八年级数学上期末大串讲+练专题复习专题二十八 第15章分式期末综合素质测评

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八年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题二十八 第15章分式期末综合素质测评
时间120分钟 满分120分
第I卷（选择题）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列变形正确的是( )
A． B．
C． D．
2．的相反数是（ ）
A．9 B．-9 C． D．
3．已知，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
4．一种细菌的半径约为米，这个数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．计算 的结果是（　　）
A．0 B．1 C．－1 D．x
6．若，则的值为（ ）
A．2019 B．0 C．1 D．2
7．将分式中的x、y都扩大2倍，则分式值( )
A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的2倍
C．保持不变 D．无法确定
8．化简（ ）
A． B． C． D．
9．某校用500元钱到商场去购买“84“消毒液，经过还价，每瓶便宜1.5元，结果比用原价多买了10瓶，求原价每瓶多少元？设原价每瓶x元，则可列出方程为（　　）
A．﹣＝10 B．﹣＝10
C．﹣＝1.5 D．﹣＝1.5
10．若关于x的不等式组 有解，且关于x的分式方程–1=的解为整数，则满足条件的整数a的值的和是（ ）
A．–6 B．–1 C．–3 D．–4
第II卷（非选择题）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．当 时，分式的值为零．
12．分式的值是整数，则正整数的值等于 ．
13．当x 时，分式的最大值为 ．
14．为改善生态环境，防止水土流失，某村拟在荒坡地上种植960棵树，由于青年团员的支持，每日比原计划多种20棵，结果提前4天完成任务，原计划每天种植多少棵？设原计划每天种植x棵，根据题意得方程 ．
15．若关于x的分式方程的解为正数，那么字母a的取值范围是 ．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）下面是小华化简分式的过程：
解：…………①………………………②．………………………③
(1)小华的解答过程在第__________步开始出现错误；
(2)请你帮助小华写出正确的解答过程，并计算当时分式的值．
17．（10分）化简：
(1)；
(2)．
18．（8分）化简求值：
(1)先化简(1+)÷，再从1，2，3三个数中选一个合适的数作为x的值，代入求值；
(2)已知=3，求()÷(+x)的值．
19．（8分）解分式方程：
(1)＝1;
(2).
20．（10分）某开发商要建一批住房，经调查了解，若甲、乙两队分别单独完成，则乙队完成的天数是甲队的1.5倍；若甲、乙两队合作，则需120天完成．
(1)甲、乙两队单独完成各需多少天？
(2)施工过程中，开发商派两名工程师全程监督，需支付每人每天食宿费150元．已知乙队单独施工，开发商每天需支付施工费为10000元．现从甲、乙两队中选一队单独施工，若要使开发商选甲队支付的总费用不超过选乙队的，则甲队每天的施工费最多为多少元？(总费用＝施工费＋工程师食宿费)
21．（10分）阅读材料：
关于的方程：
的解为：，
（可变形为）的解为：，
的解为：，
的解为：，
…………
根据以上材料解答下列问题：
（1）①方程的解为 ．
②方程的解为 ．
（2）解关于方程：
① （）
②（）
22．（10分）某商场第一次用11000元购进某款拼装机器人进行销售，很快销售一空，商家又用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．
（1）求该商家第一次购进机器人多少个？
（2）若所有机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于20%（不考虑其它因素），那么每个机器人的标价至少是多少元？
23.（11分）按要求完成下列题目．
求：的值．
对于这个问题，可能有的同学接触过，一般方法是考虑其中的一般项，注意到上面和式的每一项可以写成的形式，而，这样就把一项分裂成了两项．
试着把上面和式的每一项都裂成两项，注意观察其中的规律，求出上面的和，并直接写出的值．
若
求：A、B的值：
求：的值．
八年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题二十八 第15章分式期末综合素质测评（解析版）
时间120分钟 满分120分
第I卷（选择题）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列变形正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质逐项分析即可．
【详解】A．选项A只改变了分子、分母中部分项的符号，该变形错误，故选项A错误．
B．，故选项B错误．
C．，故选项C错误．
D．，故选项D正确．
故选D．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．
2．的相反数是（ ）
A．9 B．-9 C． D．
【答案】B
【分析】直接利用负整数指数幂的性质化简，进而利用相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数）即可得出答案．
【详解】解：
，
9的相反数为-9，
故的相反数是-9，
故选：B．
【点睛】本题考查了负整数指数幂、求一个数的相反数，熟练掌握负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
3．已知，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的运算、完全平方公式的变形即可求解．
【详解】∵
∴=．
故选B．
【点睛】此题主要考查分式化简求值，解题的关键是熟知完全平方公式的变形应用．
4．一种细菌的半径约为米，这个数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据科学记数法直接进行解答即可．
【详解】解：由一种细菌的半径约为米，则这个数用科学记数法表示为．
故选A．
【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．
5．计算 的结果是（　　）
A．0 B．1 C．－1 D．x
【答案】C
【分析】根据同分母分式的减法法则进行计算即可得到答案．
【详解】解：
=
=
=-1．
故选：C
【点睛】此题主要考查了同分母分式的减法，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
6．若，则的值为（ ）
A．2019 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】先对m的代数式通分化简求出m的值，然后计算即可．
【详解】，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，求出m的值是解题关键．
7．将分式中的x、y都扩大2倍，则分式值( )
A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的2倍
C．保持不变 D．无法确定
【答案】A
【分析】分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简与原分式比较即可得答案.
【详解】∵将分式中的x、y都扩大2倍，
∴原式变为==2×，
∴扩大为原来的2倍，
故选A.
【点睛】此题考查的是对分式的性质的理解和运用，分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，熟练掌握分式的基本性质是解题关键.
8．化简（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分式的化简法则：当分式的分子、分母都是单项式或几个因式的乘积时，可依据分式的基本性质直接约分化简；当分子或分母为多项式时，一般先进行因式分解，再依据分式的基本性质进行约分化简，进行计算即可
【详解】 ＝＝a－1 .
故选A.
【点睛】此题考查分式的化简，掌握运算法则是解题关键
9．某校用500元钱到商场去购买“84“消毒液，经过还价，每瓶便宜1.5元，结果比用原价多买了10瓶，求原价每瓶多少元？设原价每瓶x元，则可列出方程为（　　）
A．﹣＝10 B．﹣＝10 C．﹣＝1.5 D．﹣＝1.5
【答案】B
【分析】关键描述语是：“结果比用原价多买了10瓶”；等量关系为：实际价格买的瓶数-原价买的瓶数=10．
【详解】原价可买瓶，经过还价，可买瓶．方程可表示为：
=10．
故选B.
【点睛】列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．本题要注意讨价前后商品的单价的变化．
10．若关于x的不等式组 有解，且关于x的分式方程–1=的解为整数，则满足条件的整数a的值的和是（ ）
A．–6 B．–1 C．–3 D．–4
【答案】B
【详解】不等式组整理得：，由不等式组有解，得到a+2≤x≤2a+5，则由a+2≤2a+5，解得:a≥–3．–1=，分式方程去分母得：ax–x+2=–3x，解得:x=，∵关于x的分式方程–1=的解为整数，且–2≠0，解得:a≠–3，当a=–1时，x=–2；a=0时，x=–1；则满足题意的整数a的值的和是–1+0=–1．故选B．
第II卷（非选择题）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．当 时，分式的值为零．
【答案】2
【分析】根据使分式的值为零时，分子为零，分母不等于零进行计算即可．
【详解】解：∵分式的值为零，
∴，
解得：．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了分式的值为零的条件，解题的关键是熟练掌握要使分式的值为零时，分子为零，分母不等于零．
12．分式的值是整数，则正整数的值等于 ．
【答案】2或3或5
【分析】根据分式的值是整数可知4是（m-1）的倍数，进而问题可求解．
【详解】解：由题意得：或或，
∴或3或5，
故答案为2或3或5．
【点睛】本题主要考查分式的值，熟练掌握分式的值是解题的关键．
13．当x 时，分式的最大值为 ．
【答案】 2
【分析】先运用配方法得出的最小值，再得出的最大值
【详解】解：∵，；
∴；
∴当x=2时，的最小值为3；
∴当x=2时，分式的最大值为；
故答案为：2，
【点睛】本题考查了配方法的应用，以及分式的最值，熟练掌握运算方法是解题的关键
14．为改善生态环境，防止水土流失，某村拟在荒坡地上种植960棵树，由于青年团员的支持，每日比原计划多种20棵，结果提前4天完成任务，原计划每天种植多少棵？设原计划每天种植x棵，根据题意得方程 ．
【答案】
【分析】设原计划每天种植x棵树，根据“原计划所用天数 实际所用天数＝4”可得方程．
【详解】解：设原计划每天种植x棵树，则实际每天植树（x＋20）棵，
根据题意可列方程：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
15．若关于x的分式方程的解为正数，那么字母a的取值范围是 ．
【答案】a＞4且a≠6．
【详解】解关于的方程得：.
∵原方程的解为正数，
∴ ，解得且.
点睛：（1）把方程中的先看着常数，按解普通分式方程的方法解出（用含“”的代数式表达）；（2）分式方程有正数解，包含两层含义：①分式方程有解（即第一步中求得的的值使最简公分母的值不等于0），②方程的解为正数（即第一步中求得的的值大于0）.
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）下面是小华化简分式的过程：
解：…………①………………………②．………………………③
(1)小华的解答过程在第__________步开始出现错误；
(2)请你帮助小华写出正确的解答过程，并计算当时分式的值．
【答案】(1)①
(2)正确解析见解析，
【分析】（1）根据分式的混合运算法则即可求解．
（2）利用分式的混合运算法则化简分式，再将带入原式即可求解．
【详解】（1）解： 因为，
所以第①步开始出现错误，
故答案为：①．
（2）原式
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握其运算法则即可求解．
17．（10分）化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）第一个括号内先通分，并将除法转化为乘法，再约分即可；
（2）把除法转化为乘法，再约分，最后计算减法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算的法则是解题的关键．
18．（8分）化简求值：
(1)先化简(1+)÷，再从1，2，3三个数中选一个合适的数作为x的值，代入求值；
(2)已知=3，求()÷(+x)的值．
【答案】（1）1（2）-
【分析】（1）根据分式的混合运算顺序及运算法则把所给的分式化为最简分式后，再代入求值即可（带入的数值一定使每一个分式都有意义）；（2）根据分式的混合运算顺序及运算法则把所给的分式化为最简分式后，再由＝3可得x2＝3，整体代入求值即可.
【详解】（1）原式＝ =x－2，
当x＝3时，原式＝1(注意x＝1，2时分式无意义).
（2）原式＝＝=－，
由已知＝3可得x2＝3，∴原式＝－.
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，根据分式的运算顺序及运算法则把分式化为最简分式，再代入求值是解决此类题目的基本思路.
19．（8分）解分式方程：
(1)＝1;
(2).
【答案】（1）x= （2）x=3
【分析】（1）方程两边同乘以最简公分母x，化分式方程为整式方程，解整式方程求得x的值，检验即可得分式方程的解；（2）方程两边同乘以最简公分母2（2x-1），化分式方程为整式方程，解整式方程求得x的值，检验即可得分式方程的解.
【详解】（1）＝1.
方程两边同乘以最简公分母x得，
1-（x-2）=x.
解得，x=.
经检验，x=是原分式方程的解.
（2）方程两边同乘以最简公分母2（2x-1）得，
2=2x-1-3.
解得，x=3.
经检验，x=3是原分式方程的解.
【点睛】本题考查了分式方程的解法，方程两边同乘以最简公分母，化分式方程为整式方程是解分式方程的关键；解分式方程一定验根.
20．（10分）某开发商要建一批住房，经调查了解，若甲、乙两队分别单独完成，则乙队完成的天数是甲队的1.5倍；若甲、乙两队合作，则需120天完成．
(1)甲、乙两队单独完成各需多少天？
(2)施工过程中，开发商派两名工程师全程监督，需支付每人每天食宿费150元．已知乙队单独施工，开发商每天需支付施工费为10000元．现从甲、乙两队中选一队单独施工，若要使开发商选甲队支付的总费用不超过选乙队的，则甲队每天的施工费最多为多少元？(总费用＝施工费＋工程师食宿费)
【答案】(1)甲队单独完成需200天，乙队单独完成需300天(2)甲队每天施工费最多为15150元
【分析】（1）设甲队单独完成需x天，则乙队单独完成需1.5x天，根据“甲、乙两队合作，需120天完成”，列出分式方程，解方程即可；（2）设甲队每天的施工费为y元，分别表示出甲、乙两队单独施工所需费用，列出不等式，解不等式即可．
【详解】(1)设甲队单独完成需x天，则乙队单独完成需1.5x天，
由题意得＋＝1，
解得x＝200，
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝300，
则甲队单独完成需200天，乙队单独完成需300天.
(2)设甲队每天的施工费为y元，
则200(y＋150×2)≤300×(10000＋150×2)，
解得y≤15150，
即甲队每天施工费最多为15150元
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，根据等量关系“甲、乙两队合作，需120天完成”列出分式方程是解决问题关键．
21．（10分）阅读材料：
关于的方程：
的解为：，
（可变形为）的解为：，
的解为：，
的解为：，
…………
根据以上材料解答下列问题：
（1）①方程的解为 ．
②方程的解为 ．
（2）解关于方程：
① （）
②（）
【答案】（1）①，；②，；（2）①，；②，．
【详解】试题分析：（1）①令第一个方程中的a＝2即可得到答案；
②把(x－1)看成一个整体，利用第一个方程的规律即可得出答案；
（2）①等式两边减去1，把(x－1)和(a－1)分别看成是整体，利用第三个方程的规律即可得出答案；
②等式两边减去2，把(x－2)和(a－2)分别看成是整体，利用第二个方程和第四个方程的规律即可得出答案．
试题解析：
解：（1）①由第一个方程规律可得：x1＝2，x2＝；
②根据第一个方程规律可得：x－1＝3或x－1＝，
∴x1＝4，x2＝；
（2）①方程两边减1得：(x－1)＋＝(a－1)＋ ，
∴x－1＝a－1或x－1＝，
∴：x1＝a，x2＝；
②方程两边减2得：(x－2)＋＝(a－2)＋ ，
∴∴x－2＝a－2或x－2＝，
∴：x1＝a，x2＝．
点睛：此题考查了分式方程的解，属于规律型试题，弄清题中的规律是解本题的关键．
22．（10分）某商场第一次用11000元购进某款拼装机器人进行销售，很快销售一空，商家又用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．
（1）求该商家第一次购进机器人多少个？
（2）若所有机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于20%（不考虑其它因素），那么每个机器人的标价至少是多少元？
【答案】（1）100；（2）140元．
【详解】试题分析：（1）设该商家第一次购进机器人x个，根据“第一次用11000元购进某款拼装机器人，用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元”列出方程并解答；
（2）设每个机器人的标价是a元．根据“全部销售完毕的利润率不低于20%”列出不等式并解答．
试题解析：（1）设该商家第一次购进机器人x个，依题意得：，解得x=100．
经检验x=100是所列方程的解，且符合题意．
答：该商家第一次购进机器人100个．
（2）设每个机器人的标价是a元．
则依题意得：（100+200）a﹣11000﹣24000≥（11000+24000）×20%，解得a≥140．
答：每个机器人的标价至少是140元．
考点：分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
23.（11分）按要求完成下列题目．
求：的值．
对于这个问题，可能有的同学接触过，一般方法是考虑其中的一般项，注意到上面和式的每一项可以写成的形式，而，这样就把一项分裂成了两项．
试着把上面和式的每一项都裂成两项，注意观察其中的规律，求出上面的和，并直接写出的值．
若
求：A、B的值：
求：的值．
【答案】；①；
【分析】（1）根据题目的叙述的方法即可求解；
（2）①把等号右边的式子通分相加，然后根据对应项的系数相等即可求解；
②根据把所求的每个分式化成两个分式的差的形式，然后求解．
【详解】解：（1）+++…+
=1-+-+-+…+-
=1-
=；
（2）①∵+=
=，
∴，
解得 ．
∴A和B的值分别是和-；
②∵= -
= （-）-（-）
∴原式= - + - +…+ -
= -
=-
=．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确理解= - 是关键．
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