6.2.4 向量的数量积 第1课时 课件（共18张PPT）

(共18张PPT)
6.2.4 向量的数量积
第1课时
1.理解向量数量积和投影向量的概念
2.掌握向量数量积的性质，并能运用性质进行相关运算和判断
向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？
θ
一个物体在力 的作用下产生的位移 ，那么力 所做的功应当怎样计算？
与 的夹角
标量
已知两个非零向量 O是平面上的任意一点，作
则 叫做向量 和 的夹角．
知识点1：向量数量积的概念
O
A
B
当θ＝0时， 与 同向；
当θ＝π时， 与 反向.
如果 与 的夹角是 ,则称 与 垂直，记作
O
A
B
O
A
B
O
A
B
规定:零向量与任一向量的数量积为0.
已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做 与 的数量积（或内积），记作 即
（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定.
（3）在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是
[0°,180°]．
（2） 中间的“ · ”在向量的运算中不能省略，也不能写成 ．
要点辨析
思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？
当 时，为负值．
当 时，为0；
当 时，为正值；
解：
例1：已知 与 的夹角 ，求
例2：已知 与 的夹角θ.
解：由
得
因为
所以
归纳总结
求向量
求夹角θ的思路
（1）求向量 的夹角的关键是计算 及 ,在此基础上
结合数量积的定义或性质计算 最后借助θ∈[0,π]
求出θ的值.
(2)在个别含有 与 的等量关系式中，常利用整体思想计算
的值.
知识点2：向量的投影
B
A
B1
A1
D
C
设 是两个非零向量
作
这种变换为向量 向向量 投影，
叫做向量 在向量 上的投影向量
M
M1
N
O
在平面内任意取一点O作
就是向量 在向量 上的投影向量.
思考：如图，设与 方向相同的单位向量为 ， 与 的夹角为θ，
那么 与 之间有怎样的关系？
当θ为锐角时，
当θ为直角时，
与 共线，于是
M
M1
N
O
θ
M
M1
N
O
θ
与 方向相同
当θ为钝角时，
当θ=0时，
与 方向相反
M
M1
N
O
θ
当θ=π时，
综上，对任意的 都有
D
练一练
A.2 B. C.1 D.
1.向量 与 的夹角为 在 上投影为( )
2.已知 为单位向量，当向量 的夹角分别等于45°,90°,
135°时，求向量 在向量 上的投影.
解：投影向量分别为
知识点3：向量数量积的性质
（1）
设向量 与 都是非零向量，它们的夹角为θ， 是与 方向相同的单位向量.则
（2）
（3）
当 时，
与 同向
与 反向
特别地，
或
可得
由
（4）
常常记作
思考：如果 是否有 或
当 时，由 不能推出 一定是零向量，因为任一与 垂直的非零向量 ,都满足
要点概括整合
向量的数量积
向量数量积的定义
投影向量的概念
向量数量积的性质