河南省名校联盟2023-2024学年高一上学期1月联考数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 河南省名校联盟2023-2024学年高一上学期1月联考数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-11 16:49:20 | ||
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文档简介
河南省名校联盟2023-2024学年高一上学期1月联考
数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 准考证号 考场号 座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间120分钟，满分150分
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
2.已知且且，下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3.已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
0 1 2 3
3.1 0.1 -0.9 -3
那么函数一定存在零点的区间是（ ）
A. B. C. D.
4.如图是某市连续16日的空气质量指数趋势统计图，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，则下列说法不正确的是（ ）
A.这16日空气重度污染的频率为0.5
B.该市出现过连续4天空气重度污染
C.这16日的空气质量指数的中位数为203
D.这16日的空气质量指数的平均值大于200
5.“”是“不等式对任意的恒成立”的（ ）条件
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充分必要 D.既不充分也不必要
6.函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
7.下列说法中，正确的是（ ）
A.某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票一定会中奖
B.做7次拋硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是
C.若事件两两互斥，则
D.任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是3的倍数的概率是
8.设函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.对于实数，下列命题为真命题的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若同号，则
D.若，则
10.下图是某厂实施“节能减碳”措施前后，累计总产量与时间（月）的函数图象，则下列说法正确的是（ ）
A.前3个月的月产量逐月增加
B.第5月的月产量比第4个月少
C.第6个月的月产量与第5个月持平
D.第3个月结束后开始减产，直至停产
11.若函数在定义域内的某区间上单调递增，且在上也单调递增，则称在上是“强增函数”，则下列说法正确的是（ ）
A.若函数，则存在使得是“强增函数”
B.若函数，则为定义在上的“强增函数”
C.若函数，则存在区间，使在上不是“强增函数”
D.若函数在区间上是“强增函数”，则
12.已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据的平均数为，方差为；第二部分样本数据的平均数为，方差为，设，则以下命题正确的是（ ）
A.设总样本的平均数为，则
B.设总样本的平均数为，则
C.设总样本的方差为，若，则
D.设总样本的方差为，则
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知且，则的最小值为__________.
14.若函数，且的图象过定点，且点在幂函数上，则__________.
15.已知函数且是上的单调函数，则实数的取值范围是__________.
16.①某班有男生30人，女生20人，现用分层抽样的方法从其中抽10名同学进行体质健康测试，则应抽取男生6人；②某人将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，则正面朝上的概率为0.6；③一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的75%分位数为4，上述结论正确的是__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
18.（12分）已知函数且.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）若，求函数的值域.
19.（12分）某调研小组调查了某市1000名外卖骑手平均每天完成的任务量（简称“单量”），得到如下的频数分布表：
单量/单
人数 100 120 130 180 220 150 60 30 10
（1）补全该市1000名外卖骑手每天单量的频率分布直方图；
（2）根据图表数据，试求样本数据的中位数（精确到0.1）；
（3）根据外卖骑手的每天单量，参考某平台的类别将外卖骑手分成三类，调查获知不同类别的外卖骑手开展工作所投入的装备成本不尽相同，如下表：
日单量/单
类別 普通骑手 精英骑手 王牌骑手
装备价格/元 2500 4000 4800
根据以上数据，估计该市外卖骑手购买装备的平均成本.
20.（12分）已知函数
（1）求的单调递增区间；
（2）求不等式的解集.
21.（12分）已知函数是偶函数.
（1）求的值；
（2）设，若，使得，求的取值范围.
22.（12分）在某社区组织的集体活动中，有一项趣味游戏，该游戏由三个小游戏组成（可随意安排游戏顺序），每个小游戏各玩一次且结果互不影响.连胜两个小游戏就可以获得一份小礼品，连胜三个小游戏则可以获得两份.游戏规则如下表：
小游戏一 小游戏二 小游戏三
箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 （红球编号为“”，白球编号为“4，5”）
取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球
获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为获胜
（1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；
（2）一位社区居民先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得小礼品的概率更大.
河南省名校联盟2023-2024学年高一上学期1月联考
数学
参考答案及评分意见
1.D 【解析】要使函数有意义，需满足即且，所以函数的定义域为.故选D.
2.C 【解析】由对数的运算性质及换底公式，可知A，B，D错误，C正确.故选C.
3.B 【解析】因为，所以在内一定存在零点.故选B.
4.D 【解析】这16日空气重度污染的频率为，故A中说法正确；12日，13日，14日，15日连续4天空气重度污染，故B中说法正确：中位数为，故C中说法正确；.故D中说法不正确.故选D.
5.A 【解析】当时，对任意的恒成立，当时，则解得：，故的取值范围为.故“”是的充分不必要条件.故选A.
6.A 【解析】因为的定义域为，关于原点对称，且，所以是偶函数，排除；当时，，排除B.故选.
7.D 【解析】由于事件结果的随机性，购买100张彩票不一定会中奖，的说法错误；做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的频率是，不是概率为的说法错误；事件两两互斥，比如掷股子试验中，事件：投掷出1点，2点，3点，这三个事件两两互斥，但这三个事件的和事件并不一定发生，所以不一定是必然事件，故的说法错误；任意投掷两枚质地均匀的股子基本事件有36种情况，点数和是3的倍数的情况有，共12个基本事件，概率是，故的说法正确.故选.
8.C 【解析】根据题意，函数，其定义域为，有，即为偶函数.当时，，则有，则有，则当时，，函数和在区间上都单调递增，则在上单调递增，则不等式等价于，即，平方得，即，解得.故选C.
9.BCD 【解析】若，当时，可得，故A假；若，则，故B真；若，则，又因为同号，故，所以，则，故C真；若，则b），故D真.故选BCD.
10.ABD 【解析】前三个月，图象缓慢上升，且函数值增加的幅度越来越大，故前3个月的月产量逐月增加，正确；从3月开始到5月，图象缓慢上升，函数值增加的幅度变小，第6个月的增量为0，说明第6个月的产量为0，故B D正确，C错误.故选ABD.
11.ACD 【解析】对于，由对勾函数的单调性可得函数在上为增函数，而函数在上为增函数，所以存在使得是“强增函数”，例如，故A正确；对于B，因为，所以函数在上不是增函数，所以不是定义在上的“强增函数”，故B错误；对于C，函数在上单调递增，令，因为2，所以函数在上不是增函数，故存在区间，使在上不是“强增函数”，例如，故C正确；对于D，若函数在区间上是“强增函数，则函数在上都是增函数，由函数在区间上是增函数，得，解得，因为函数在区间上是增函数，当时，在区间上是增函数，符合题意，当时，因为函数在上都是增函数，所以函数在区间上是增函数，符合题意，当时，，由对勾函数的单调性可知函数在上单调递增，所以，所以，综上所述，，因为函数在上都是增函数，所以，所以，故D正确.故选：ACD.
12.AC 【解析】对于A选项，因为，所以
，即，正确；对于选项，取第一部分数据为，则，取第二部分数据为，则，则，B不正确；对于选项，若，则，C正确；对于D选项，取第一部分数据为，则，取第二部分数据为，则，则不正确.故选AC.
【解析】，当且仅当即时等号成立.故答案为.
14.1 【解析】，故为幂函数，则，解得，故在幂函数上，则，因为，解得.故答案为1.
15. 【解析】由题且，且在上单调，所以当时，函数只能单调递减，又函数在上单调递减，所以解得，即实数的取值范围是.故答案为
16.①③ 【解析】对于①，男生应抽取人，故①正确；对于②，某人将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，则正面朝上的频率为0.6，但是无论掷硬币多少次，硬币正面朝上的概率均为0.5，故②错误；对于③，这组数据从小到大排列依次为：，因为，所以分位数为4，故③正确，故答案为①③.
17.解：（1），
当时，或，
则或.
（2）由，则或，
.
综上，实数的取值范围为.
18.解：（1）函数是奇函数.
依题意，，解得或，即的定义域为.
又
所以函数是奇函数.
（2）当时，，显然，
则有，即，
而在上单调递增，因此，
所以的值域是.
19.解：（1）由第二组的频数得频率为，从而第二组矩形的高为，
由第四组的频数得频率为，从而第二组矩形的高为，
补全该市1000名外卖骑手周单量的频率分布直方图，如下：
（2）由频数分布表知第一组频率为0.1，第二组频率为0.12，第三组频率为0.13，第四组频率为，
可知中位数位于区间内，设中位数为，则由，
解得，即样本数据的中位数约为29.2.
（3）依题意可知，被调查的1000人中，普通骑手共有（人），
精英骑手共有（人），王牌骑手共有（人），
这1000名外卖骑手购买装备的平均成本为（元），
所以估计该市外卖骑手购买装备的平均成本为3750元.
20.解：（1）可以化为
从而可知函数的单调递增区间为.
（2）令，解得或，
结合函数的单调性可知，当时，
所以，由可得.
当时，令，解得或，
令，解得，
当时，由，解得.
综上，不等式解集为.
21.解：（1）因为是偶函数，所以.
即
，
，
.
.
.
因为，要使上式恒成立，
所以，即.
（2），
因为，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值.
因为在上单调递增，
所以.
因为，
所以，
所以，解得，
所以的取值范围为.
22.解：（1）设事件“小游戏一获胜”，“小游戏二获胜”，“小游戏三获胜”，小游戏一中取出一个球的样本空间为，则，
因为，所以，所以小游戏一获胜的概率为.
小游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间，
则，因为，
所以，所以，所以小游戏二获胜的概率为.
（2）设“先玩小游戏二，获得小礼品”，“先玩小游戏三，获得小礼品”，
则，且互斥，相互独立，
所以
又，且互斥，
所以
，
若要接下来先玩小游戏三比先玩小游戏二获得小礼品的概率大，则，
所以，即.
进行小游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表：
第二次 第一次 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
当时，，舍去，
当时，，满足题意，
因此的所有可能取值为.
数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 准考证号 考场号 座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间120分钟，满分150分
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
2.已知且且，下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3.已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
0 1 2 3
3.1 0.1 -0.9 -3
那么函数一定存在零点的区间是（ ）
A. B. C. D.
4.如图是某市连续16日的空气质量指数趋势统计图，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，则下列说法不正确的是（ ）
A.这16日空气重度污染的频率为0.5
B.该市出现过连续4天空气重度污染
C.这16日的空气质量指数的中位数为203
D.这16日的空气质量指数的平均值大于200
5.“”是“不等式对任意的恒成立”的（ ）条件
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充分必要 D.既不充分也不必要
6.函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
7.下列说法中，正确的是（ ）
A.某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票一定会中奖
B.做7次拋硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是
C.若事件两两互斥，则
D.任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是3的倍数的概率是
8.设函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.对于实数，下列命题为真命题的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若同号，则
D.若，则
10.下图是某厂实施“节能减碳”措施前后，累计总产量与时间（月）的函数图象，则下列说法正确的是（ ）
A.前3个月的月产量逐月增加
B.第5月的月产量比第4个月少
C.第6个月的月产量与第5个月持平
D.第3个月结束后开始减产，直至停产
11.若函数在定义域内的某区间上单调递增，且在上也单调递增，则称在上是“强增函数”，则下列说法正确的是（ ）
A.若函数，则存在使得是“强增函数”
B.若函数，则为定义在上的“强增函数”
C.若函数，则存在区间，使在上不是“强增函数”
D.若函数在区间上是“强增函数”，则
12.已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据的平均数为，方差为；第二部分样本数据的平均数为，方差为，设，则以下命题正确的是（ ）
A.设总样本的平均数为，则
B.设总样本的平均数为，则
C.设总样本的方差为，若，则
D.设总样本的方差为，则
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知且，则的最小值为__________.
14.若函数，且的图象过定点，且点在幂函数上，则__________.
15.已知函数且是上的单调函数，则实数的取值范围是__________.
16.①某班有男生30人，女生20人，现用分层抽样的方法从其中抽10名同学进行体质健康测试，则应抽取男生6人；②某人将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，则正面朝上的概率为0.6；③一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的75%分位数为4，上述结论正确的是__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
18.（12分）已知函数且.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）若，求函数的值域.
19.（12分）某调研小组调查了某市1000名外卖骑手平均每天完成的任务量（简称“单量”），得到如下的频数分布表：
单量/单
人数 100 120 130 180 220 150 60 30 10
（1）补全该市1000名外卖骑手每天单量的频率分布直方图；
（2）根据图表数据，试求样本数据的中位数（精确到0.1）；
（3）根据外卖骑手的每天单量，参考某平台的类别将外卖骑手分成三类，调查获知不同类别的外卖骑手开展工作所投入的装备成本不尽相同，如下表：
日单量/单
类別 普通骑手 精英骑手 王牌骑手
装备价格/元 2500 4000 4800
根据以上数据，估计该市外卖骑手购买装备的平均成本.
20.（12分）已知函数
（1）求的单调递增区间；
（2）求不等式的解集.
21.（12分）已知函数是偶函数.
（1）求的值；
（2）设，若，使得，求的取值范围.
22.（12分）在某社区组织的集体活动中，有一项趣味游戏，该游戏由三个小游戏组成（可随意安排游戏顺序），每个小游戏各玩一次且结果互不影响.连胜两个小游戏就可以获得一份小礼品，连胜三个小游戏则可以获得两份.游戏规则如下表：
小游戏一 小游戏二 小游戏三
箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 （红球编号为“”，白球编号为“4，5”）
取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球
获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为获胜
（1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；
（2）一位社区居民先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得小礼品的概率更大.
河南省名校联盟2023-2024学年高一上学期1月联考
数学
参考答案及评分意见
1.D 【解析】要使函数有意义，需满足即且，所以函数的定义域为.故选D.
2.C 【解析】由对数的运算性质及换底公式，可知A，B，D错误，C正确.故选C.
3.B 【解析】因为，所以在内一定存在零点.故选B.
4.D 【解析】这16日空气重度污染的频率为，故A中说法正确；12日，13日，14日，15日连续4天空气重度污染，故B中说法正确：中位数为，故C中说法正确；.故D中说法不正确.故选D.
5.A 【解析】当时，对任意的恒成立，当时，则解得：，故的取值范围为.故“”是的充分不必要条件.故选A.
6.A 【解析】因为的定义域为，关于原点对称，且，所以是偶函数，排除；当时，，排除B.故选.
7.D 【解析】由于事件结果的随机性，购买100张彩票不一定会中奖，的说法错误；做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的频率是，不是概率为的说法错误；事件两两互斥，比如掷股子试验中，事件：投掷出1点，2点，3点，这三个事件两两互斥，但这三个事件的和事件并不一定发生，所以不一定是必然事件，故的说法错误；任意投掷两枚质地均匀的股子基本事件有36种情况，点数和是3的倍数的情况有，共12个基本事件，概率是，故的说法正确.故选.
8.C 【解析】根据题意，函数，其定义域为，有，即为偶函数.当时，，则有，则有，则当时，，函数和在区间上都单调递增，则在上单调递增，则不等式等价于，即，平方得，即，解得.故选C.
9.BCD 【解析】若，当时，可得，故A假；若，则，故B真；若，则，又因为同号，故，所以，则，故C真；若，则b），故D真.故选BCD.
10.ABD 【解析】前三个月，图象缓慢上升，且函数值增加的幅度越来越大，故前3个月的月产量逐月增加，正确；从3月开始到5月，图象缓慢上升，函数值增加的幅度变小，第6个月的增量为0，说明第6个月的产量为0，故B D正确，C错误.故选ABD.
11.ACD 【解析】对于，由对勾函数的单调性可得函数在上为增函数，而函数在上为增函数，所以存在使得是“强增函数”，例如，故A正确；对于B，因为，所以函数在上不是增函数，所以不是定义在上的“强增函数”，故B错误；对于C，函数在上单调递增，令，因为2，所以函数在上不是增函数，故存在区间，使在上不是“强增函数”，例如，故C正确；对于D，若函数在区间上是“强增函数，则函数在上都是增函数，由函数在区间上是增函数，得，解得，因为函数在区间上是增函数，当时，在区间上是增函数，符合题意，当时，因为函数在上都是增函数，所以函数在区间上是增函数，符合题意，当时，，由对勾函数的单调性可知函数在上单调递增，所以，所以，综上所述，，因为函数在上都是增函数，所以，所以，故D正确.故选：ACD.
12.AC 【解析】对于A选项，因为，所以
，即，正确；对于选项，取第一部分数据为，则，取第二部分数据为，则，则，B不正确；对于选项，若，则，C正确；对于D选项，取第一部分数据为，则，取第二部分数据为，则，则不正确.故选AC.
【解析】，当且仅当即时等号成立.故答案为.
14.1 【解析】，故为幂函数，则，解得，故在幂函数上，则，因为，解得.故答案为1.
15. 【解析】由题且，且在上单调，所以当时，函数只能单调递减，又函数在上单调递减，所以解得，即实数的取值范围是.故答案为
16.①③ 【解析】对于①，男生应抽取人，故①正确；对于②，某人将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，则正面朝上的频率为0.6，但是无论掷硬币多少次，硬币正面朝上的概率均为0.5，故②错误；对于③，这组数据从小到大排列依次为：，因为，所以分位数为4，故③正确，故答案为①③.
17.解：（1），
当时，或，
则或.
（2）由，则或，
.
综上，实数的取值范围为.
18.解：（1）函数是奇函数.
依题意，，解得或，即的定义域为.
又
所以函数是奇函数.
（2）当时，，显然，
则有，即，
而在上单调递增，因此，
所以的值域是.
19.解：（1）由第二组的频数得频率为，从而第二组矩形的高为，
由第四组的频数得频率为，从而第二组矩形的高为，
补全该市1000名外卖骑手周单量的频率分布直方图，如下：
（2）由频数分布表知第一组频率为0.1，第二组频率为0.12，第三组频率为0.13，第四组频率为，
可知中位数位于区间内，设中位数为，则由，
解得，即样本数据的中位数约为29.2.
（3）依题意可知，被调查的1000人中，普通骑手共有（人），
精英骑手共有（人），王牌骑手共有（人），
这1000名外卖骑手购买装备的平均成本为（元），
所以估计该市外卖骑手购买装备的平均成本为3750元.
20.解：（1）可以化为
从而可知函数的单调递增区间为.
（2）令，解得或，
结合函数的单调性可知，当时，
所以，由可得.
当时，令，解得或，
令，解得，
当时，由，解得.
综上，不等式解集为.
21.解：（1）因为是偶函数，所以.
即
，
，
.
.
.
因为，要使上式恒成立，
所以，即.
（2），
因为，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值.
因为在上单调递增，
所以.
因为，
所以，
所以，解得，
所以的取值范围为.
22.解：（1）设事件“小游戏一获胜”，“小游戏二获胜”，“小游戏三获胜”，小游戏一中取出一个球的样本空间为，则，
因为，所以，所以小游戏一获胜的概率为.
小游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间，
则，因为，
所以，所以，所以小游戏二获胜的概率为.
（2）设“先玩小游戏二，获得小礼品”，“先玩小游戏三，获得小礼品”，
则，且互斥，相互独立，
所以
又，且互斥，
所以
，
若要接下来先玩小游戏三比先玩小游戏二获得小礼品的概率大，则，
所以，即.
进行小游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表：
第二次 第一次 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
当时，，舍去，
当时，，满足题意，
因此的所有可能取值为.
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