即这批玩具每个进价是40元，
故答案为：40．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
类型五、最优方案问题
【例5-1】疫情防控，人人有责．某公司为了解决员工的口罩问题上，准备采购A、B两种型号的口罩，A种口罩每件单价比B种口罩每件多100元，用2000元购进A种口罩和用1200元购进B种口罩的数量相同．
（1）A种口罩每件的单价和B种口罩的单价各是多少元？
（2）公司计划用4000元的资金购进A、B两种型号的口罩共20件，其中A种口罩数量不得低于B种口罩数量的一半，该公司有几种采购方案，哪种购买方式最划算？
【分析】（1）设A种口罩每件的单价为x元，则B种口罩的单价为（x﹣100）元．由题意：用2000元购进A种口罩和用1200元购进B种口罩的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）设A种口罩购进y件，则B种口罩购进（20﹣y）件．由题意：公司计划用4000元的资金购进A、B两种型号的口罩共20件，其中A种口罩数量不得低于B种口罩数量的一半，列出一元一次不等式组，解不等式组，取正整数解，再计算结果．
【解答】解：（1）设A种口罩每件的单价为x元，则B种口罩的单价为（x﹣100）元．
由题意，得：，
解得：x＝250．
经检验：x＝250是原方程的解，且符合题意，
则x﹣100＝150（元）．
答：A种口罩每件的单价为250元，则B种口罩的单价为150元．
（2）设A种口罩购进y件，则B种口罩购进（20﹣y）件．
由题意，得：
解得：．∵y为正整数，∴y＝7或8或9或10．∴该公司4种采购方案：
方案一：A种口罩购进7件，B种口罩购进13件，费用为：250×7+150×13＝3700元；
方案二：A种口罩购进8件，B种口罩购进12件，费用为：250×8+150×12＝3800元；
方案三：A种口罩购进9件，B种口罩购进11件，费用为：250×9+150×11＝3900元；
方案四：A种口罩购进10件，B种口罩购进10件，费用为：250×10+150×10＝4000元；
∴共有4种方案，其中方案一：A种口罩购进7件，B种口罩购进13件最划算．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组．
【例5-2】某区在进行雨水、污水管道改造工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算，甲工程队单独完成该项工程需120天．若由乙先单独做20天，余下的工程由甲、乙合做36天可完成．
（1）求乙单独完成该项工程需要多少天？
（2）甲队施工一天，需付1.5万元工程费，乙队施工一天，需付2.5万元工程费，若该工程计划在90天内完成，在不超过工程计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱，还是由甲、乙全程共同完成更省钱，说明理由．
【分析】（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，由题意：甲工程队单独完成该项工程需120天．若由乙先单独做20天，余下的工程由甲、乙合做36天可完成．列出分式方程，解方程即可；
（2）求出甲、乙两队施工天数得出需要施工费用，即可分析得出．
【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天．
由题意得：×20+（+）×36＝1，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合题意，
答：乙队单独完成这项工程需要80天．
（2）由甲、乙全程共同完成更省钱．理由如下：
由乙队独做需费用：2.5×80＝200（万元）；
甲队独做工期超过90天，不符合要求；
设甲、乙两队合作，完成这项工程需y天，
由题意得：y（+）＝1，
解得：y＝48，
需要施工费用 为（1.5+2.5）×48＝192（万元），
∵192＜200，
∴由甲、乙全程共同完成更省钱．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
【例5-2】永州市万达广场筹建之初的一项挖土工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，每施工一天，需付甲工程队工程款2.4万元，付乙工程队工程款1.8万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
（方案一）甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完成：
（方案二）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用6天；
（方案三）若由甲、乙两队合作做5天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工．
（1）请你求出完成这项工程的规定时间；
（2）如果你是工程领导小组的组长，为了节省工程款，同时又能如期完工，你将选择哪一种方案？说明理由．
【分析】（1）设完成这项工程的规定时间为x天，则甲工程队需x天完成这项工程，乙工程队需（x+6）天完成这项工程，由题意：由甲、乙两队合作做5天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工．即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论；
（2）根据总费用＝每天需付费用×工作天数，分别求出方案一、三需付的工程款，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设完成这项工程的规定时间为x天，则甲工程队需x天完成这项工程，乙工程队需（x+6）天完成这项工程，
根据题意得：5×（+）+＝1，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意．
答：完成这项工程的规定时间为30天．
（2）选择方案三，理由如下：
方案一需付工程款：2.4×30＝72（万元）；
方案二不能如期完工，不符合题意；
方案三需付工程款：2.4×5+1.8×30＝66（万元）．
∵72＞66，
∴选择方案三．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据数量关系列式计算．
针对练习5
1．为响应对口扶贫，深圳某单位和西部某乡结对帮扶，采购该乡农副产品助力乡村振兴．已知1件A产品价格比1件B产品价格少20元，300元购买A产品件数与400元购买B产品件数相同．
（1）A产品和B产品每件分别是多少元？
（2）深圳该对口单位动员职工采购该乡A、B两种农副产品，根据统计：职工响应积极，两种预计共购买150件，A的数量不少于B的2倍，当采购A、B两种农副产品为多少时，购买总费用最大？并求购买总费用的最大值．
【分析】（1）设A产品每件x元，则B产品每件（x+20）元，然后根据300元购买A产品件数与400元购买B产品件数相同列出方程求解即可；
（2）设购买A产品a件，则购买B产品（150﹣a）件，所需费用为w元，根据总费用＝A的费用+B的费用，列出w关于a的一次函数关系，再结合，A的数量不少于B的2倍，求出a的取值范围，最后利用一次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）设A产品每件x元，则B产品每件（x+20）元，
由题意得，
解得，x＝60，
经检验，x＝60是原分式方程的解，
∴x+20＝80，
答：A产品每件60元，则B产品每件80元；
（2）设购买A产品a件，则购买B产品（150﹣a）件，所需费用为w元，
∴w＝60a+80（150﹣a）＝﹣20a+12000，
∵A的数量不少于B的2倍，
∴a≥2（150﹣a），
∴a≥100，
∵﹣20＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴当a＝100时，w取得最大值，此时w＝﹣20×100+12000＝10000，
∴当购买A产品100件，则购买B产品50件，购买总费用最大，最大值为10000元．
答：购买A产品100件，则购买B产品50件，购买总费用最大，最大值为10000元．
【点评】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的方程，不等式和函数关系式是解题的关键．
2．为落实“双减政策”某学校购进“红色教育”和“传统文化”两种经典读本，花费分别是12000元和5000元，已知“红色教育”经典读本的订购单价是“传统文化”经典读本的订购单价的1.2倍，并且订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多500本．
（1）求该学校订购的两种经典读本的单价分别是多少元；
（2）该学校拟计划再订购这两种经典读本共1000本，其中“红色教育”经典读本订购数量不低于600本且总费用不超过11500元，求该学校订购这两种读本的最低总费用．
【分析】（1）设“传统文化”经典读本的单价是x元，则“红色教育”经典读本的单价是1.2x元，由题意：订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多500本．列出分式方程，解方程即可；
（2）设订购“红色教育”经典读本a本，则订购“传统文化”经典读本（1000﹣a）本，由题意：“红色教育”经典读本订购数量不低于600本且总费用不超过11500元，列出一元一次不等式组，解得600≤a≤750，再设订购两种读本的总费用为w元，由题意得出w关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）设“传统文化”经典读本的单价是x元，则“红色教育”经典读本的单价是1.2x元，
由题意得：﹣＝500，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原分式方程的解，
∴1.2x＝12，
答：“红色教育”的订购单价是12元，“传统文化”经典读本的单价是10元；
（2）设订购“红色教育”经典读本a本，则订购“传统文化”经典读本（1000﹣a）本，
由题意得：，
解得：600≤a≤750，
设订购两种读本的总费用为w元，
由题意得：w＝12a+10（1000﹣a）＝2a+10000，
∵2＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝600时，w有最小值为2×600+10000＝11200，
此时，1000﹣600＝400，符合题意，
答：订购这两种经典读本的总费用最低为11200元．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组和一次函数关系式．
3．某公司举行周年庆典，决定订购一批印有公司logo的记事本赠送给客户，购买甲种记事本共花费3000元，购买乙种记事本共花费2100元，购买甲种记事本的数量是购买乙种记事本数量的2倍，且购买一个乙种记事本比购买一个甲种记事本多花20元．
（1）求购买一个甲种记事本，一个乙种记事本各需多少元？
（2）由于公司业务的扩大，公司决定再次购买甲、乙两种记事本共40个，且乙种记事本不少于23个，预算金额不超过2400元，购买时恰逢该店对两种记事本的售价进行调整，甲种记事本售价比第一次购买时提高了10%，乙种记事本售价比第一次购买时降低了10%，请问该公司有哪几种方案购买这批记事本？
【分析】（1）设购买一个甲种记事本需要x元，则购买一个乙种记事本需要（x+20）元，根据数量＝总价÷单价结合用3000元购买甲种记事本的数量是用2100元购买乙种记事本数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设该公司购进乙种记事本m个，则购进甲种记事本（40﹣m）个，根据总价＝单价×数量结合预算金额不超过2400元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数即可得出m的值，进而可找出各购买方案．
【解答】解：（1）设购买一个甲种记事本需要x元，则购买一个乙种记事本需要（x+20）元，
依题意，得：＝2×，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
∴x+20＝70．
答：购买一个甲种记事本需要50元，购买一个乙种记事本需要70元．
（2）设该公司购进乙种记事本m个，则购进甲种记事本（40﹣m）个，
依题意，得：，
解得：23≤m≤25．
又∵m为正整数，
∴m＝23，24或25，
∴该公司有三种购买方案：①购进甲种记事本17个，乙种记事本23个；②购进甲种记事本16个，乙种记事本24个；③购进甲种记事本15个，乙种记事本25个．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
4．羽毛球运动由于高强度、低对抗、适龄广的特点，成为男女老少喜爱的运动之一．某商家购进了耐打型羽毛球和竞技型羽毛球进行销售，已知一筒竞技型羽毛球比一筒耐打型羽毛球的进价多40元，其中购买耐打型羽毛球花费5000元，购买竞技型羽毛球花费4500元，且购买耐打型羽毛球数量是购买竞技型羽毛球数量的2倍．
（1）求一筒竞技型羽毛球的进价是多少元．
（2）商家第一次购进的羽毛球很快售完，决定再次购进同种类型的耐打型羽毛球和竞技型羽毛球共120筒，但耐打型羽毛球的进价比第一次购买时提高了18%，而竞技型的进价在第一次购买时进价的基础上打95折，如果商家此次购买耐打型羽毛球和竞技型羽毛球的总费用不超过8140元，那么此次最多可购买多少筒竞技型羽毛球？
【分析】（1）设一筒耐打型羽毛球的进价为x元，根据题意列出方程即可求解；
（2）设购买竞技型羽毛球a筒，根据题意列出不等式即可求解．
【解答】解：（1）设一筒耐打型羽毛球的进价为x元，则一筒竞技型羽毛球的进价为（x+40）元，
根据题意得，
解得x＝50，
经检验x＝50是原方程的解，
∴x+40＝90（元），
则一筒竞技型羽毛球的进价是90元．
（2）设购买竞技型羽毛球a筒，购买耐打型羽毛球（120﹣a）筒，
（1+18%）×50×（120﹣a）+95%×90×a≤8140，
解得a≤40，
答：最多可购买40筒竞技型羽毛球．
【点评】本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用．正确理解题意是解题关键．
类型六、图形图表问题
从图形图表上挖掘信息，建立等量关系
【例6-1】刘峰和李明相约周末去科技馆看展览，根据他们的谈话内容，试求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米？
【分析】设刘峰骑自行车的速度为每小时x千米，则李明乘车的速度为每小时3x千米，根据他们的行驶时间相差0.5小时列出方程并解答即可．
【解答】解：设刘峰骑自行车每小时行x千米，则李明乘公交车每小时行3x千米，
由题意得：＝+，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，
∴3x＝60，
答：刘峰骑自行车每小时行20千米，则李明乘公交车每小时行60千米．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
【例6-2】近期，受俄乌局势影响，国内汽油价格不断上涨．请你根据下面的信息（如图），计算今年4月份汽油的价格．
【分析】设去年10月份汽油价格每升为x元，则今年4月份的汽油价格每升为（1+20%）x元，由题意：用450元给汽车加油，今年4月份的加油量比去年少10升，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设去年10月份汽油价格每升为x元，则今年4月份的汽油价格每升为（1+20%）x元，
由题意得：﹣＝10，
解得：x＝7.5，
经检验，x＝7.5是原方程的解，且符合题意，
则（1+20%）x＝（1+20%）×7.5＝9，
答：今年4月份的汽油价格每升为9元．
【点评】本题考查分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【例6-3】某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下：
燃油车 纯电新能源车
油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时
油价：8元/升 电价：0.6元/千瓦时
（1）设两款车的续航里程均为a千米，请用含a的代数式表示燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用；
（2）若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元．
①请分别求出这两款车的每千米行驶费用；
②若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为4800元和8100元．问：每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
【分析】（1）根据表中的信息，可以表示出燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用；
（2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.55元和表中的信息，列出分式方程，解方程，即可解决问题；
②设每年行驶里程为x千米时，由年费用＝年行驶费用+年其它费用，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）燃油车每千米行驶费用为＝（元），纯电新能源车每千米行驶费用为＝（元），
答：燃油车每千米行驶费用为元，纯电新能源车每千米行驶费用为元；
（2）①由题意得：﹣＝0.55，
解得：a＝600，
经检验，a＝600是分式方程的解，且符合题意，
∴＝0.64（元），＝0.09（元），
答：燃油车每千米行驶费用为0.64元，纯电新能源车每千米行驶费用为0.09元；
②设每年行驶里程为x千米时，买新能源车的年费用更低，
由题意得：0.64x+4800＞0.09x+8100，
解得：x＞6000，
答：当每年行驶里程大于6000千米时，买新能源车的年费用更低．
【点评】本题考查分式方程的应用、列代数式以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）正确列出代数式；（2）①找准等量关系，正确列出分式方程；②找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
针对练习6
1．春节即将到来，家家户户贴春联，挂灯笼，欢天喜地迎新年．某百货超市计划购进春联和灯笼这两种商品．请你根据下面的信息（如图），计算每个灯笼和每副春联的进价．
【分析】设每副春联的进价是x元，则每个灯笼的进价是（x+15）元，根据题意得：，进行计算即可得．
【解答】解：设每副春联的进价是x元，则每个灯笼的进价是（x+15）元，
根据题意得：，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是所列方程的解，且符合题意，
∴x+15＝20+15＝35，
答：每个灯笼的进价是35元，每副春联的进价是20元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系列出方程．
2．为进一步推进美丽乡村建设，某县准备修建一条县级公路．开工时政府部门要求工程队每天的平均进度要比原计划提高20%，结果提前20天完成了任务．
（1）设这条县级公路长为akm，该工程队原计划平均每天修建公路x km，请用含a，x的代数式填表；
平均每天修建公路/km 完成全部工程所需天数/天
原计划 x
实际 （1+20%）x
（2）若这条要修建的公路长度为50km，该工程队实际平均每天修建公路多少千米？
【分析】（1）实际每天铺设管廊（1+20%）x米，根据工作时间＝总工作量÷工作效率可得完成全部工程所需天数；
（2）根据时间比原计划提前20天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论．
【解答】解：（1）如下表；
平均每天修建公路/km 完成全部工程所需天数/天
原计划 x
实际 （1+20%）x
故答案为：（1+20%）x，；
（ 2）由题意可列方程，
﹣＝20，
解得x＝
经检验：x＝是原分式方程的解，
∴（1+20%）x＝×1.2＝0.5，
．
答：该工程队实际平均每天修建公路0.5km．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
3．根据素材，完成活动任务：
素材一 为鼓励学生积极参加学校劳动，养成劳动习惯，培养劳动品质某校“方志实践”劳动基地打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地．已知围栏的横杠长为15dm，竖杠长为8dm，一副围栏由2个横杠，5个竖杠制作而成．
素材二 项目化学习小组到市场了解到：现木材市场的这种规格的围栏材料每根长为40dm，价格为50元/根．为了深度参与学校蔬菜基地的建立，项目化小组打算自己购买材料，制作搭建蔬菜基地的围栏同时为了围栏的牢固性，用料不能是拼接而成．
解决问题
任务要求 解决办法
任务一 一根40dm长的围栏材料有哪些裁剪方法呢？（余料作废） 方法①：当只裁剪8dm长的竖杠时，最多可裁剪 5 根；方法②：当先裁剪下1根15dm长的横杠时，余下部分最多能裁剪8dm长的竖杠 3 根；方法③：当先裁剪下2根15dm长的横杠时，余下部分最多能裁剪8dm长的竖杠 1 根．
任务二 基地负责老师告诉项目化学习小组：搭建蔬菜基地需要用到的围栏长为75dm（即需要制作5副围栏，需要的用料为：25个竖杠，10个横杠），请完成裁剪并计算费用． 项目化小组打算用“任务一”中的方法②和方法③完成裁剪任务．请计算：分别用“任务一”中的方法②和方法③各裁剪多少根40dm长的围栏材料，才能刚好得到所需要的相应数量的用料？并求出购买围栏材料的费用．
任务三 某安装技术人员告诉项目化小组同学：我们在单位时间内可以安装m根竖杠或（7﹣m）根横杠．现需知道技术人员的安装效率． 任务二中的5副围栏安装完毕时，项目化小组发现技术人员安装竖杠所需的时间与安装横杠所需的时间相同，则m＝ 5 ．
【分析】根据围栏材料不同裁剪方法，分别计算出需要的竖杠或横杠；利用方法②与方法③列出方程组求解即可；利用在单位时间内可以安装m根竖杠或（7﹣m）根横杠，所用的时间相同，建立分式方程，求解即可．
【解答】解：任务一：40÷8＝5（根），
方法①：当只裁剪8dm长的竖杠时，最多可裁剪5根．
，
方法②：当先裁剪下1根15dm长的横杠时，余下部分最多能裁剪8dm长的竖杠3根．
，
方法③：当先裁剪下2根15dm长的横杠时，余下部分最多能裁剪8dm长的竖杠1根．
任务二：设方法②需裁剪x根，方法③需裁剪y根，依据题意得：
，解得：．
50×（8+1）＝450（元）．
答：方法②和方法③各裁剪8根与1根40dm长的围栏材料，才能刚好得到所需要的相应数量的用料，购买围栏材料的费用共需45元．
任务三：依据题意得，解得：m＝5．
【点评】本题考查了二元一次方程组与分式方程的应用，解题的关键是仔细审题，正确列出方程．
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