6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
6.4.1 平面几何中的向量方法
1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题
问题1：证明线线平行、点共线问题，可用向量的哪些知识？
知识点：向量在平面几何中的应用
(其中 )
问题2：证明垂直问题，可用向量的哪些知识？
(其中 )
F
证：延长DE至点F,使DE=EF,连结CF
例1：DE是△ABC的中位线，用向量的方法证明:DE//BC,
C
A
B
D
E
问题1：用初中的方法如何证明？
∵E为AC中点，∴AE=EC
∴BC=DF=2DE,且DE∥BC
∴四边形DBCF为平行四边形
又∵AD=BD,∴BD=CF
∴AB∥CF,即BD∥CF
∴AD=CF,∠ADE=∠F
∴△AED≌△CEF(SAS)
又∵DE=EF,∠AED=∠CEF
将线段用向量表示，把求线段长度问题转化为求向量的模的问题
例1：DE是△ABC的中位线，用向量的方法证明:DE//BC,
C
A
B
D
E
问题2：如何利用向量推导三角形内线段长度关系？
例1：DE是△ABC的中位线，用向量的方法证明:DE//BC,
C
E
A
B
D
于是DE//BC，
解：取 为基底，因为DE是△ABC的中位线
所以
思考：利用向量法解决平面几何问题的基本思路是什么？
归纳总结
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
用向量表示问题中涉及的几何元素，把几何问题转化为向量问题
通过向量运算研究几何元素之间的关系
把运算结果“翻译”成几何关系
转化
翻译
运算
解：第一步,建立平面几何与向量的联系,用向量 表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题；
例2：已知平行四边形ABCD，对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间有什么关系？
D
A
B
C
则
为基底，设
取
例2：已知平行四边形ABCD，对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间有什么关系？
D
A
B
C
上面两式相加，得
第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系:
第三步，把运算结果“翻译”成几何关系:
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍
A
D
C
B
解：设
若点D是△ABC内一点，并且满足AB2+CD2=AC2+BD2，求证：AD⊥BC．
练一练
因为 AB2+CD2=AC2+BD2
，所以AD⊥BC
要点概括整合
用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”
用向量表示几何元素
翻译几何结果
向量运算
6.4.2 向量在物理中的应用举例
1.会用向量法解决物理中的力学问题、速度问题以及其他实际问题
问题1：物理中力与向量有何异同？
知识点：向量在物理中的应用
问题2：向量的运算与速度、加速度、位移有什么联系？
①相同点：力和向量都既要考虑大小又要考虑方向
②不同点：向量与始点无关，力和作用点有关
向量的运算与速度、加速度、位移的运算是一致的
设作用在旅行包上的两个拉力分别为F1,F2,|F1|=|F2|.另设F1,F2的夹角为θ,旅行包所受的重力为G.
思考：在日常生活中,我们有这样的经验:两个人共提一个旅行包、两个拉力夹角越大越费力如何从数学的角度解释这种现象
F1,F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力
由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识可得
F2
G
F1
F
θ
追问：(1)当θ为何值时，|F1|最小？最小值是多少？
F2
G
F1
F
θ
当 取最大值1时，|F1|最小，θ=0.
当 时， |F1|=|G|，即
(2)|F1|能等于|G|吗？为什么？
归纳总结
向量在物理中的应用一般涉及力或速度的合成与分解，因此，充分借助向量的平行四边形法则把物理问题转化为数学问题是解题的关健，同时正确作图将有助于对问题的分析.
例1：在重300N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°,60°，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.
∠AOC＝30°,∠BOC＝60°
解：由物理意义可知，两力F1,F2与重力G的合力为0.作平行四边形OACB.
答：与铅垂线成30°角的绳子的拉力是 与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.
向量的线性运算主要用于物理矢量的合成与分解
(1)问题的转化：把物理问题转化为数学问题；
(2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型
(3)参数的获得：求出数学模型的有关解答
(4)问题的解决：回到问题初始状态，解决相关物理现象
利用向量法解决物理问题的一般步骤
归纳总结
例2：一条河两岸平行,河的宽度d=500m,一艘船从河岸边的A地出发,向河对岸航行.已知船的速度v1的大小为|v1|=10km/h,水流速度v2的大小为|v2|=2km/h,那么当航程最短时这艘船行驶完全程需要多长时间(精确到0.1min)
此时，船的航行时间
解：设点B是河对岸一点，AB与河岸垂直，那么当这艘船实际沿着AB方向行驶时，船的航程最短，
设v=v1+v2,则
分析：要使航程最短，船的速度与水流速度的合速度v必须垂直于河岸.
v2
v1
v
A
B
所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要3.1min.
问题：如果力F作用在物体M上，行驶位移为s,且F与s的夹角为θ，其做的功是多少？如何用向量解释？
物理上力做功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，
它的实质是向量的数量积
W=|F|·|s|cosθ，
解：拉力F与位移s方向相同，所以拉力对木块所做的功为WF＝F·s＝|F||s|cos 0°＝20(J)；
例3：质量m＝2.0 kg的木块，在平行于斜面向上的拉力F＝10 N的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s|＝2.0 m的距离.(g＝9.8 N/kg)，则物体所受各力对物体所做的功是多少？
支持力FN与位移方向垂直，不做功，
所以WN＝FN·s＝0；
重力G对物体所做的功为
WG＝G·s＝|G||s|cos(90°＋θ)＝2.0×9.8×2.0×cos120°＝－19.6(J).
要点概括整合
向量在物理中的应用
力学问题
做功问题
速度、位移问题